Verwirrung über die Längenkontraktion (z. B. beim Myon-Zerfall)

Verwechseln Sie nicht Zeitdilatation und Längenkontraktion (auch wenn die Längenkontraktion eine Folge der Zeitdilatation ist ), da es keine Längenkontraktion für den Abstand zwischen zwei Referenzrahmen gibt . Die Länge (oder Entfernung) muss sich in einem Bezugssystem befinden, und der Beobachter muss sich in einem anderen Bezugssystem befinden, er darf nicht Teil des Bezugssystems der Entfernung sein.

Folglich wird nicht der Abstand zwischen Myon und Erde verkürzt. Es ist die Entfernung zwischen dem Startpunkt A des Myons und der Erde (wenn wir annehmen, dass das Myon von A zur Erde wandert).

Vom Erdrahmen ist die Entfernung A-Erde am größten. Für das Myonensystem zieht sich der Abstand A-Erde entsprechend seiner Relativgeschwindigkeit zusammen.

Das Beispiel von David Z ist das gegenteilige Beispiel: Es gibt einen Abstand im Myonensystem (zwischen zwei Myonen, die zum selben System gehören), der vom Erdsystem aus beobachtet wird.

Die Länge wird in die andere Richtung zusammengezogen, wir bemerken es nur nicht, weil Myonen punktförmige Teilchen sind (soweit irgendjemand weiß), und eine Länge von Null ist immer noch Null, egal wie stark Sie sie zusammenziehen.

Wenn Sie einen Strahl von Myonen hätten, die in einem festen Abstand voneinander entfernt sind (und doch irgendwie ihre "Zerfallszähler" nur bei beginnen$50\text{ km}$Höhe), dann wäre es eine andere Geschichte. Sie können erkennen, dass sich die Länge zusammenzieht, indem Sie den Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Myonen betrachten. Angenommen, die Myonen reisen mit$0.99995c$, So$\gamma \approx 100$. Dann im Ruhesystem der Myonen:

• sie sind beabstandet, sagen wir,$10\text{ km}$auseinander
• Sie nehmen$2.2\ \mathrm{\mu s}$zu verfallen
• eine Atmosphäre der Dicke$50\text{ km}/\gamma = 500\text{ m}$nähert sich ihnen
• diese Atmosphäre wird an ihnen vorbeiziehen$500\text{ m}/(0.99995c) = 1.67\ \mathrm{\mu s}$
• die Atmosphäre wird jeden Tag ein neues Myon erreichen$10\text{ km}/(0.99995c) = 33.4\ \mathrm{\mu s}$

Im Ruhesystem der Erde:

• die Myonen sind beabstandet$10\text{ km}/\gamma = 100\text{ m}$auseinander
• Sie nehmen$2.2\ \mathrm{\mu s}\times \gamma = 220\ \mathrm{\mu s}$zu verfallen
• sie nähern sich einer Atmosphäre der Dicke$50\text{ km}$
• Sie werden durch diese Atmosphäre hindurchgehen$50\text{ km}/(0.99995c) = 167\ \mathrm{\mu s}$
• Jeden Tag trifft ein neues Myon auf die Atmosphäre$100\text{ m}/(0.99995c) = 0.334\ \mathrm{\mu s}$

Sie können überprüfen, ob alle diese Nummern konsistent sind. Insbesondere in beiden Rahmen halten die Myonen lange genug, um die Atmosphäre zu durchdringen. Die Zeit zwischen den Einschlägen ist im Ruhesystem der Atmosphäre am kürzesten und wird um den richtigen Faktor verlängert$\gamma = 100$im Ruhesystem der Myonen.

Kurze Antwort: Ja, Längenkontraktion ist eine symmetrische Transformation zwischen Referenzrahmen. Allerdings ... Sie mögen diese Antwort vielleicht nicht, aber ich denke, es ist viel einfacher, den Myonenzerfall über das Konzept der Zeitdilatation als über die Länge der Kontraktion zu betrachten. Der Grund dafür ist, dass es sich vom Standpunkt des Myons aus nicht bewegt (und ja, die Erde bewegt sich, aber es ist nicht relevant für den Zerfall des Myons), und es wird nach einiger Zeit t zerfallen.

Im Koordinatensystem der Erde wird dieses Intervall der Länge t in Teilzeit T und Teilraum L aufgeteilt, und aufgrund des „Minuszeichens“ in der Metrik bedeutet dies, dass das Myon „länger zu leben“ scheint, bevor es zerfällt. In Einheiten wo$c=1$,

(Wenn ich herausfinden kann, wie ich Bilder von meinem iPad hochladen kann, zeige ich Ihnen ein paar Raumzeitdiagramme, die Ihre Frage zur Längenkontraktion direkter beantworten. Posten, was ich jetzt habe.)

Nun, die Lorentz-Transformation und die ganze spezielle Relativitätstheorie geben uns eine kurze qualitative Antwort - Zeitdilatation und Längenkontraktion sind sehr ähnlich. Auf der Erde sitzend sehen wir Myonen mit langsamerer Zerfallsrate aufgrund der Zeitdilatation. Da wir ein Myon sind, berechnen wir die Zeit in unserem eigenen Bezugsrahmen – um die Berechnungen klar zu halten, müssen wir stattdessen die Länge zusammenziehen.

Die Halbwertszeit von Myonen beträgt 2,2 Mikrosekunden. Wir können davon ausgehen, dass sie sich ungefähr mit Lichtgeschwindigkeit (0,9997 c) fortbewegen. Wenn man sie auf der Erde beobachtet, verlängert sich ihre Lebensdauer, weil ihre Uhr langsamer tickt. Wenn sie dann, angenommen, 660 Meter von uns entfernt sind, werden sie uns in einer Sekunde erreichen.

Okay, aber was ist damit, ein Myon zu sein? Unsere Uhren laufen mit der exakten Geschwindigkeit des Ruhemyons. Um dann den Beobachter in einer Sekunde mit derselben Geschwindigkeit zu erreichen, müssen wir eine kürzere Distanz zurücklegen.

Aus diesem Grund sind Lorentzkontraktion und Zeitdilatation einander sehr ähnlich.

Es ist vielleicht nützlich hinzuzufügen, dass das Erscheinungsbild von sich relativistisch bewegenden Objekten genau das Gegenteil einer Längenkontraktion sein kann. Dies wird durch die Terrell-Rotation verursacht .

Diese Antwort ersetzt einen Kommentar zu einer anderen Antwort. Kann ich aber noch nicht kommentieren. Es wurde festgestellt:

Wenn Sie ein Flugzeug oder einen Zug mit relativistischer Geschwindigkeit vor sich vorbeiziehen sehen könnten, würde es zusammengezogen erscheinen

Es würde nicht unbedingt zusammengezogen aussehen.

Verwirrung über die Längenkontraktion [...] wenn sich ein Objekt mit einer Geschwindigkeit relativ zu einem anderen Objekt bewegt, sollte diese Bewegung nicht [...]

Von „ Längenkontraktion “ (oder „ Zeitdilatation “) zu sprechen, ist von Natur aus verwirrend; es ist unangemessen und sollte vermieden werden.

In dem typischen Beispiel „durch kosmische Strahlung erzeugtes atmosphärisches Myon“ haben wir die folgenden eindeutigen experimentellen Fakten:

1. die Myon "mittlere Lebensdauer" Dauer ist$\approx~2.2\times 10^{-6}~\text s$, wie es immer für Proben von "freien" Myonen gefunden wurde,

2. die Dauer einer Uhr, die am Boden der Atmosphäre (praktisch) ruht

   • von seiner Anzeige (praktisch) gleichzeitig mit der Anzeige eines "Luftatoms", das von einem Proton kosmischer Strahlung getroffen wurde und (am Ende einer schnellen Zerfallskette) ein Myon emittiert hat

   • bis zu seiner Anzeige, von diesem Myon passiert zu werden

   Ist$\approx \frac{1}{\sqrt{ \stackrel{~}{1 - v^2/c^2} }} \times 2.2\times10^{-6}~\text s$.

   Aus dieser Beziehung können wir feststellen, dass "$\text s$" bedeutet hier eigentlich die gleiche Einheitsdauer in beiden Messungen.
   Aber diese Dauer der Uhr auf der Erdoberfläche auch als "gedehnte Dauer des Myons" zu bezeichnen, ist eine klare Fehlzuschreibung.

   Ebenfalls:

3. der Abstand zwischen der beschriebenen Uhr und "Luftatom" ist typisch$\approx~10~\text{km}$,

4. der Abstand zwischen dem beschriebenen Myon und einem (hypothetischen) anderen Myon, das sich mit gleicher Geschwindigkeit (bzgl. der Uhr auf der Erdoberfläche) "hinterherbewegt", ausgehend von einem "Luftatom", das den gleichen Abstand hatte ($\approx~10~\text{km}$) von der Uhr, so dass

   • die Anzeige, dass das frühere Myon die Uhr passiert hat, war gleichzeitig mit

   • die Geburtsanzeige des letztgenannten Myons

   Ist$\approx \sqrt{ \stackrel{~}{1 - v^2/c^2} } \times 10~\text{km}$.

   Aus dieser Beziehung können wir feststellen, dass "$\text {km}$" bedeutet hier tatsächlich die gleiche Einheitsentfernung in beiden Messungen.
   Aber diese (gedankenexperimentelle) Entfernung zwischen zwei Myonen auch als "zusammengezogene Entfernung zwischen der Uhr und einem bestimmten Stück der Atmosphäre" zu bezeichnen, ist eindeutig eine falsche Zuordnung.

Ich denke, die meisten von Ihnen verwirren, was sich aufgrund von Bewegung zusammenzieht. Nicht die Entfernung zwischen dem Myon und der Erde, noch die Entfernung zwischen dem Punkt, an dem das Myon seine Bewegung begann, und seinem Ziel. Die Längenkontraktion befasst sich mit der Kontraktion "des sich bewegenden Objekts" (das ist die Länge des Myons, wenn wir davon sprechen könnten). Wenn Sie ein Flugzeug oder einen Zug mit relativistischer Geschwindigkeit vor sich vorbeiziehen sehen könnten, würde es zusammengezogen erscheinen. Aber das Objekt. Und außerdem betrifft dieser Effekt nur die Art und Weise, wie Sie das Objekt "sehen" (wie es Ihren Augen erscheint), nicht seine physikalischen Eigenschaften, es gibt keine strukturelle Verformung. Bewegte, feste Körper werden nicht wirklich kürzer. Dieser Effekt ist darauf zurückzuführen, dass visuelle Informationen von Photonen getragen werden und wenn das zu sehende Objekt (fast) die gleiche Geschwindigkeit hat wie das, was die visuellen Informationen (Licht, Photonen) übertragen muss, dann fehlt es natürlich daran Informationen, die umso größer sind, je weiter die Punkte dieses Objekts vom Beobachter entfernt sind (Photonen haben nicht genug Zeit, um visuelle Informationen zu liefern). Die Punkte an den Enden des Objekts gehen also verloren, wenn man es sieht, und der Körper erscheint zusammengezogen. Ich stimme zu, dass der Fall von Myonen eher durch Zeitdilatation erklärbar ist. die umso größer ist, je weiter die Punkte dieses Objekts vom Beobachter entfernt sind (Photonen haben nicht genug Zeit, um visuelle Informationen zu liefern). Die Punkte an den Enden des Objekts gehen also verloren, wenn man es sieht, und der Körper erscheint zusammengezogen. Ich stimme zu, dass der Fall von Myonen eher durch Zeitdilatation erklärbar ist. die umso größer ist, je weiter die Punkte dieses Objekts vom Beobachter entfernt sind (Photonen haben nicht genug Zeit, um visuelle Informationen zu liefern). Die Punkte an den Enden des Objekts gehen also verloren, wenn man es sieht, und der Körper erscheint zusammengezogen. Ich stimme zu, dass der Fall von Myonen eher durch Zeitdilatation erklärbar ist.

Einführung

In der Eingangsfrage fragt Peter G. Chang:

"Was ich nicht verstehe, ist, wenn sich ein Objekt mit einer Geschwindigkeit relativ zu einem anderen Objekt bewegt, sollte diese Bewegung nicht den Abstand zwischen ihnen in den Referenzrahmen von beiden beeinflussen, da ihre Bewegung lediglich relativ ist?"

Soweit ich das beurteilen kann, spricht zum Zeitpunkt des Verfassens dieses Artikels keine der sechs bisher eingereichten Antworten diesen speziellen Aspekt der Frage an.

In der Abbildung unten gebe ich eine Standardkonfiguration von Referenzrahmen an. In beiden gibt es zwei Ereignisse. Ein Ereignis ist das Verlassen eines Myons von seiner Zeit und seinem Entstehungsort. Die zweite ist die Ankunft des Myons zu seiner Zeit und an seinem Ort der Kollision mit der Erdoberfläche. Dort ist der linke Rahmen der Rahmen$S$der Erdoberfläche in Ruhe, während der rechte Rahmen der Rahmen ist$S'$des Myons in Relativbewegung zur Erde. Das Myon bewegt sich mit einer Größenordnungsgeschwindigkeit nach links$|-v_{m\mid E}|$.

Doch wie von Peter G. Chang angedeutet, ist die Bewegung relativ. In der Abbildung unten gebe ich also die Standardkonfiguration von Referenzrahmen wieder. In beiden gibt es zwei Ereignisse. Die Ereignisse sind die gleichen wie die im vorigen Absatz beschriebenen. Der linke Rahmen ist jedoch der Rahmen$S'$der Erdoberfläche in relativer Bewegung in Bezug auf das ruhende Myon, während der rechte Rahmen der Rahmen ist$S$des ruhenden Myons. Die Erde bewegt sich mit einer Größenordnungsgeschwindigkeit nach rechts$|v_{m\mid E}|$.

Materialen und Methoden

Materialien

Wir haben zwei Objekte, die sich relativ zueinander bewegen. Das eine ist ein Myon und das andere die Erde. Die relative Geschwindigkeit der beiden Objekte, wenn sie sich einander nähern, wird angegeben als$|v_{m\mid e}|= |-v_{e\mid m}|$.

Methode

Die Methode besteht darin, ein Minkowski-Raumzeitdiagramm für beide Standardkonfigurationen von Referenzrahmen zu erstellen, die ich in der Einleitung gegeben habe.

Ergebnisse

In der Abbildung unten zeige ich das Minkowski-Raumzeitdiagramm für die erste Abbildung in der Einleitung. Zwei Dinge sind hier wichtig zu beachten. Erstens ist die Länge, die im Rahmen des sich bewegenden Myons gemessen wird, in Bezug auf die Länge, die im Rahmen der stationären Erde gemessen wird, kontrahiert. Zweitens ist die verstrichene Zeit, die im Koordinatensystem des sich bewegenden Myons gemessen wird, in Bezug auf die verstrichene Zeit, die im Koordinatensystem der stationären Erde gemessen wird, kontrahiert. Mathematisch gesehen,

In der Abbildung unten zeige ich das Minkowski-Raumzeitdiagramm für die zweite Abbildung in der Einleitung. Zwei Dinge sind hier wichtig zu beachten. Erstens ist die Entfernungsänderung, die im Koordinatensystem des stationären Myons gemessen wird, geringer als die Entfernungsänderung, die im Koordinatensystem der sich bewegenden Erde gemessen wird. Zweitens ist die verstrichene Zeit, die im Koordinatensystem des stationären Myons gemessen wird, kürzer als die verstrichene Zeit, die im Koordinatensystem der sich bewegenden Erde gemessen wird. Mathematisch gesehen,

Diskussion

Unabhängig davon, wie wir die relative Bewegung darstellen (dh das Myon bewegt sich auf die Erde zu oder die Erde bewegt sich auf das Myon zu), ist die verstrichene Zeit zwischen den Ereignissen, die von einer am Myon angebrachten Uhr gemessen wird, kleiner als die verstrichene Zeit zwischen den Ereignissen als gemessen durch eine Uhr, die am Kollisionspunkt an der Erdoberfläche angebracht ist. Ebenso ist der räumliche Abstand zwischen den Ereignissen im Rahmen des Myons geringer als der Abstand zwischen den Ereignissen im Rahmen der Erde. Jede der beiden Konfigurationen ist gleichermaßen gültig, um dieses Problem zu lösen, ebenso wie jedes der beiden Minkowski-Raumzeitdiagramme, die in den Ergebnissen angegeben sind.

Wenn wir jedoch ein Problem in der speziellen Relativitätstheorie lösen, müssen wir darauf achten, Variablen je nach dem genauen Wortlaut des Problems korrekt gleichzusetzen. Zum Beispiel schreibt Gray in 1 , dass „diese Myonen ... sich mit relativistischer Geschwindigkeit fortbewegen, im Durchschnitt a$\gamma$von 40.“ Dies weist darauf hin, dass das Problem aus der Perspektive der ersten Zahl in der Einleitung spezifiziert wird. Ferner schreibt Gray, dass „die Myonen in einer nominellen Höhe von 15.000 m erzeugt werden.“ Damit bezieht er sich auf die erste Abbildung in den Ergebnissen, sind wir gegeben$\Delta{t}$Und$\Delta{z}$. Davon haben wir das

Angesichts der Tatsache, dass sich ein Objekt relativ zu einem anderen Objekt mit einer Geschwindigkeit bewegt, ist es abschließend (1) wahr, dass die relative Bewegung die in jedem Rahmen gemessenen Abstandsänderungen beeinflusst; und (2) unabhängig davon, wie man die Materie einrahmt, ist es wahr, dass die Konstruktion der Minkowski-Raumzeitdiagramme die Materie korrekt offenbart.

Literaturverzeichnis

1 N. Gray, A Student's Guide to Special Relativity , Cambridge University Press, 2022, p. 55.

Die Längenkontraktion ist in der Tat ein symmetrischer Effekt bei SR, aber die Natur der Symmetrie ist so, dass man sie leicht missverstehen kann.

Der beste Ausgangspunkt zum Verständnis des Effekts ist die Überlegung, dass er aus der Relativität der Gleichzeitigkeit entsteht, wie ich im Folgenden zu erklären versuche.

Angenommen, Sie haben einen fahrenden Zug. Wenn Sie die Position der Vorderseite des Zuges messen und gleichzeitig die Position der Rückseite messen, entspricht der Abstand zwischen den beiden Positionen der Länge des Zuges. Wenn Sie jedoch die Position des hinteren Endes des Zuges einige Zeit nach der Messung der vorderen Position messen, ist die Differenz zwischen den beiden Messungen geringer als die tatsächliche Länge des Zuges, da sich das hintere Ende des Zuges bewegt hat in der Zeit zwischen den beiden Messungen vorwärts.

So entsteht Längenkontraktion. Wenn Sie zwei Positionen in einem Ruherahmen haben, die 100 km voneinander entfernt sind – nennen wir sie X1 und X2 – und Sie sie zu einem festen Zeitpunkt in einem anderen Rahmen lokalisieren, durch den sie sich bewegen, entspricht der feste Zeitpunkt bei X1 und X2 im zweiten Rahmen tatsächlich zu zwei verschiedenen Zeiten bei X1 und X2 im Ruherahmen. Aus der Perspektive von jemandem im Ruhesystem orten Sie Punkt X2, nachdem Sie Punkt X1 geortet haben, sodass Sie nicht die wahre Entfernung zwischen ihnen messen.

Wenn Sie im Fall des Myons davon ausgehen, dass das Myon stationär ist und sich die Erde bewegt, scheint eine feste Entfernung von 100 km im Erdrahmen auf etwa 1 km zum Myon zusammengezogen zu sein. In diesem Fall würde eine feste Entfernung von 100 km im Rahmen des Myons 1 km auf der Erde entsprechen. Wenn Sie also zwei hintereinander reisende Myonen hätten, die in ihrem eigenen Rahmen 100 km voneinander entfernt sind, würden sie auf der Erde scheinbar 1 km voneinander entfernt sein.