Verwirrung über gemischte Zustände und reine Zustände

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Verwirrung über gemischte Zustände und reine Zustände

Physik
Hilbert-Raum
Überlagerung
Quantenzustände
Quantenmechanik
Quanteninformation

dnagie

Angenommen, ich habe ein System, das aus zwei Subsystemen besteht (jedes ist ein System mit zwei Zuständen). Ich verstehe, dass es zwei Arten solcher Systeme gibt: trennbare und verschränkte. Ein separables System kann geschrieben werden als

| ψ ⟩ = (A | 0 ⟩_{A} + B | 1 ⟩_{A}) \otimes (C | 0 ⟩_{B} - D | 1 ⟩_{B})

A

$A$ und finden Sie heraus, dass es in Zustand ist

| 0 ⟩

$|0\rangle$ . Nach der Messung wird das System

| ψ^{'} ⟩ = | 0 ⟩_{A} \otimes (C | 0 ⟩_{B} - D | 1 ⟩_{B})

$|\psi'\rangle = |0\rangle_A\otimes(c|0\rangle_B-d|1\rangle_B)$ Also nach der Messung des Subsystems

A

$A$ , erhalte ich keine Informationen über den Zustand des Subsystems

B

$B$ . Ein verstrickter Zustand wäre

| ϕ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B})

$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B +|1\rangle_A\otimes|1\rangle_B)$ In diesem Fall, wenn ich das Subsystem messe

A

$A$ und bekomme

| 0 ⟩_{A}

$|0\rangle_A$ dann kann ich mir da 100% sicher sein

B

$B$ ist im Zustand

| 0 ⟩_{B}

$|0\rangle_B$ , und die Wellenfunktion des gesamten Systems kollabiert in

| ϕ^{'} ⟩ = | 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B}

$|\phi'\rangle = |0\rangle_A\otimes|0\rangle_B$ . Nun sind meine Fragen:

Soweit ich weiß, Zustand $|\psi\rangle$ ist eine Überlagerung der vier Basisvektoren ( $|00\rangle$ , $|01\rangle$ , $|10\rangle$ , $|11\rangle$ ), aber es wird als reiner Zustand betrachtet.
Im Gegensatz, $|\psi'\rangle$ wird als klassisches statistisches Gemisch bezeichnet , ist also kein reiner Zustand. Warum? Ist es nicht auch eine einfache Überlagerung der Basisvektoren?
Warum spricht man von einer klassischen statistischen Mischung?
Der Staat $|\phi'\rangle$ ist auch ein reiner Zustand. Bedeutet dies, dass verschränkte Subsysteme nicht in einem gemischten Zustand sein können?
Wie kann ich entscheiden, ob ein Zustand eine Mischung oder ein reiner Zustand ist?

Norbert Schuch

Wo hast du gesehen

| ψ^{'} ⟩

$|\psi'\rangle$ als "klassische statistische Mischung" bezeichnet? In Ihrem Beitrag gibt es nirgendwo einen gemischten Zustand / eine Mischung.

Durch Symmetrie

Um den Kommentar von @NorbertSchuch zu ergänzen, ein Ket-Vektor wie z

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ kann nur reine Zustände darstellen. Um eine statistische Mischung (oder jede andere Form von gemischtem Zustand) darzustellen, müssen Sie zu einem Dichtematrix-Formelismus übergehen.

Antworten (1)

Verwirrung über gemischte Zustände und reine Zustände

Wo hast du gesehen $|\psi'\rangle$ als "klassische statistische Mischung" bezeichnet? In Ihrem Beitrag gibt es nirgendwo einen gemischten Zustand / eine Mischung.
Um den Kommentar von @NorbertSchuch zu ergänzen, ein Ket-Vektor wie z $|\psi\rangle$ kann nur reine Zustände darstellen. Um eine statistische Mischung (oder jede andere Form von gemischtem Zustand) darzustellen, müssen Sie zu einem Dichtematrix-Formelismus übergehen.

Benutzer2723984 · Answer 1

Alle von Ihnen aufgelisteten Zustände sind in der Tat reine Zustände. Ich glaube, Sie verwechseln die Begriffe reiner und trennbarer Zustände. Es ist bequemer, mit Dichtematrizen zu arbeiten.

Ein Staat $\rho$ heißt ein reiner Zustand, wenn $\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$ , oder allgemeiner wenn $\mathrm{Tr}(\rho^2)=\mathrm{Tr}(\rho)$ , also alles Zustände, die man als einfachen Vektor ausdrücken kann $|\psi\rangle$ sind in der Tat reine Zustände. Ein reiner Zustand kann verschränkt sein, und ein nicht reiner Zustand kann nicht verschränkt sein. Im Gegensatz dazu ist eine klassische Mischung ein Zustand der Form

ρ = \sum_{k} λ_{k} | ψ_{k} ⟩ ⟨ ψ_{k} |

$\rho=\sum_k \lambda_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|$

Mit mindestens zwei linear unabhängigen $|\psi\rangle$ . Sie können sehen, dass wir in diesem Fall nicht bringen können $\rho$ zum Formular $|\phi\rangle\langle\phi|$ für einige $\phi$ denn der Rang von $\rho$ ist größer als $1$ , und in der Tat $\mathrm{Tr}(\rho^2)=\mathrm{Tr}(\rho)$ hält nicht. In diesem Fall kann man den Zustand als klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Zustände interpretieren $|\psi_k\rangle\langle\psi_k|$ .

Das hat im Allgemeinen nichts mit Verschränkung zu tun. Ein Zustand an $AB$ heißt trennbar, wenn man es so schreiben kann

ρ = \sum_{k} P_{k} ρ_{k}^{A} \otimes ρ_{k}^{B}

$\rho=\sum_{k} p_k \rho^A_k\otimes\rho^B_k$ mit

p_{k} > 0

$p_k>0$ st

\sum_{k} p_{k} = 1

$\sum_k p_k=1$ . Insbesondere ist ein reiner Zustand trennbar, wenn

ρ^{A B} = ρ^{A} \otimes ρ^{B}

$\rho^{AB}=\rho^A\otimes\rho^B$ . Beachten Sie, dass dies if impliziert

ρ^{A B} = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho^{AB}=|\psi\rangle\langle \psi|$ Das

| ψ ⟩ = | ψ ⟩^{A} \otimes | ψ ⟩^{B}

$|\psi\rangle=|\psi\rangle^A \otimes |\psi\rangle^B$ . Einen nicht separierbaren Zustand nennt man verschränkt, insbesondere kann zB ein reiner Zustand sehr gut verschränkt sein

ρ^{A B} = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho^{AB}=|\psi\rangle\langle \psi|$ mit

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

$|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$

Um Punkt für Punkt zu antworten:

Es ist ein reiner Zustand, weil jeder Zustand, der als Vektor ausgedrückt werden kann, rein ist.
Im Gegenteil, es ist auch rein. Ein nicht reiner Zustand ist kein Zustand, der sich nicht in einer Überlagerung von Basisvektoren befindet, da sich, wie Sie sagen, alle Vektoren in einer bestimmten Basis befinden, sondern einer, der sich in einer (konvexen) Überlagerung von Dichtematrizen befindet.
Falls es sich wirklich um eine klassische Mischung handelt, wie in der von mir angegebenen Definition, liegt dies daran, dass Sie es so interpretieren können, dass sich das System in einem zufälligen Zustand befindet $\rho_k$ mit Wahrscheinlichkeit $p_k$
Ein Staat $\rho$ ist genau dann rein, wenn $\mathrm{Tr}(\rho^2)=\mathrm{Tr}(\rho)$ , sonst ist es gemischt

Aber wie kann ein Paar von Zweizustandssystemen (z. B. zwei 1/2-Spins) in einem gemischten Zustand sein? Kann ich irgendwie einen gemischten Zustand im Labor herstellen?
Zum Beispiel, wenn Sie ein verschränktes Photonenpaar im reinen Zustand haben $|\psi\rangle\langle \psi|$ mit $|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$ und eines der beiden Photonen verlieren, befindet sich das verbleibende im maximal gemischten Zustand $\frac{1}{2}(|0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1|)$ . Dies ist sehr häufig beim Umgang mit Photonen und eine der vielen Quellen der Dekohärenz.
Mir wurde klar, dass Sie vielleicht zwei Teilchen meinten, die sich in einem gemischten Zustand befinden, dasselbe Prinzip, nehmen Sie drei verschränkte Teilchen und verlieren Sie eines.

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dnagie

Norbert Schuch

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