Wann/warum gibt das Prinzip der kleinsten Wirkung plus Randbedingungen einen Weg nicht eindeutig vor?

Mehrere klassische Lösungen von Euler-Lagrange-Gleichungen mit passenden/gut gestellten Randbedingungen (solche Lösungen werden manchmal als Instantonen bezeichnet ) sind ein weit verbreitetes Phänomen in der Physik, vgl. zB dieser verwandte Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

In der Optik ist bekannt, dass bereits zB zwei Spiegel mehrere klassische Wege erzeugen können.

Eigentlich ist der zusätzliche Pfad nicht irrelevant. Wenn Sie eine Glühbirne an A und a anbringen$4\pi$Detektor (d.h$4\pi$Steradiant-Abdeckung, dh es erkennt einfallendes Licht in jeder Richtung) bei B sieht der Detektor Licht auf beiden Wegen: direkt und vom Spiegel reflektiert, was genau das Ergebnis ist, das Sie aus dem Fermat-Prinzip erhalten haben. Wenn Sie den direkten Weg ausschließen möchten, müssen Sie ihn mit einer undurchsichtigen Wand blockieren.

Dasselbe gilt für den elliptischen Spiegel: Der Detektor sieht Licht aus allen Richtungen, was wiederum genau das ist, was das Fermat-Prinzip Ihnen sagt: Jeder Pfad hat eine stationäre (dh null Variation erster Ordnung) Laufzeit, und somit ist jeder Pfad eine gültige für das Licht.

In der Lagrange-Mechanik hingegen enthält der Zustand des Systems sowohl Position als auch Geschwindigkeit – es ist ein Zustand im Phasenraum, nicht im realen Raum. Sie müssen sich nicht mit Reflexionen im Phasenraum befassen, und das schließt normalerweise diese Fälle aus, in denen Sie eine unendliche Anzahl von Wegen haben, auf denen ein Teilchen von Zustand A nach Zustand B gelangen könnte.

Ist das mehr als eine mathematische Kuriosität?

Es ist keine Kuriosität. Das Licht reist all diese Wege.

Tritt dies als Problem / Hindernis in der höheren Physik auf?

Ich bin mir nicht sicher, was das "dies" ist. Ja, die Leute denken manchmal fälschlicherweise, dass es eine einzigartige Lösung gibt, wenn es keine gibt. Es kann mehrere Geodäten zwischen denselben Ereignissen geben (auch wenn dies für ausreichend kleine Regionen nicht zutrifft), es kann mehrere Lösungen dafür geben$F=ma.$Aber wie wichtig ist es, eine einzigartige Lösung zu haben?

Sicher, ein Pfadintegral zu erstellen, könnte ärgerlich sein, wenn es keinen eindeutigen Pfad gibt, aber wenn diese Fehler maßtheoretisch klein sind, spielt es keine Rolle. Aber die Menschen werden nicht früh mit der Maßtheorie konfrontiert. Sie können also durch alles verwirrt werden, wie dass etwas, das mit Wahrscheinlichkeit 1 passiert, nicht passieren kann oder dass etwas, das mit Wahrscheinlichkeit 0 passiert, passieren kann. Sie können passieren, aber es sollte keine große Sache sein.

Das ist ein allgemeines Symptom dafür, dass Menschen versuchen, sich allzu vereinfachte Geschichten verkaufen zu lassen. Es ist großartig, körperliche Intuition aufzubauen, aber es ist nicht richtig, Menschen glauben zu lassen, dass ihre Intuition richtiger ist, als sie es sind.

Gibt es einen schöneren, mathematisch natürlichen Weg, um die Bedingung "nur springende Pfade zählen" anzugeben?

Nö, das ist falsch.

Gibt es auch eine "nette" Bedingung, die einen Pfad im Ellipsenfall angibt?

Sie wollen beweisen, dass ein einzigartiger Weg beschritten wird, obwohl dies nicht der Fall ist.

Was hätte ich dem Schüler sagen sollen?

Sie könnten eine Erwartung klar von einer Anforderung trennen. Die Beispiele für Wahrscheinlichkeit 1 können hilfreich sein, da viele der nicht eindeutigen Pfade mit Wahrscheinlichkeit 0 auftreten, wenn Sie zufällig Anfangsbedingungen auswählen.

Wenn Sie festhalten, dass der Zweck der Wissenschaft darin besteht, Vorhersagen zu treffen, und dass Vorurteile oder Erwartungen Sie beißen können, dann könnte es besser sein, später Relativitätstheorie und Quantenmechanik und allgemeine Relativitätstheorie zu unterrichten, wenn die Menschen ihr Gepäck beiseite legen und zugeben können, dass sie es nur wollen Lernen Sie eine Theorie, um zu sehen, was die Theorie vorhersagt, und sehen Sie, ob die Theorie mit dem übereinstimmt, was wir sehen. Und dass eine Theorie nicht Ihre menschliche Meinung darüber respektieren muss, was sie Ihrer Meinung nach tun oder nicht tun sollte.

In diesem Fall ist die Vorhersage, ob ein Detektor zu einem bestimmten Zeitpunkt Licht aus einer bestimmten Richtung sieht. Wenn Licht in viele Richtungen austritt, ist es vernünftig anzunehmen, dass es aus vielen Richtungen ankommen kann. Da es Strahlteiler und halbversilberte Spiegel gibt, kann es aus mehreren Richtungen ankommen, selbst wenn es nur in eine Richtung geht.

Sie können sogar Laserlabyrinth spielen, es ist ein echtes Spiel (ab 8 Jahren, keine Mitgliedschaft).

Was Ihre Titelfrage angeht, bin ich an einer Antwort interessiert, weil ich Leute sagen höre, dass es die ganze Zeit einzigartige Lösungen gibt, aber sie sagen sogar, dass es keine einzigartigen Lösungen gibt, also weiß ich nicht, warum sie das sagen. Ich weiß nicht, an welches Theorem sie denken oder warum sie ein solches Ergebnis wollen. Warum nur?

Was hätte ich dem Schüler sagen sollen?

Das Fermat-Prinzip ist interessant, aber verwenden Sie im Zweifelsfall die Grundgesetze der Reflexion und Brechung.

Es ist auch gut zu erkennen, dass das Fermat-Prinzip keinen tatsächlichen Pfad angibt, dem der Lichtstrahl folgen wird, sondern die möglichen Pfade. Welche realisiert werden, hängt auch von Dingen wie der Ausrichtung der Lichtquelle ab. Wenn die Lichtquelle in einem Fokus in alle Richtungen strahlt, werden all diese Strahlen von einem Fokus zum anderen realisiert.

Das Fermat-Prinzip besagt, dass der Weg mit minimalem optischen Weg oder minimaler Zeit durch Licht gewählt wird. Es kann direkt oder indirekt sein (mit Reflexionen oder Brechungen). Aber wie andere sagten, ist es nicht unbedingt einzigartig, da es möglicherweise Pfade mit minimalen optischen Pfaden gibt, dh alle mit gleichen minimalen optischen Pfaden. Genau das passiert in einem elliptischen Spiegel. Es ist die Definition der Ellipse, dass alle Pfade zwischen den beiden Brennpunkten, die eine Reflexion enthalten, gleich sind. Deshalb wird das Bild des Objekts in einem Fokus im anderen Fokus gebildet. Wenn alle Pfade nicht gleich wären, gäbe es nicht unbedingt eine konstruktive Interferenz, die zur Bilderzeugung führt. Sie alle sind minimale Pfade und sie werden WIRKLICH vom Licht ausgewählt. Aber es gibt immer einige Barrieren (wie Ihre Hand, die die Lichtquelle hält), die einige dieser Wege blockieren. Dann wird das Licht nicht mehr umgangen, weil dieser neue Weg kein Minimalweg mehr ist. Der direkte Pfad zwischen den beiden Brennpunkten ist ebenfalls ein Minimum, aber in Bezug auf Pfade in seiner Nachbarschaft, nicht die oben erwähnten Pfade. Es ist also auch eine Wahl.

Es gibt eine weitere konzeptionell äußerst wichtige Klasse von Situationen, in denen es mehrere Trajektorien stationärer Aktionen mit denselben Randbedingungen gibt: Situationen, in denen die Lagrange-Funktion eine Symmetrie aufweist, die die Randbedingungen unverändert lässt, aber die Trajektorie ändert, die sie verbindet.

Das einfachste Beispiel ist nur ein punktförmiges Objekt, das auf die Oberfläche einer Kugel beschränkt ist und den Einfluss der Schwerkraft spürt, die zunächst genau an der Spitze der Kugel ausgeglichen beginnt. Wenn Sie lange genug warten, wird es eindeutig oben abrutschen und schließlich unten landen. Aber angesichts der Randbedingungen „beginnt oben“ und „endet ganz unten“.$T$später", welchen Längengrad geht es hinunter, um dorthin zu gelangen? Es kann offensichtlich keine einzige richtige Antwort aufgrund der axialen Symmetrie der Kugel geben, aber das Objekt rutscht physikalisch am Ende eine Linie hinunter. Dieses Konzept ist bekannt als "spontan Symmetriebruch" und ist ein Eckpfeiler eines Großteils der Physik. Die Literatur zu diesem Thema ist wirklich erstaunlich umfangreich, sodass Sie kein Problem haben werden, weitere Informationen zu finden.

Mir ist bewusst, dass diese Frage vor 7 Jahren gestellt wurde. Es kann sein, dass Sie in den vergangenen Jahren auf andere Weise eine Antwort darauf gefunden haben. Andererseits vielleicht nicht, also poste ich diese Antwort.

1 Hamiltons stationäre Wirkung
Ich werde zunächst zeigen, dass für Hamiltons stationäre Wirkung ein ähnlicher Fall existiert: ein Fall, in dem es eine Reihe von Pfaden mit identischem Wert für die entsprechende Wirkung gibt. Um sich auf eine bestimmte Trajektorie einzugrenzen, muss eine Anfangsbedingung angegeben werden.

2 Wellenfronthypothese
von Huygens Ich werde eine Ableitung der stationären Zeit von Fermat aus der Wellenfronthypothese von Huygens liefern. (Die übliche Herleitung ist natürlich, zu zeigen, dass die stationäre Zeit von Fermat das Snellsche Gesetz erzeugt. Ich werde erklären, warum ich von der Wellenfronthypothese von Huygens als Ausgangspunkt ausgehe.)

3 Was gibt?
Der Beobachtung, dass in manchen Fällen der Pfad nicht eindeutig bestimmt ist, muss Rechnung getragen werden. Ich bespreche das weitere Vorgehen.

Wie Sie sagen: Der zur Ellipsenform gekrümmte Spiegel ist ein Fall, in dem es eine Reihe von Pfaden gibt, die alle dieselbe Fermat-Aktion haben. alle brauchen die gleiche Zeit zum Durchlaufen.

Hamiltons stationäre Aktion hat einen ähnlichen Fall:

Idealisierte harmonische Schwingung hat folgende Eigenschaft: Die potentielle Energie steigt quadratisch mit der Verschiebung vom Gleichgewichtspunkt. Dies verleiht der idealisierten harmonischen Schwingung eine einzigartige Eigenschaft: Die Menge an potentieller Energie ist gleich der Menge an kinetischer Energie.

Ab hier werde ich Idealized Harmonic Oscillation mit IHO abkürzen

Wie wir wissen, sind bei IHO die Amplitude und die Periode unabhängig; alle Amplituden der Schwingung haben die gleiche Periode.

Hamiltons stationäre Aktion muss bestätigen: Im Fall von IHO sind Amplitude und Periode unabhängig. Folgendes bestätigt dies:

Für die Trajektorie verwende ich die Sinusfunktion und für die Randbedingungen verwende ich$t=0$als Ausgangspunkt u$t=\pi$als Endpunkt (halber Zyklus).

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion, also ist die kinetische Energie proportional zum Quadrat des Kosinus. Bei harmonischen Schwingungen ist die potentielle Energie proportional zum Quadrat der Auslenkung. Die natürliche Wahl des Nullpunkts der potentiellen Energie besteht darin, ihn auf eine Verschiebung von Null zu setzen.

Verwenden$S$für Hamiltons Aktion und einen Multiplikationsfaktor$a$für Amplitude:

(Möglicherweise habe ich ein Minuszeichen in der obigen Gleichung verpfuscht oder noch schlimmer, aber Sie verstehen, was ich meine.)

Ausgewertet für genau eine halbe Periode der Schwingung (oder ein ganzzahliges Vielfaches einer halben Periode): Sinusquadrat und Cosinusquadrat fallen gegeneinander ab und der Multiplikationsfaktor$a$wird mit ihnen abfallen.

Wir haben also eine Bestätigung: Im Fall von IHO: Wenn die Randbedingungen so eingestellt sind, dass sie einen halben Zyklus (oder ein ganzzahliges Vielfaches) auswerten, ist der Wert der Hamilton-Aktion für jede Amplitude identisch.

Diese Eigenschaft von IHO stellt sich natürlich nie als Hindernis dar. Die tatsächlich verwendete Gleichung ist die Euler-Lagrange-Gleichung; eine Differentialgleichung. Bei der Verwendung einer Differentialgleichung besteht der Weg zur Eingrenzung auf eine einzige Trajektorie darin, ausreichend einschränkende Anfangsbedingungen bereitzustellen .

Was Lehrbuchautoren tun, ist Folgendes: Hamiltons stationäre Aktion wird als Kontext verwendet, um die Euler-Lagrange-Gleichung abzuleiten. Wenn die Lagrange-Mechanik angewendet wird, ist die verwendete Gleichung die Euler-Lagrange-Gleichung, nicht das ursprüngliche Aktionskonzept.

2 Wellenfronthypothese von Huygens

(Ich ziehe den Namen „Wellenfronthypothese“ dem Prinzip von Huygens vor. Meiner Meinung nach wird die Bezeichnung „Prinzip“ zu oft verwendet. Wenn alles ein Prinzip ist, wird das Wort „Prinzip“ bedeutungslos.)

Wir haben festgestellt, dass die Gesamtheit der Beobachtungen der Brechung mit einem einzigen empirischen Gesetz ausgedrückt werden kann: dem Snellschen Gesetz.

Die stationäre Zeit von Fermat und die Wellenfronthypothese von Huygens haben Folgendes gemeinsam: Sie versuchen, das Snellsche Gesetz zu erklären, indem sie annehmen, dass die Lichtgeschwindigkeit, obwohl sie um viele Größenordnungen schneller als alles andere ist, endlich ist, dass die Lichtgeschwindigkeit in jedem Medium eine Konstante ist, und dass für jedes Medium der Brechungsindex der Kehrwert der Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium ist. Implikation: Bei konstanter Lichtgeschwindigkeit (für jedes spezifische Medium) gibt es (für jedes Medium) ein festes Verhältnis von zurückgelegter Entfernung und benötigter Zeit zum Durchqueren.

Diagramm 1, Rekonstitution der Wellenfront

Das Diagramm hat auch einen Faktor 'd' für die Breite der sich ausbreitenden Wellenfront, aber diese Breite beeinflusst den Brechungswinkel nicht, und dementsprechend fällt der Faktor 'd' in den Gleichungen weg.

Diagramm 2 (animiertes GIF), Beziehung zwischen der Länge der Hypotenuse C und der gegenüberliegenden Seite A

Zur Vorbereitung leite ich einen Ausdruck für die Änderungsrate der Länge der Hypotenuse C ab, wenn sich die Länge der gegenüberliegenden Seite A ändert:

mit entfernten Zwischenschritten:

Diagramm 3, stationäre Zeit von Fermat

In Abbildung 3 steht der Buchstabe „S“ für „Snell's point“. Ich nehme als Ausgangspunkt an, dass es einen festen Punkt gibt, von dem aus das Licht gesendet wird, Punkt „T“, und dass es einen festen Punkt „R“ gibt, wo das Licht empfangen wird. (T und R im Bild nicht dargestellt; T und R können beliebig weit entfernt sein.)

Es sei angenommen, dass die Wellenfront senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht: Daraus folgt der Winkel$\beta_1$ist gleich dem Winkel$\alpha_1$, und zwar der Winkel$\beta_2$ist gleich dem Winkel$\alpha_2$.

Die Variation des Lichtwegs besteht darin, den Punkt S entlang der Brechungslinie zu bewegen. Ich möchte das Kriterium finden, das die Position des Punktes S im Variationsraum so identifiziert, dass das Gesetz von Snell erfüllt ist.

(2.3) ist eine andere Möglichkeit, das Snellsche Gesetz zu formulieren:

Ich habe Ausdrücke für eingerichtet$\sin(\alpha_1)$und$\sin(\alpha_2)$nach (2.2):

Als nächstes verwende ich die Annahme, dass in jedem spezifischen Medium die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante ist. Für jedes Medium ist das Verhältnis von Entfernung und Zeit festgelegt.

Kombination von (2.3), (2.4) und (2.5):

Diagramm 3 veranschaulicht dies, wenn Snells Punkt 'S' zu den Seiten verschoben wird$A_1$und$A_2$um den gleichen Betrag ändern. Daher kann (2.6) auch als Ableitung in Bezug auf die Position des Punktes 'S' ausgedrückt werden

Was wie folgt umgestellt werden kann:

Die obige Herleitung erklärt, wie die stationäre Zeit von Fermat zustande kommt.

Gleichung (2.6) sieht aus, als ob es an der Zeit wäre, aber tatsächlich drückt (2.6) die Beziehung zwischen den Winkeln aus $\beta_1$und$\beta_2$

Die Entfernung , die vom Emissionspunkt bis zum Snell-Punkt zurückgelegt wird, ist unerheblich, es zählt der Winkel . (Und genauso gut ist natürlich die Entfernung, die von Snells Punkt zum Empfangspunkt zurückgelegt wird, unerheblich; es ist der Winkel, der zählt.)

Es gibt die Gesamtzeit$(T_1 + T_2)$, aber diese Gesamtzeit spielt nur indirekt eine Rolle.
Fermats stationäre Zeit hängt von der Ableitung der Laufzeit in Bezug auf die Ortskoordinate ab. Die Bedeutung der Differenzierung: Sie stellt den Winkel wieder her, weil die Differenzierung ein Verhältnis erzeugt .

Was gibt?

Neben dem Fall eines ellipsenförmig gekrümmten Spiegels gibt es auch den Fall mehrerer Prismen, der in Diagramm 4 dargestellt ist

Diagramm 4, eine Reihe von Prismen

In Diagramm 4 stehen dem Licht drei Pfade zur Verfügung, um von einem einzelnen Startpunkt zu einem einzelnen Endpunkt zu gelangen, jeder mit unterschiedlicher Dauer. Am Endpunkt beobachten wir das Licht, das aus drei Richtungen einfällt; das Licht hat alle drei Wege genommen. Das Licht hat den Weg mit der geringsten Zeit und den Weg mit der längsten Zeit und den Weg dazwischen genommen.

Diagramm 4 zeigt, dass das stationäre Zeitkriterium von Fermat tatsächlich sehr freizügig ist . Nur in einigen seltenen Fällen bietet die stationäre Zeit von Fermat eine ausreichende Einschränkung, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.

In Lehrbüchern der Physik: Wenn Fermats stationäres Zeitkriterium eingeführt wird, ist der dargestellte Fall immer derselbe Fall, einer der seltenen Fälle, in denen Fermats stationäres Zeitkriterium zufällig eine eindeutige Lösung liefert.

Die Tatsache, dass Fermats stationäre Zeit im Allgemeinen keine eindeutige Lösung liefert, wird in dem Buch „Introduction to Optics“ von Frank L. Pedrotti, Leno M. Pedrotti und Leno S. Pedrotti diskutiert.

Pedrotti, Pedrotti und Pedrotti bieten folgende Diskussion an:

Es gibt Situationen, in denen der tatsächliche Weg, den ein Lichtstrahl nimmt, eine maximale Zeit oder sogar einen von vielen möglichen Wegen darstellen kann, die alle die gleiche Zeit benötigen. [...] Eine genauere Aussage des Fermatschen Prinzips, das lediglich ein Extremum relativ zu benachbarten Pfaden erfordert, kann wie folgt gegeben werden: Der tatsächliche Pfad, den ein Lichtstrahl bei seiner Ausbreitung zwischen zwei gegebenen Punkten in einem optischen System nimmt, ist ein solcher um seinen optischen Pfad in erster Annäherung gleich zu machen mit anderen Pfaden, die eng benachbart zu dem tatsächlichen sind.

Ich vermute, die "präzisere Aussage" von Pedrotti lautet wie folgt:
Wenn Sie auf einen Fall stoßen, in dem mehrere Pfade verfügbar sind: Teilen Sie den Raum in Unterabschnitte auf, sodass jeder Unterabschnitt nur einen Pfad enthält . Dann findet das stationäre Zeitkriterium von Fermat innerhalb jedes Unterabschnitts einen einzigen Pfad .

Die Pedrotti-Strategie geht in die richtige Richtung, aber es braucht mehr davon.

Wenn die stationäre Zeit von Fermat als eine Möglichkeit zur Berücksichtigung des Brechungsgesetzes von Snell dargestellt wird, wird stillschweigend davon ausgegangen, dass die stationäre Zeit von Fermat als globales Kriterium fungiert.

Interessant: Setzt man Fermats stationäre Zeit als Ortskriterium ein , erhält man immer noch den gleichen Weg.

Zum Beispiel in dem in Diagramm 1 dargestellten Fall: Teilen Sie
den Gesamtpfad in Teilabschnitte auf.
Iterieren Sie dann über diese Unterabschnitte.

-Alle Unterabschnitte, die die Brechungslinie nicht enthalten: Das stationäre Zeitkriterium von Fermat ergibt eine gerade Linie für den Pfad in diesem Unterabschnitt, ausgerichtet mit den angrenzenden Unterabschnitten.
-In dem einen Unterabschnitt, der die Brechungslinie enthält: wende Fermats stationäres Zeitkriterium lokal an .

Die Kombination aus lokaler Anwendung und Iteration ergibt das Ergebnis, das das Snellsche Gesetz erfüllt.

Lassen Sie mich zum Vergleich darstellen, wie Jacob Bernoulli das Problem der Brachistochrone angegangen ist.

Die Brachistochrone-Herausforderung wurde in den 1690er Jahren von Johann Bernoulli, dem jüngeren Bruder von Jacob Bernoulli, herausgegeben. Jacob Bernoulli gehörte damals zu den wenigen Mathematikern, die das Brachistochrone-Problem lösen konnten.

Die Entwicklung der Variationsrechnung erfolgte viel später, in den 1780er Jahren, so dass Jacob Bernoulli weder die Variationsrechnung noch einen Vorläufer davon hatte.

Jacob Bernoulli erkannte ein entscheidendes Merkmal des Brachistochronenproblems und präsentierte dieses Merkmal in Form eines Lemmas:

Sei ACEDB die gesuchte Kurve, entlang der ein schwerer Punkt in kürzester Zeit von A nach B fällt, und seien C und D zwei beliebig nah beieinander liegende Punkte darauf. Dann ist das Bogensegment CED unter allen Bogensegmenten mit C und D als Endpunkten das Segment, das ein von A fallender schwerer Punkt in kürzester Zeit durchläuft. Tatsächlich würde sich der Punkt in kürzerer Zeit entlang AGFDB als entlang ACEDB bewegen, wenn ein anderes Segment des Bogen-CFD in kürzerer Zeit durchlaufen würde, was unserer Annahme widerspricht.

( Acta Eruditorum , Mai 1697, S. 211-217)

Jeder Unterabschnitt der Brachistochrone ist für sich genommen eine Instanz des Brachistochronenproblems. Daher funktioniert die folgende Strategie:
Teilen Sie die Kurve in eine Verkettung von Unterabschnitten und stellen Sie eine Gleichung auf, die gleichzeitig für einen ganzen Satz von verketteten Unterabschnitten gültig ist. Nehmen Sie die Grenze von unendlich kurzen Unterabschnitten.

Verallgemeinern:
Um für die Ableitung von$\int_{x_2}^{x_1}$Null sein: Teile den Definitionsbereich in verkettete Unterabschnitte und stelle die Bedingung: Für jeden Unterabschnitt muss die Ableitung des entsprechenden Integrals gleichzeitig Null sein. Nehmen Sie die Grenze von unendlich kurzen Unterabschnitten.

Der Weg, um fortzufahren, besteht darin, die stillschweigende Annahme aufzugeben, dass Fermats stationäre Zeit als globales Kriterium fungiert.

Fermats stationäre Zeit arbeitet lokal und arbeitet gleichzeitig auf einer verketteten Menge von Unterteilungen des Pfades.

In einer Antwort vom Oktober 2021 habe ich erörtert, wie die obigen Überlegungen im Fall der stationären Aktion von Hamilton gelten