Warum benötigen wir keine höheren Ableitungen, die an der Grenze übereinstimmen, wenn wir die Schrödinger-Gleichung in einem gegebenen Potential lösen?

Beim Lösen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein gegebenes Potential in 1D besteht der Hauptteil des Lösens darin, Randbedingungen anzupassen. Normalerweise müssen der Wert und die erste Ableitung an der Grenze übereinstimmen. Dies ist intuitiv sinnvoll, da wir möchten, dass die Wellenfunktion einen übereinstimmenden Wert und eine übereinstimmende Steigung hat. Warum erzwingen wir jedoch nicht die Krümmung und tatsächlich eine höhere Ableitung, um sie anzupassen?

Tatsächlich muss die erste Ableitung nicht stetig sein. Dies gilt nur für den speziellen und unrealistischen Fall, wenn die effektive Masse in beiden Bereichen gleich ist. Die richtige Randbedingung wäre 1/m1 dPsi1/dx = 1/m2 dPsi2/dx

Antworten (3)

Denn in ODE braucht man nur N Bedingungen gem N -Ordnung der ODE, aber diese Bedingungen könnten am selben Punkt liegen, Wert der Funktion und Ableitung, oder zwei Punkte, Wert der Funktion, erster und letzter Punkt des Intervalls.

Wenn ich Ihre Frage richtig interpretiere, haben Sie eine 1D-zeitunabhängige S.-Gleichung mit v die an manchen Stellen unstetig ist. Sie lösen diese Gleichung für einen festen Eigenwert E separat in jedem Kontinuitätsintervall erhaltende Funktionen ψ E welche sind C 2 in jedem offenen Intervall und hängt von zwei beliebigen Konstanten ab. Schließlich bearbeiten Sie die gefundenen Funktionen an den Grenzen der verschiedenen Intervalle. Sie fragen, warum nur Stetigkeit und Stetigkeit der ersten Ableitung am singulären Punkt erforderlich sind und nicht Stetigkeit der zweiten Ableitung.

Ich betrachte im Folgenden echte Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren.

Der Grund ist technischer Natur. Sie haben einen Operator des Formulars

(1) H = − ℏ 2 2 M D 2 D X 2 + v ( X )
und du suchst Eigenfunktionen Ψ E , so dass
(2) H ψ E = E ψ E .
Wie Sie wahrscheinlich wissen, der Betreiber H muss selbstadjungiert sein, sonst hat es keine Hilbert-Basis von Eigenvektoren. Andererseits ist die Domäne des Betreibers, D ( H ) , ist nicht der ganze Raum, so ψ E muss zu dieser Domäne gehören. Der Punkt ist, dass Operatoren der Form (1) nicht selbstadjungiert sind, wenn sie auf Räumen differenzierbarer Funktionen definiert werden. Sie sind jedoch im Wesentlichen selbstadjungiert , dh H † ist selbstadjungiert und H † ist die wahre beobachtbare Energie . Die physikalisch korrekte Schrödinger-Gleichung ist also nicht (2), sondern ist
(3) H † ψ E = E ψ E
Wo ψ E gehört zur größeren Domäne von H † was wiederum kein Differentialoperator ist. Unter Verwendung der Definition des adjungierten Operators kann (3) äquivalent geschrieben werden
⟨ H ϕ | ψ E ⟩ = E ⟨ ϕ | ψ E ⟩ ∀ ϕ ∈ D ( H ) .
Ausdrücklich
(4) ∫ R D 2 ϕ D X 2 ψ E ( X ) D X = ∫ R 2 M ℏ 2 ( v ( X ) − E ) ϕ ( X ) ψ E ( X ) D X ∀ ϕ ∈ D ( H )
Wie gewöhnlich D ( H ) ⊃ C 0 ∞ ( R ) , (4) sagt das ψ E lässt zweite schwache Ableitung zu . An dieser Stelle beweist eine Analyse, die auf den elliptischen Regularitätssätzen von Weyl basiert, dass, wenn ψ E ∈ L 2 Befriedigend (4) existiert, muss es sein C 2 in den Intervallen wo v ist kontinuierlich und muss es sein C 1 zu den restlichen Punkten.

Abgesehen von (physikalisch motiviertem) asymptotisch vorgeschriebenem Verhalten im Unendlichen | X | → ∞ , wir stellen/fordern/erfordern der Wellenfunktion eigentlich keine Bedingungen ψ jenseits der TISE (im schwachen Sinne verstanden). Kontinuität und (möglicherweise höhere) glatte Bedingungen werden stattdessen von einem Standard-Bootstrap-Argument abgeleitet , siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier für Details.

Warum benötigen wir keine höheren Ableitungen, die an der Grenze übereinstimmen, wenn wir die Schrödinger-Gleichung in einem gegebenen Potential lösen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v