Warum dreht sich ein ausgehängter Körper um seinen Massenmittelpunkt?

Ich denke, es passiert, weil Rotationen um Achsen, die nicht durch den Massenmittelpunkt verlaufen, normalerweise von Natur aus instabil sind und daher die Rotation dazu neigt, auf eine stabilere Achse zu "zerfallen", dh diejenige, die durch ihren Massenmittelpunkt verläuft. Außerdem ist das Trägheitsmoment eines Körpers normalerweise durch eine bestimmte Hauptachse durch seinen Massenmittelpunkt am niedrigsten Beschleunigung) Ein einfacher Beweis dafür ist:

Das Trägheitsmoment$I=mr^2$für ein Punktteilchen im Abstand r von seiner Rotationsachse. Stellen Sie sich nun zwei Teilchen vor, die durch einen gewissen Abstand voneinander getrennt sind$l$. Nehmen Sie eine Rotationsachse an, die in einem Abstand durch die Linie verläuft, die diese beiden verbindet$x$vom ersten Teilchen, und$l-x$ab dem zweiten. dann ist das Trägheitsmoment um diese Achse

Die Idee ist, dass, wenn keine Kräfte auf ein Objekt wirken, sich sein Massenmittelpunkt unabhängig davon, wie es sich dreht, mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen muss. Dann erscheint im Rahmen des Objekts der Massenmittelpunkt stationär und alles andere dreht sich um ihn herum. Im Allgemeinen kann dies von keinem anderen Punkt des Objekts gesagt werden.

Um zu sehen, dass sich der Massenmittelpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, denken Sie daran, dass der Massenmittelpunkt$\renewcommand{\r}{\mathbf{r}} \renewcommand{\rcm}{\r_\textrm{cm}} \rcm$ist definiert durch$\rcm = \frac{1}{M}\int \r \rho d \r$, wo$\rho$ist die Massendichteverteilung des Objekts und$M = \int \rho d \mathbf{r}$ist die Gesamtmasse des Objekts. Dann die Schwerpunktsgeschwindigkeit$\renewcommand{\a}{\mathbf{a}} \renewcommand{\acm}{\a_\textrm{cm}} \acm$kann gefunden werden, indem zwei Zeitableitungen genommen werden:$\acm = \frac{1}{M}\int \a \rho d \r$.

Jetzt der Integrand$\a(\r) \rho(\r)$, muss nach Newtons zweitem Gesetz die Gesamtkraft sein$\renewcommand{\F}{\mathbf{F}}\F$am Punkt$\r$. Diese Kraft hat zwei Beiträge: eine externe Kraft$\renewcommand{\Fext}{\F_\mathrm{ext}}\Fext$und eine innere Kraft$\renewcommand{\Fint}{\F_\mathrm{int}}\Fint$. Damit haben wir das$\a(\r) \rho(\r) = \F(\r) = \Fint(\r) + \Fext(\r)$. Setzen Sie dies wieder in unseren Ausdruck für ein$\acm$, wir finden$\acm = \frac{1}{M} \int \Fint(\r)+\Fext(\r) d \r = \frac{1}{M} \Fext + \frac{1}{M} \int \Fint(\r) d\r$, wo$\Fext$ist die gesamte äußere Kraft.

Nun kommt die innere Kraft von paarweisen Wechselwirkungen mit anderen Teilen des Objekts. Also wenn$\Fint(\r, \r')$ist die Kraft des Stücks des Objekts an$\r'$auf dem Stück des Objekts an$\r$, dann die Gesamtschnittgröße bei$\r$wird von gegeben$\Fint(\r)=\int \Fint(\r,\r') d \r'$. Dann beträgt der Gesamtbeitrag von$\Fint$zu$\acm$kann geschrieben werden$\frac{1}{M} \int \Fint(\r) d\r = \frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r$. Aber wir finden, dass wir die Integrationsreihenfolge ändern$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r = \frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r d\r'$nach Newtons drittem Gesetz haben wir$\Fint(\r,\r')=-\Fint(\r',\r)$. Wenn wir dies mit der vorherigen Gleichung kombinieren, finden wir$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r = -\frac{1}{M} \int \Fint(\r',\r) d\r d\r'$. Aber wenn wir dann die Dummy-Variablen auf der rechten Seite umbenennen, finden wir das$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r = -\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r$. was das impliziert$\frac{1}{M} \int \Fint(\r,\r') d\r' d\r =0$. Deshalb$\frac{1}{M} \int \Fint(\r) d\r =0$, und so$\acm = \frac{1}{M} \Fext$. Wenn also die äußere Kraft Null ist, bewegt sich der Massenmittelpunkt mit konstanter Geschwindigkeit.

Dies geschieht, weil im freien Zustand nur der Schwerpunkt der Punkt ist, der die notwendigen Zentripetalkräfte für die Rotation des Körpers bereitstellen kann.