Warum ist das Konzept des Drehmoments notwendig?

Das Konzept des Drehmoments ist als solches nicht notwendig .

Aber es ist nützlich .

Wenn Dinge nützlich sind, könnte irgendwann jemand anfangen, sie zu benutzen. Dann müssen leider alle anderen sie auch verstehen, um zu verfolgen, was getan wird.

Im Fall des Drehmoments ist es nützlich, da es sich um eine "Drehversion" der Kraft handelt. Sie können mir nicht einfach sagen, dass eine Kraft eine Drehung verursacht - ich brauche mehr Informationen, um die resultierende Drehung zu verstehen, da unterschiedliche Kräfte dieselbe Drehung verursachen können und umgekehrt dieselbe Kraft unterschiedliche Drehungen verursachen kann, je nachdem, wo (Entfernung von der Rotationszentrum) und wie (Winkel der Kraft) die Kraft aufgebracht wird. Aber wenn Sie mir das Drehmoment sagen , dann verstehe ich genau, wie die resultierende Rotation ausfällt. Nur ein Drehmoment kann eine bestimmte Drehung (eine bestimmte Dreh-, Winkel-, Beschleunigung) bewirken. Das Drehmoment ist ein Maß, das sowohl die Kraftgröße, den Kraftwinkel als auch den Abstand berücksichtigt, sodass alle verwirrend variierenden Parameter berücksichtigt werden.

Wenn Sie so wollen, ist das Drehmoment als Konzept und Eigenschaft leider hier, um zu bleiben. Und ziemlich nützlich, um den Dreh raus zu bekommen, wenn Sie mich fragen.

Im Prinzip könnte man immer Kraft anwenden und kein Drehmoment anwenden. Die Verwendung des Drehmoments vereinfacht jedoch die Analyse der Bewegung eines Teilchensystems erheblich.

Beispielsweise wird die Rotationsbewegung für die Rotation eines starren Körpers um eine feste Achse einfach beschrieben als$\tau = I \alpha$Wo$\tau$ist das Nettodrehmoment,$I$ist das Trägheitsmoment, und$\alpha$ist die Winkelbeschleunigung.

Die komplizierte allgemeine Drehung eines starren Körpers lässt sich am besten mit Drehmoment beschreiben; wie die Verwendung der Euler-Gleichungen. Siehe zum Beispiel den Text Classical Mechanics von Goldstein für Beispiele der allgemeinen Drehung eines starren Körpers.

Ein wichtiger Grund für die Verwendung des Drehmoments ist, dass es eine einfache Möglichkeit schafft, zu verstehen, wann sich ein Objekt im Gleichgewicht befindet.

Wenn die Summe der KRÄFTE auf ein Objekt Null ist, dann wissen wir, dass das Objekt keine Translationsbeschleunigung hat.

Wenn die Summe der DREHMOMENTE an einem Objekt Null ist, wissen wir, dass das Objekt keine Rotationsbeschleunigung hat.

Beispiel: Stellen Sie sich vor, Sie versuchen, eine Tür zuzudrücken, aber Ihr Freund versucht, dieselbe Tür aufzudrücken. Du drückst normal zur Tür ($\phi = 90^\circ$), aber sie schieben in einem Winkel ($\phi = 70^\circ$). Sie wenden beide diese Kraft am Radius an$r$aus dem Scharnier, aber Ihr Freund wendet seine Kraft an$2r$. Was muss zutreffen, damit die Tür stehen bleibt? Der einfachste Weg, dies auszudrücken, ist, dass sich die Drehmomente zu Null addieren sollten.

Wenn ich das richtig verstehe, lautet der Kern Ihrer Frage:

Warum nicht verwenden$F = mr\alpha$um die Änderung der Rotationsbewegung eines Objekts anstelle des Drehmoments zu erklären?

Grund Nr. 1: Ein allgemeinerer Fall von konzentrierter Masse

Es gibt ein paar Gründe, aber der erste gute Grund ist, dass die$r$In$\tau = Fr$und das$r$In$mr^2\alpha$sind nicht immer gleich$r$! Betrachten Sie zum Beispiel dieses Pendel, das in der folgenden Abbildung gezeigt wird und dessen Masse hauptsächlich auf den Punkt konzentriert ist$r_1$vom Stift (dem Punkt, um den sich das Pendel dreht). Ein reales Beispiel wäre ein Kohlefaser-Pendelstab mit einer in der Mitte eingebetteten Bleikugel. Blei hat eine deutlich höhere Dichte als Kohlefaser, daher können wir manchmal die Trägheit der Rute außer Acht lassen und nur die Trägheit der Bleikugel berücksichtigen.

Die Kraft könnte an einer anderen Stelle des Pendels aufgebracht werden ($r_2$in der Zeichnung). Im obigen Fall ist das Moment die Kraft (oder das Drehmoment, wenn Sie es vorziehen).$F r_2 \sin(\theta)$. Die Rotationsträgheit ist$mr_1^2\alpha$. Wir können den Ausdruck also nicht zu vereinfachen$F\sin(\theta) = mr\alpha$. Stattdessen haben wir

Grund Nr. 2: Verteilte Masse

Im Gegensatz zum obigen Pendelbeispiel haben die meisten realen Körper Masse über ihr gesamtes Volumen verteilt. In diesem Fall muss ihr Massenträgheitsmoment mit volumetrischen Integralen berechnet werden. Ohne in die mathematischen Details einzusteigen, können wir einen Körper in viele winzige Teile zerlegen, von denen jedes seine eigene kleine Masse hat$dm$und befindet sich in einiger Entfernung$r$vom Rotationszentrum. Dieser Wert von$r$wird für jedes Stück anders sein! Wir müssen das Trägheitsmoment jedes Teils berücksichtigen:$r^2dm$. Die Aufsummierung der Trägheitsmomente all dieser winzigen Teilchen ergibt das Massenträgheitsmoment$I$des Objekts um das Rotationszentrum. Wenn in unserem obigen Pendelbeispiel der gesamte dünne Stab aus Blei wäre, anstatt eine konzentrierte Masse im Zentrum zu haben, wäre das Massenträgheitsmoment$I = \frac{1}{3}mL^2$, Wo$L=r_2$ist die Stablänge.

Wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung einsetzen$\tau = I\alpha$wir bekommen

Warum nicht F = mr α verwenden, um die Änderung der Rotationsbewegung eines Objekts anstelle des Drehmoments zu erklären?

Es gibt drei große mechanische Erhaltungsgrößen: Energie, Impuls und Drehimpuls. Jede von ihnen sind separate Größen und sie werden separat konserviert. Da sie konserviert sind, interessiert uns die Übertragungsrate von jedem von ihnen.

Kraft ist die Änderungsrate des Impulses.

Leistung ist die Änderungsrate der Energie.

Das Drehmoment ist die Änderungsrate des Drehimpulses.

Dies sind eindeutige Mengen. Wenn Sie die Änderung des Drehimpulses berechnen möchten, müssen Sie das Drehmoment verwenden, weder Kraft noch Leistung liefern diese Informationen. Es ist auch wichtig zu wissen, dass es möglich ist, ein Drehmoment ohne Nettokraft, eine Kraft ohne Leistung usw. zu haben.

Denn ab$F = m r \alpha$, ist ersichtlich, dass Sie die Entfernung kennen müssen, um zu wissen, welche Kraft auf ein rotierendes Objekt mit einer bestimmten Winkelbeschleunigung ausgeübt wurde$\vec r$Vektor, dh Position, wo diese Kraft aufgebracht wurde. Und im zweiten (linearen) Newtonschen Gesetz hängt die Kraft nicht vom Abstand ab. Es muss also sein, dass die Winkelbeschleunigung nichts mit Kraft allein zu tun hat.

Der zweite Punkt ist, wie Sie selbst bemerkt haben, wenn Sie beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren$r$, wir bekommen:

Aber ...$mr^2 = I$ist nichts anderes als ein Trägheitsmoment des Drehpunktes um eine gegebene Achse. Sie gehen also davon aus, dass alle gegebenen Winkeldrehsysteme punktförmig sind, was nicht immer der Fall ist. Im Allgemeinen kann ein System ein beliebiges Trägheitsmoment haben. Sie können einige in der gemeinsamen Liste der Trägheitsmomente überprüfen . Am Ende lautet Ihre Gleichung also:

Das sogenannte zweite Newtonsche Gesetz für Winkelrotationssysteme .

Stellen Sie sich einen steifen, aber masselosen Stab mit einer reibungsfreien Achse an einem Ende vor. Eine Masse (m) ist in einem Radius (r) von der Achse auf der Stange montiert, und eine Kraft (F) drückt in einem Radius (R) auf die Stange. Die Arbeit, die von der Tangentialkomponente der Kraft geleistet wird, die den Stab um eine Bogenlänge (S) drückt, wird durch den Stab übertragen und beschleunigt die Masse um eine Bogenlänge (s):$F_t$S = mas oder$F_t$Rθ = m(rα)(rθ) wobei θ der Rotationswinkel des Stabs ist. Dividieren beider Seiten durch θ ergibt τ = (m$r^2$)α. Diese Logik lässt sich auf beliebig viele Kräfte und Massen anwenden. Beachten Sie, dass der Radius zur Kraft anders sein kann als der Radius zur Masse. Die Summe der Drehmomente versucht, eine Winkelbeschleunigung zu bewirken, und die Summe der Terme (m$r^2$) (die Rotationsträgheit) wirkt dieser Beschleunigung entgegen. Dieser Ansatz gibt Ihnen die beste Definition eines Drehmoments: Ein Drehmoment ist die Arbeit pro Drehwinkeleinheit (wie in Joule pro Bogenmaß), die von einer Kraft geleistet werden kann, die auf eine Weise wirkt, die dazu neigt, eine Drehung zu verursachen.

Der Drehmomentbegriff ist nicht nur „notwendig“. Es ist einfach. Drehmoment ist axiomatisch, genauso wie „links“ und „oben“ oder „unter“ und „mehr als“.

Streiten Sie die ganze Nacht über die spezifischen Wörter, die in einer bestimmten Sprache verwendet werden, und trotzdem, wie könnte "notwendig" dazu kommen, nicht mehr als für andere grundlegende Konzepte wie Breite oder Höhe, Länge oder Gewicht oder Volumen?