Was dreht eine Tür, Drehmoment oder Kraft?

An der Tür wirken drei Kräfte: die Schwerkraft$\vec F_g$, die aufgebrachte Kraft$\vec F_a$, und die Zwangskraft von den Türscharnieren$\vec F_h$.$\vec F_g + \vec F_a + \vec F_h = m\vec a$Wo$a$ist die Beschleunigung des Massenschwerpunkts (CM) der Tür und$m$ist die Masse der Tür. Die Komponente der Scharnierkraft in vertikaler Richtung wirkt sowohl der Schwerkraft als auch jeder Komponente der aufgebrachten Kraft nach unten entgegen, falls vorhanden. Die Scharniere stellen eine Beschränkung bereit, die eine Rotationsbewegung um eine feste Achse vertikal nach oben durch die Scharniere verursacht. Aufnahme des Drehmoments um diese Achse$\vec \tau = \vec F_a \times \vec d = I \vec {\dot\omega}$Wo$I$ist das Trägheitsmoment der Tür um die Drehachse,$\vec \omega$ist die Winkelgeschwindigkeit der Tür um die Achse, und$\vec d$ist der Vektor von der Drehachse zu dem Punkt an der Tür, wo$\vec F_a$wird angewandt. Die Scharnierkraft hat kein Drehmoment um diese Drehachse, da der Momentarm für die Scharnierkraft Null ist und die Schwerkraft kein Drehmoment um diese Achse liefert. Die CM-Bewegung basiert auf der Nettokraft, die Drehung der Tür um die feste Drehachse basiert auf dem Nettodrehmoment. Sowohl Kräfte als auch Drehmomente tragen zur Gesamtbewegung der Tür bei. Die Nettokraft ist größer als Null, damit sich das CM bewegt. Das Nettodrehmoment um die Drehachse ist größer als Null, damit sich die Tür um die Achse dreht. Sowohl eine Nettokraft als auch ein Nettodrehmoment verursachen die Bewegung.

Ich schlage vor, Sie zeichnen ein Freikörperdiagramm, das die Kräfte und Drehmomente zeigt; Verwenden Sie Polarkoordinaten um die Rotationsachse. Nehmen Sie der Einfachheit halber an$\vec F_a$hat keine vertikale Komponente und steht immer senkrecht (90 Grad) dazu$\vec d$.

Stellen Sie sich eine Tür vor, die im Weltraum schwebt und an nichts befestigt ist. Wenn Sie eine Kraft auf die Tür an ihrem Massenmittelpunkt und senkrecht zur Tür ausüben, wird sie in Richtung der Kraft mit einer durch das 2. Newtonsche Gesetz gegebenen Beschleunigung verschoben, aber sie dreht sich nicht. Wendet man dagegen eine Kraft senkrecht zur Tür und an der Türkante an, dreht sich UND verschiebt sich.

Der Unterschied zwischen dem obigen Szenario und einer Tür in Ihrem Haus besteht darin, dass die Tür in Ihrem Haus an einem Scharnier hängt. Wenn Sie auf die Kante der Tür gegenüber dem Scharnier drücken, dreht sich die Tür nur, weil das Scharnier genug Kraft aufbringt, um die Tür am Verschieben zu hindern. Auch wenn diese Kraft „klein“ ist, existiert sie noch.

Dies alles bedeutet, dass jede Kraft, die nicht durch den Massenmittelpunkt eines Objekts wie einer Tür geht, ein Drehmoment verursacht, das dieses Objekt dreht, es sei denn, es gibt ein anderes Drehmoment, das diese Drehung verhindert. Das ist der "normale" Fall, und der Fall einer Kraft, die nur eine Translation verursacht, ist ein Sonderfall, wo die Summe aller Drehmomente zu einem Nettodrehmoment von Null führt.

Es ist möglich, die Gesamtbewegung als Summe der Drehung des COM um das Scharnier plus der Drehung der Tür um den COM zu analysieren.

Betrachtet man die anfänglich ruhende Tür, muss die Summe der Kräfte größer als Null sein, um sie zu bewegen.$\mathbf F_a + \mathbf R_h = m\mathbf a_{com}$, Wo$\mathbf F_a$ist die aufgebrachte Kraft und$\mathbf R_h$ist die Reaktion am Scharnier. Letzteres kann als Summe einer Komponente entlang der Tür (parallel) und einer anderen senkrecht zur Tür genommen werden.

$\mathbf R_h = \mathbf R_{h\perp} + \mathbf R_{h\parallel}$

Unter Berücksichtigung der aufgebrachten Kraft$\mathbf F_a$Senkrecht zur Tür beträgt das Drehmoment um den COM:$\tau = r_h R_{h\perp} + r_a F_a$, Wo$r_h$Und$r_a$sind die Abstände von der COM zum Scharnier und$\mathbf F_a$bzw.

Als Ergebnis dieses Drehmoments erhält die Tür eine Winkelbeschleunigung um den COM:

$\tau = I\alpha$

Aber gleichzeitig aufgrund der Zentripetalkraft$R_{h\parallel}$dreht sich der COM um das Scharnier.

Da das Scharnier eine Bewegungsbeschränkung darstellt, führt die Kombination der Drehung des COM um das Scharnier plus der Drehung der Tür um das COM natürlich zu einer Drehung der Tür um das Scharnier.