Wie wirkt es sich auf einen starren Körper aus, wenn zwei ungleiche, parallele Kräfte auf den Körper einwirken?

Antwort: beides.

Um nun den Punkt zu bestimmen, um den sie sich drehen, berechnen Sie die lineare Beschleunigung (des Massenmittelpunkts) und die Winkelbeschleunigung (unter Verwendung der Drehmomentgleichung um den Massenmittelpunkt). Dann wäre die Beschleunigung eines beliebigen Punktes auf dem Körper die Vektorsumme aus Linearbeschleunigung und Entfernung multipliziert mit der Winkelbeschleunigung. Der gesuchte Punkt ist derjenige, für den diese Vektorsumme verschwindet.

Auch hier gelten die gleichen Bewegungsgesetze. Ermitteln Sie die Nettokraft, um zu sehen, wie sich der Massenmittelpunkt bewegt, und das Nettodrehmoment um den Massenmittelpunkt, um zu sehen, wie sich der Körper dreht.

Wenn also das Nettodrehmoment um den Massenmittelpunkt nicht Null ist, wird sich der Körper gleichzeitig verschieben und drehen.

Betrachten Sie den allgemeinen Fall von zwei ungleichen entgegengesetzten Kräften$F_1$Und$F_2$jeweils auf Distanz$d_1$Und$d_2$vom Massenmittelpunkt auf gegenüberliegenden Seiten. Die Kraft wirkt entlang der y -Achse und wir verfolgen die vertikale Beschleunigung des Massenmittelpunkts$\ddot{y}$, sowie die Drehbeschleunigung$\ddot{\theta}$. Schließlich finden wir das Rotationszentrum entlang der x -Achse relativ zum Massenmittelpunkt als$r= - \frac{\ddot{y}}{\ddot{\theta}}$.

1. Lineare Bewegung

$$(F_1) + (-F_2) = m \ddot{y} \;\Rightarrow\; \ddot{y} = \frac{F_1-F_2}{m}$$

2. Drehbewegung

$$(d_1) (F_1) + (-d_2) (-F_2) = I_C \ddot{\theta} \; \Rightarrow \; \ddot{\theta} = \frac{d_1 F_1 + d_2 F_2}{I_C}$$

_{Wo$m$ist die Masse und$I_C = m \kappa^2$ist das Massenträgheitsmoment um den Massenmittelpunkt, und$\kappa$der Kreiselradius.}

3. Rotationszentrum

$$r = - \frac{\ddot{y}}{\ddot{\theta}} = -\frac{ (F_1-F_2) I_C }{ (d_1 F_1 + d_2 F_2) m} = -\frac{(F_1-F_2) \kappa^2}{d_1 F_1 + d_2 F_2}$$

Betrachten wir nun die Randfälle:

1. Rotation um den Massenmittelpunkt,$r=0$. Dies geschieht nur , wenn die beiden Kräfte gleich groß sind$F_1 = F_2$.

2. Reine Übersetzung,$r = \infty$. Dies geschieht nur , wenn das Nettodrehmoment um den Massenschwerpunkt Null ist$d_1 F_1 + d_2 F_2 =0$.

In jedem anderen Fall haben Sie eine simultane Translation und Rotation um das Rotationszentrum.

---

Es gibt eine Abkürzung, um das Rotationszentrum zu finden. In Betracht ziehen$d$die Entfernung, durch die die kombinierten Kräfte wirken. Im Wesentlichen$\sum M = d \sum F$, oder

$$d = \frac{d_1 F_1+d_2 F_2}{F_1-F_2}$$

Betrachten Sie nun das Massenträgheitsmoment$I_C$, und der Trägheitsradius$\kappa$. Sie sind verwandt durch$I_C = m \kappa^2$.

Das Rotationszentrum wird durch gefunden

$$r = -\frac{I_C}{m d} = -\frac{\kappa^2}{d}$$

Das Minuszeichen hier bedeutet das$r$befindet sich auf der gegenüberliegenden Seite$d$. Das bedeutet, dass der Drehpunkt eine rein geometrische Größe ist, da er nur Entfernungen und den Trägheitsradius betrifft. Alle diese Größen sind nur eine Funktion der Form des Körpers .

Rückwärts gesagt, wenn der Schwerpunkt ein Abstand ist$r$Vom Drehpunkt (Rotationszentrum) ist dann die Schlagachse (Achse, auf der Impuls aufgebracht werden muss, um die Bewegung zu stoppen) entfernt$d = \frac{\kappa^2}{r}$vom Massenmittelpunkt auf der gegenüberliegenden Seite.

Deshalb ist ein Baseballschläger (ca. Zylinderlänge$\ell$mit Schwerpunkt bei$r=\frac{\ell}{2}$) hat seine Schlagachse (sweet spot) in einem Abstand$d$aus dem Griff von

$$d = r + \frac{I_C}{m\,r} = \frac{\ell}{2} + \frac{\ell}{6} = \frac{2 \ell}{3}$$

Diese Antwort gilt gleichermaßen für Ihre verwandte Frage, bei der die beiden Kräfte parallel und ungleich sind, aber in die gleiche Richtung wirken .

Das Kräftepaar kann durch eine resultierende Kraft ersetzt werden$F$und ein Drehmoment$T$. Die resultierende Bewegung ist eine Kombination aus:

1. Beschleunigung des Massenschwerpunktes in einer geraden Linie, gem$F=ma$, Wo$m$ist Masse u$a$lineare Beschleunigung ist; Und
2. Rotation um den Massenmittelpunkt gem$T=I\alpha$Wo$I$ist das Trägheitsmoment um das CM und$\alpha$Winkelbeschleunigung ist.

In dem hier gezeigten antiparallelen Fall, in dem die Kräfte in entgegengesetzte Richtungen zeigen, sind die resultierende Kraft und das Linksdrehmoment gegeben durch

$$F=F_1-F_2$$ $$T=F_1 x_1 + F_2 x_2$$ vorausgesetzt $F_1 \ge F_2$. Für den parallelen Fall ersetzen $F_2$von $-F_2$.