Warum entspricht AdS/CFT mit einer Temperatur ungleich Null einem schwarzen Loch in der Masse?

Auf diese Frage gibt es einige Antworten. Diejenige, die am intuitivsten Sinn macht, hängt wahrscheinlich von Ihrem Hintergrund ab.

Zunächst einmal ist aus dem euklidischen Quantengravitationsprogramm bekannt, dass eine stationäre oder statische Raumzeit auf eine endliche Temperatur gebracht werden kann, indem die Raumzeit analytisch auf die euklidische Signatur fortgesetzt wird. Die Temperatur wird dann als die inverse Länge der gedrehten Zeitrichtung identifiziert, die jetzt als thermischer Kreis bezeichnet wird. Dieser Ansatz ist aus dem Studium von Feldtheorien bei endlicher Temperatur bekannt und wurde Ende der 1970er, Anfang der 1980er Jahre von Hawking und anderen für den Fall der Schwerkraft entwickelt. Raumzeiten ohne Horizonte von Schwarzen Löchern, wie der Minkowski-Raum, können auf jede Temperatur gebracht werden. Ist die analytische Fortsetzung erfolgt, kann der thermische Kreis auf beliebige Radien verdichtet werden.

Schwarze Löcher können jedoch nur analytisch fortgesetzt werden, um eine bestimmte Länge für den thermischen Kreis zu haben. Diese Länge wird gewählt, um ein konisches Defizit (eine Art Singularität) in der Raumzeit zu vermeiden. Zum Beispiel ist das euklidische Schwarzschild (mit$\tau = i t$)

$ds^2 = \left(1-\frac{r_0}{r}\right) d\tau^2 + \left(1-\frac{r_0}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_2^2.$

In der Nähe des Horizonts sieht dies so aus

$ds^2 \approx \left(\frac{r-r_0}{r_0}\right) d\tau^2 + \frac{r_0}{r-r_0} dr^2 + r_0^2 d\Omega_2^2 \approx \rho^2 \frac{d\tau^2}{4r_0^2} + d\rho^2 + r_0^2 d\Omega_2^2$, nach dem Einstellen$r=r_0 + \rho^2/(4r_0^2)$.

Damit die$(\tau,\rho)$-Teil des Raumes zu sein lokal flacher Raum in Polarkoordinaten geschrieben, die Periodizität$\tau \sim \tau + 4\pi r_0$wird uns aufgezwungen. Dies ist nur die inverse Hawking-Temperatur.

Wenn also eine Feldtheorie bei endlicher Temperatur dual zu einer Geometrie sein soll, kann sie dual sein zu einer ohne Horizont und einer mit. Die Frage, welches das wahre Dual ist, wird durch die Thermodynamik bestimmt. Im Allgemeinen müsste man alle Lösungen nehmen und ihre freie Energie vergleichen. Interessante Phasenübergänge sind möglich, beispielsweise der Hawking-Page-Übergang ( http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103922135 ). Für den Fall von Schwarzen Löchern im Poincare-Patch von AdS, dem üblichen Ausgangspunkt für AdS/CFT, gibt es keinen solchen Übergang, und die schwarze Brane wird immer thermodynamisch gegenüber thermischem AdS bevorzugt.

Ein zweiter Weg, um zu sehen, dass eine endliche Temperatur schwarzen Löchern in der Masse entspricht, besteht darin, sich an die Korrespondenz zwischen schwarzen Löchern und schwarzen Strings zu erinnern ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9612146 ). Bereits vor AdS/CFT war bekannt, dass es eine starke Verbindung zwischen den p-Branen-Lösungen der Supergravitation und den D-Branen der Stringtheorie gibt. Beide Lösungen können erhitzt werden. In dem Parameterregime, wo jede Lösung sinnvoll ist, erhitzte p-Branes (z$p=3$) entsprechen Poincare-Patch-AdS-Schwarzen Löchern (für ausreichend kleine Temperatur). Aufgeheizte D-Branes entsprechen bei endlicher Temperatur gerade SYM. Die endliche Temperaturausdehnung der ursprünglichen Maldacena-Dualität ist dann aus dieser Perspektive ziemlich offensichtlich.

Schließlich entsprechen die Rolle der Temperatur und des chemischen Potentials (und aller anderen möglichen thermodynamischen Potentiale) im Schwarzen Loch einfach den gleichen Potentialen in der Doppelfeldtheorie. Zum Beispiel entspricht die Rotation im Schwarzen Loch der Berücksichtigung einer Rotationsfeldtheorie ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9908109 ).

Die Erklärung von Surgical Commander, periodische Randbedingungen in der euklidischen Zeit aufzuerlegen, ist sehr gut und in gewissem Sinne die richtigste Art zu sehen, was Sie bekommen sollten. Ich werde hier eine andere Möglichkeit hinzufügen, wie Sie darüber nachdenken können, physischer und dynamischer, für eine andere Perspektive.

Sie können sich eine endliche Temperatur so vorstellen, dass Sie Ihr System schwach in Kontakt mit einem enormen Energiebad bringen und es ausgleichen lassen (schwach, damit Sie die Physik Ihres Systems nicht zu sehr beeinflussen, Sie lassen es nur langsam Energie austauschen). . Sie können auch zulassen, dass eine konservierte Ladung ausgetauscht wird, wenn Sie ein großkanonisches Ensemble mit chemischen Potenzialen wünschen. In AdS/CFT läuft dies auf eine gewisse Kopplung zwischen den Randbedingungen Ihrer Felder (AKA CFT-Operatoren) und dem Wärmebad hinaus. Sie können sich das so vorstellen, dass Sie der Energie erlauben, aus der Grenze herauszukommen und von ihr hereinzukommen.

Beginnen Sie mit leerem AdS, mit einer kompakten Grenze. Wenn das Wärmebad heiß ist, beginnt Energie von der Grenzkopplung in die Masse zu fließen, und die Energie aller Felder, die Sie haben, beginnt herumzuschwappen. Irgendwann, mit genügend Energie, wird es irgendwo dicht genug, um ein Schwarzes Loch zu bilden. Das Schwarze Loch wird Hawking ausstrahlen. Wenn die Hawking-Strahlung die gleiche Temperatur wie das Wärmebad hat, findet kein Energieaustausch mit dem Bad statt, und die Hawking-Strahlung befindet sich im Gleichgewicht mit dem Schwarzen Loch.

Wenn die Hawking-Strahlung kühler ist als das Wärmebad, wird immer noch Material schneller in das Schwarze Loch eindringen, als es strahlt, sodass das Schwarze Loch wächst. Schließlich erreicht das Schwarze Loch die gleiche Temperatur wie das Bad und gleicht sich aus.

Wenn die Hawking-Strahlung heißer als das Wärmebad ist, tritt sie aus und das Schwarze Loch schrumpft, während es strahlt. Wenn es groß genug ist, kühlt es dabei ab und kann sich irgendwann mit dem Bad ins Gleichgewicht bringen. Wenn es zu klein ist (oder das Bad zu kühl ist, um selbst mit dem kältesten Schwarzen Loch ins Gleichgewicht zu kommen), hat es eine negative Wärmekapazität, wird also heißer, wenn es Energie verliert (!), und verdampft schließlich. Das Bad könnte sich dann nur mit Strahlung und ohne Schwarzes Loch äquilibrieren, wenn es kühl genug ist. (Die Energie der Strahlung ist im klassischen Grenzfall Null und wird durch eine Potenz der Planck-Länge über der AdS-Länge unterdrückt).

Es gibt einige Umstände, unter denen ein Schwarzes Loch so semiklassisch dynamisch stabil sein kann, aber thermodynamisch nicht begünstigt ist und daher durch Tunnelereignisse verdampft.

Sie können ein reichhaltigeres Verhalten hinzufügen, indem Sie ein chemisches Potential hinzufügen, wie Sie es vorschlagen, und auch Ladung ein- und austreten lassen. Sie können die meisten Dinge aus dieser Art von dynamischem Bild immer noch intuitiv erkennen und bei Bedarf interessantere Physik hinzufügen. Beispielsweise muss ein Schwarzes Loch möglicherweise aufgeladen werden, um ein elektrisches Feld zu unterstützen, damit geladenes Material nicht von der Grenze hereinkommen möchte. Aber wenn dieses Feld zu stark sein muss, könnte es am Horizont zu einer Schwinger-Paar-Produktion kommen, sodass das Schwarze Loch beginnt, geladene Teilchen auszuwerfen, die als geladene „Haare“ in der Masse herumhängen.