Warum erzeugen Wellengleichungen ein- oder wenigwertige Dispersionsrelationen? Warum kein Kontinuum möglicher ωω\omega für ein |k||k||\boldsymbol{k}|?

Diese Frage ist so ziemlich die gleiche wie Was verbindet hochfrequente elektromagnetische Wellen mit kurzen Wellenlängen und umgekehrt? aber viel technischer und auf der Suche nach einer technischeren Antwort als jede andere. Diese Frage kann in das Gebiet des Austauschs von Math-Stacks bluten. Kann migrieren, wenn andere denken, dass das das Beste wäre.

Es ist bekannt, dass Wellengleichungen Lösungen der Form zulassen

F ( X , T ) = e ich ( k ⋅ X − ω T )

Diese Funktion löst die Wellengleichung jedoch nur dann, wenn | k | Und ω durch eine bestimmte Funktion verbunden sind

ω = D ( | k | )

Für einfache Wellen haben wir das D ( | k | ) ist linear mit D ( | k | ) = v | k | . v kann als Geschwindigkeit der Welle interpretiert werden.

Für komplexere Medien- oder Wellengleichungen die Dispersionsfunktion D ( | k | ) kann nichtlinear sein, in diesem Fall sagen wir, das Medium weist Dispersion auf.

Das sehen wir aber in jedem Fall D ( | k | ) ist eine einwertige Funktion von | k | . Wenn ich einfallsreich bin, könnte ich mir ein Medium vorstellen, das mehrere Werte zulässt ω für einen einzelnen Wert von | k | .

Tatsächlich halte ich solche Medien für möglich. Beispiele, die mir in den Sinn kommen, sind

  • verschiedene Phononenmodi, die in Festkörpermaterialien unterstützt werden
  • verschiedene Transversalmodi, die in Multimode-Glasfasern unterstützt werden (obwohl ich nicht sicher bin, ob dies zählt, weil ich denke, wenn Sie die Gesamtgröße von berücksichtigen | k | = | k ⊥ | 2 + k | | 2 ist die Dispersionsrelation immer noch einwertig?)

Wir können also bestenfalls eine kleine Anzahl diskreter Zeitfrequenzen für eine gegebene Raumfrequenz haben.

Meine Fragen lauten wie folgt.

  • Unter welchen allgemeinen Bedingungen finden wir mehrere räumliche Frequenzen für eine einzelne zeitliche Frequenz?
  • Bitte geben Sie weitere Beispiele für mehrwertige Dispersionsbeziehungen an
  • Gibt es Beispiele für Wellengleichungen oder Medien, die ein Kontinuum zeitlicher Frequenzen unterstützen? ω für einen einzelnen Wert von | k |
  • Und wenn nein zur vorherigen Frage, warum ist das unmöglich?
Lassen k ∈ R D (im echten Leben, D = 3 ). Jede dieser Dispersionsbeziehungen spezifiziert einen Ort in R D + 1 für ( ω , k ). Ihre Frage ist effektiv, warum wir eine bekommen D -dimensionale Oberfläche und nicht eine Region ungleich Null ( D + 1 ) -dimensionales Volumen.

Antworten (1)

Wellengleichung
Ich denke, die Frage ist vage gestellt, da die Antwort davon abhängt, was wir als Wellen und Wellengleichungen definieren . In der im OP zitierten Frage gingen viele Antworten einfach davon aus, dass Wellen elektromagnetische Wellen und Wellengleichungen bedeuten

∂ T 2 u ( X , T ) = C 2 ∇ 2 u ( X , T ) .
Die Dispersionsrelation ist in diesem Fall offensichtlich:
ω 2 − C 2 k 2 = 0.

Lineare Gleichungen
Man könnte allgemeiner von Wellen sprechen, als Lösungen für jede lineare Gleichung, die durch Fourier-Transformation lösbar sind, dh Lösungen haben

u ( X , T ) = ∫ D k ∫ D ω u ~ ( k , ω ) e ich ( k X − ω T ) ,
in diesem Fall würde jeder lineare Operator ausreichen
F ( ∂ T , ∇ ) u ( X , T ) = 0.
Durch Auswahl der Funktion F ( ∂ T , ∇ ) man konnte fast alles bekommen. Z.B,
∂ T 4 u ( X , T ) = A ∇ 8 u ( X , T ) + ∇ 4 u ( X , T ) + C u ( X , T )
hat mehrere Ausbreitungszweige.

Unter grundlegenderen Gleichungen mit mehreren Zweigen könnte man die Dirac-Gleichung und die Klein-Gordon-Gleichung anführen (letztere ist einfach die Wellengleichung mit einem hinzugefügten konstanten Term).

Nichtlineare Gleichungen
Man könnte sogar noch weiter gehen und nichtlineare Gleichungen betrachten, die laufende Lösungen dieses Typs ermöglichen

F ( k X − ω T ) ,
wie z. B. Korteveg-de-Vries-Gleichung oder Sine-Gordon-Gleichung .

Welche dieser Gleichungen treten auf?
In universitären Physikkursen beschäftigt man sich typischerweise mit linearen Theorien, weil die grundlegende Physik (hauptsächlich?) durch lineare Theorien beschrieben wird. In eher domänenspezifischen Lehrveranstaltungen stößt man jedoch schnell auf Gleichungen mit höheren Ableitungen oder nichtlinearen Termen. Die Bereiche, in denen nach komplexeren Gleichungen gesucht werden muss, sind:

  • Hydrodynamik
  • Elastizitätstheorie
  • Elektrodynamik nichtlinearer Medien
  • nichtlineare Theorie (die sich eher mit den Gleichungen als mit ihrem physikalischen Inhalt befasst).

Bemerkungen

  • Gleichungen erster Ordnung Man kann auch Wellengleichungen erster Ordnung haben, z.

    ∂ T u ( X , T ) ± v ∂ u ( X , T ) = 0 ,
    die tatsächliche Wanderwellenlösungen des Typs ergeben F ( X − v T ) . In weiteren Dimensionen:
    ∂ T u ( X , T ) − v ⋅ ∇ u ( X , T ) = 0.
    Die Nuance dieser Gleichungen ist, dass sie eine bevorzugte Richtung für die Wellenausbreitung haben (selbst in 1D haben wir je nach Vorzeichen entweder eine nach rechts oder nach links laufende Welle). Aus diesem Grund haben die räumlich und/oder zeitsymmetrischen physikalischen Theorien meist zweite (oder im Allgemeinen sogar) partielle Ableitungen.
    Ein Beispiel für eine Gleichung mit einem solchen Term erster Ordnung ist die Navier-Stokes-Gleichung , obwohl sie nicht linear ist (aber sie kann linearisiert werden, um einfache Wellenlösungen zu erhalten).

  • Wellen vs. laufende Wellen Wenn es um die allgemeine Form der Gleichung geht F ( ∂ T , ∇ ) u ( X , T ) = 0 , ist es notwendig zu bedenken, dass, obwohl es durch Fourier-Transformation lösbar ist, seine Lösungen nicht notwendigerweise laufende Wellen der Form sind F ( ω T − k X ) . Das Erfordernis, dass Lösungen diese Form haben, würde die Art der Differentialoperatoren einschränken, die verwendet werden können, z. B. den Ausschluss von Diffusionsgleichungen.

  • Schrödinger-Gleichung Andererseits wird die Schrödinger-Gleichung (die als Diffusionsgleichung mit komplexen Koeffizienten angesehen werden kann) sicherlich als Wellengleichung angesehen und ihre Lösungen werden oft als Materiewellen bezeichnet, obwohl sie keine laufenden Wellen im engeren Sinne sind oben erwähnt.

  • Breitband-/Flachbandgrenze Bei einigen Festkörperphysikproblemen betrachtet man eine Breitbandgrenze, bei der angenommen wird, dass alle Elektronen dieselbe Wellenfunktion (oder Wellenzahl) haben, während sie möglicherweise unterschiedliche Energien haben - dies kann als Kontinuum von Frequenzen interpretiert werden entsprechend der gleichen Wellenlänge. Das Gegenteil, das ebenfalls verwendet wird, ist die Flat-Band-Grenze , bei der man davon ausgeht, dass alle Wellenzahlen der gleichen Energie/Frequenz entsprechen.

Vielen Dank für diese Klarstellungen. Ich werde mich auf den linearen Fall konzentrieren, sodass ebene Wellen nicht interagieren. Dies scheint eine gute Definition von "Wellen" zu sein. Wenn wir also die lineare Differentialgleichung haben F ( ∂ T 2 , ∇ 2 ) u ( X , T ) = 0 Wo F ( T , X ) ist ein Auftrag- N Polynom, daraus ergibt sich die Dispersionsrelation F ( ω 2 , | k | 2 ) = 0 . F ( ω 2 , | k | 2 ) ist dann etwas Oberfläche drin ω 2 , | k | 2 Raum, und wo diese Oberfläche schneidet, definiert 0 die Dispersionsbeziehungen? Ist das alles richtig?
Habe ich auch recht damit ∂ T Und ∇ sollte in der Differentialgleichung, die wir analysieren, immer quadratisch erscheinen?
Wenn es sowohl gerade als auch ungerade Faktoren von gibt ∂ T und/oder ∇ dann Faktoren von ich in der Differentialgleichung auftauchen würde. Ich denke, dies ist ein Hinweis darauf, dass ebene Wellen in Zeit / Raum zerfallen. Wenn wir diese als Wellen ablehnen, dann ja, wir brauchen wahrscheinlich alle geraden Faktoren.
@ Jagerber48 Ich habe die Antwort erweitert, um Ihre obigen Fragen zu beantworten und weitere Informationen hinzuzufügen. Ich hoffe, es hilft.
Warum erzeugen Wellengleichungen ein- oder wenigwertige Dispersionsrelationen? Warum kein Kontinuum möglicher ωω\omega für ein |k||k||\boldsymbol{k}|?
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