Warum gibt es in einem harmonischen Oszillator zwei verschiedene Mittelwerte für die kinetische Energie?

Obwohl Ihre Frage mit „Hausaufgaben und Übungen“ gekennzeichnet ist, ist klar, dass Sie uns nicht bitten, Ihnen zu helfen, die richtige Antwort zu finden, sondern dass Sie ein Nebenproblem ansprechen. Daher sehe ich kein Problem darin, eine Antwort anzubieten.

Der zeitliche Durchschnitt von$\frac{1}{2}mv^2$in der Tat vom Positionsmittel derselben Größe verschieden ist. Es gibt eine andere Gewichtung. Eigentlich könnte jeder Mittelwert so definiert werden, dass er eine Gewichtungsfunktion enthält, aber wenn dies nicht ausdrücklich angegeben ist, gehen wir normalerweise von einem ungewichteten Mittelwert aus. Bei kontinuierlichen Funktionen einer Variablen beinhaltet die Formel für den Mittelwert jedoch die Integration in Bezug auf diese Variable, was impliziert, dass Sie eine Auswahl bezüglich der Gewichtung getroffen haben.

In Ihrem Fall haben Sie zwei offensichtliche Kandidaten. Stellen Sie sich eine Probenahme vor$N$diskrete Werte der kinetischen Energie in regelmäßigen Zeitintervallen und ihre Mittelung durch Addition und Division durch$N$. Stellen Sie sich nun vor, Sie probieren das aus$N$Werte an regelmäßig beabstandeten Positionen und mitteln sie wieder auf die gleiche Weise. Sie würden nicht dasselbe Ergebnis erwarten: Das Partikel bewegt sich viel schneller durch die Position$x=0$, also verbringt es viel weniger Zeit um diese Position herum als um die Extremitäten der Schwingung. Der Zeitdurchschnitt betont die niedrigeren Geschwindigkeiten im Vergleich zum Positionsdurchschnitt.

Explizit können wir schreiben

$$\begin{align*} \langle \tfrac{1}{2}mv^2 \rangle_x &= \frac{\int_0^A \left(\tfrac{1}{2}mv(x)^2\right) dx }{\int_0^A dx} \\ \text{and}\quad \langle \tfrac{1}{2}mv^2 \rangle_t &= \frac{\int_0^{\pi/2\omega} \left(\tfrac{1}{2}mv(t)^2\right) dt }{\int_0^{\pi/2\omega} dt} \end{align*}$$ Wenn wir Variablen in der ersten Gleichung ändern, verwenden wir$dx = v\, dt$, können wir sehen, dass das Gewicht explizit erscheint $$\langle \tfrac{1}{2}mv^2 \rangle_x = \frac{\int_0^{\pi/2\omega} v(t)\, \left(\tfrac{1}{2}mv(t)^2\right) dt }{\int_0^{\pi/2\omega} v(t)\, dt}$$ Der Zeitdurchschnitt wird durch einen ähnlichen Ausdruck angegeben, jedoch ohne die$v$Gewichtung in Zähler und Nenner. Der Positionsdurchschnitt hat den höheren Geschwindigkeiten mehr Gewicht gegeben. (Übrigens, wenn wir über eine volle Periode integrieren, müssen wir etwas mehr auf das Vorzeichen des Gewichtungsfaktors achten)

Jeder Durchschnitt ist "richtig". Welche wird gesucht? Nun, der Kontext der Frage sollte dies wirklich verdeutlichen, aber ich würde wahrscheinlich die gleiche Annahme treffen wie Sie und vermuten, dass die zeitlich durchschnittliche kinetische Energie wahrscheinlich relevanter ist.