Das Paradox von Bertrand Russell, das er 1918 formulierte, hat meines Erachtens den Versuch unterminiert, die Mathematik auf einer streng logischen Grundlage zu begründen. Ich erinnere mich, dass eine intuitive Art, das Paradox auszudrücken, so lautete: „In einem Dorf gibt es nur einen Barbier, einen gut rasierten Mann, der alle rasiert, und nur die Männer des Dorfes, die sich nicht selbst rasieren. Wer rasiert den Barbier? » Nun, da ich glaube, dass Paradoxon gleichbedeutend mit einer Situation des Widerspruchs ist und daher eine Menge beschreibt, die logisch nicht existieren kann, wie der amerikanische Logiker Willard Quine feststellte, warum hatte es dann eine so große Wirkung und Relevanz?
Seit Hunderten von Jahren hatten Mathematiker schnell und locker mit Logik gespielt. Sie schrieben selten Axiome auf oder überprüften, ob das, was sie taten, über die Bauchprüfung hinaus logisch einwandfrei war. Dies hatte langsam Probleme verursacht, mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in verschiedenen Bereichen, und veranlasste die Menschen, die Mengenlehre zu schaffen, einen gemeinsamen Rahmen, auf den sich alle Mathematiker einigen und (im Prinzip) ihre Argumente darin formulieren konnten.
Die Regeln der Mengenlehre hatten jedoch große Probleme. Russels Paradox zeigte, dass die Regeln der Mengenlehre tatsächlich einen Widerspruch bewiesen, und so stellte sich heraus, dass diese vereinheitlichende Theorie für die Mathematik alles bewies (Satz: Wenn A inkonsistent ist, dann beweist A P für jedes P). Das würde sehr viel nicht tun. Was folgte, war ein verzweifelter Versuch, die Mengenlehre zu retten (während andere Mathematiker versuchten, sie zu zerstören), was zu einer neuen Reihe von Axiomen führte, die jetzt ZFC genannt werden und nicht offensichtlich widersprüchlich sind (aber bei Gödel, wir können innerhalb von ZFC nicht beweisen dass ZFC kein Widerspruch ist).
Das ist strukturell wichtig. Es mag wie ein lustiges Rätsel klingen, aber aus struktureller Sicht demonstriert es die Unvermeidlichkeit von Widersprüchen und Paradoxien in jedem logischen System, das stark genug ist, um Mathematik zu umfassen. Das unmittelbare Problem, das durch das Paradox demonstriert wird, ergibt sich daraus, dass es Prädikaten erlaubt wird, Prädikate als Argumente zu nehmen. Hier ist der Barbier eine Funktion, die "Shaves(x, y)" mit "!Shaves(x, x)" zusammensetzt, um "b = Shaves(x, !Shaves(y, y))" zu ergeben ( Hinweis: kein tatsächliches Prädikat logische Notation! ). Auf die Frage, ob sich der Barbier selbst rasiert, kann es keine eindeutige Antwort geben, da es keine konsistente Wahrheitstabelle gibt, wenn b auch die Eingabe ist.
Da mathematische Funktionen oft andere Funktionen als Argumente annehmen, bedeutet dies in der Praxis, dass eine formale Logik nicht gleichzeitig mathematisch vollständig sein kann, das heißt, sie kann jede sinnvolle Aussage der Mathematik ausdrücken, solide sein, das heißt, sie drückt keine Unwahrheiten aus, und entscheidbar sein , was bedeutet, dass alles, was es sagt, einen bestimmten Wert hat.
Die Entdeckung dieses Paradoxons führte zur Formulierung der Logik erster Ordnung , einem wichtigen System, das solide ist, aber nicht stark genug ist, um die Mathematik zu umfassen (weil es Prädikate verbietet, die andere Prädikate als Argumente annehmen).
Mauro ALLEGRANZA
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