Warum ist die Antwort auf dieses Diffusionsbeispiel nicht intuitiv?

Question

Warum ist die Antwort auf dieses Diffusionsbeispiel nicht intuitiv?

bmillare

Stellen Sie sich eine lineare Abnahme der Konzentration von links nach rechts vor. Unter Verwendung von Ficks erstem Gesetz,

$J = -D \frac{d \psi}{d x}$

für alle x haben wir von links nach rechts die gleiche Flussmenge, weil die Abnahme linear ist.

So $J(x) = m$

Nach dem zweiten Gesetz von Fick

$\frac{d \psi}{d t} = -D \frac{d^2 \psi}{d x^2} = \frac{d J}{d x}$

So $\frac{d J(x)}{d x} = 0$

also ist dJ/dx nur 0, da die 2. Ableitung einer Geraden 0 ist. Dies scheint jedoch nicht intuitiv zu sein. Ich würde erwarten, solange es einen Konzentrationsgradienten gibt, sollte es an jedem Punkt eine Konzentrationsänderung geben, bis die Konzentration vollständig gleichmäßig ist. Da muss ein Fehler in meiner Mathematik oder Argumentation sein, wo ist er?

BEARBEITEN:

Stellen Sie sich zur Verdeutlichung der Randbedingungen einen geschlossenen Kasten ohne Aus- oder Zuströmung an den Rändern vor.

Lubos Motl

Bei einem Konzentrationsgradienten ändert sich die Konzentration – aber erst später. Gleichzeitig gibt es nur eine "Beschleunigung" ungleich Null, und es dauert eine Zeit ungleich Null, bis sie eine Geschwindigkeit erreicht. Ihre Beschwerde ist völlig analog zu der Beschwerde, dass

d^{2} h / d t^{2} = - g

$d^2 h/dt^2 = -g$ denn die Höhe eines Apfels ist falsch, weil der Apfel immer herunterfallen sollte, auch wenn er eine Geschwindigkeit von Null hat. Nun, die Geschwindigkeit ist unabhängig von der Beschleunigung. Es ist nur die Beschleunigung, die gleich ist

- g

$-g$ , und die Anfangsgeschwindigkeit kann 0 oder irgendetwas sein. Dasselbe gilt für die Konzentrationsgeschwindigkeit.

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Warum ist die Antwort auf dieses Diffusionsbeispiel nicht intuitiv?

Bei einem Konzentrationsgradienten ändert sich die Konzentration – aber erst später. Gleichzeitig gibt es nur eine "Beschleunigung" ungleich Null, und es dauert eine Zeit ungleich Null, bis sie eine Geschwindigkeit erreicht. Ihre Beschwerde ist völlig analog zu der Beschwerde, dass $d^2 h/dt^2 = -g$ denn die Höhe eines Apfels ist falsch, weil der Apfel immer herunterfallen sollte, auch wenn er eine Geschwindigkeit von Null hat. Nun, die Geschwindigkeit ist unabhängig von der Beschleunigung. Es ist nur die Beschleunigung, die gleich ist $-g$ , und die Anfangsgeschwindigkeit kann 0 oder irgendetwas sein. Dasselbe gilt für die Konzentrationsgeschwindigkeit.

Keenan Pfeffer · Answer 1

Wie Ted Bunn sagte, ist das lineare Konzentrationsprofil nur dann ein stationärer Zustand, wenn es an einem Ende einen stetigen Zufluss und am anderen einen stetigen Abfluss gibt. Dieser Nettofluss bewahrt den Konzentrationsgradienten.

Mit der Randbedingung "geschlossene Box" liegt in der Tat ein Denkfehler vor, da das lineare Profil kein stationärer Zustand mehr ist. Um die Dinge explizit zu machen, sollten Sie stattdessen Folgendes haben:

{J (X) |}_{T = 0} = M

$\left.J(x)\right|_{t=0} = m$

{\frac{\partial ψ}{\partial T} |}_{T = 0} = 0

$\left.\frac{\partial\psi}{\partial t}\right|_{t=0} = 0$ für alle x im Inneren der Box.

Diese Ergebnisse implizieren dies jedoch nicht $\psi(x)$ ist immer konstant. Zum Zeitpunkt $t=0$ , gibt es einen konstanten Fluss von links nach rechts, aber weil die Box geschlossen ist, bedeutet dies, dass die Konzentration am linken Rand der Box abnimmt und die Konzentration am rechten Rand zunimmt (obwohl dies noch nicht begonnen hat). überall im Innenraum verändern – wer will, kann das sagen $\partial\psi/\partial t(t=0)$ hat die Form von zwei Dirac-Delta-Funktionen).

Die einzige Möglichkeit, die ich kenne, um die vollständige Lösung zu erhalten, ist die Erweiterung in einer Fourier-Reihe. Nehmen wir zur Konkretheit an, die Box erstreckt sich von $x=-1/2$ Zu $x=1/2$ . Die richtige Basis von Eigenfunktionen, die für diese Randbedingung zu verwenden ist, enthält Funktionen, deren Ableitung an den Rändern der Box Null ist, nämlich $\sin(n \pi x)$ für ungerade n und $\cos(n \pi x)$ für gerade n. Da die Anfangsbedingung eine ungerade Funktion ist, erscheinen die Kosinusse nicht. Stellen Sie der Einfachheit halber auch die Anfangssteigung gleich ein $\pi^2/4$ .

ψ (X, T = 0) = \frac{π^{2}}{8} - \frac{π^{2}}{4} X = \frac{π^{2}}{8} - \sum_{N seltsam} \frac{Sünde (N π X)}{N^{2}}

$\psi(x,t=0) = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} x = \frac{\pi^2}{8} - \sum_{n\text{ odd}} \frac{\sin(n\pi x)}{n^2}$ (wobei die letzte Gleichheit aus der bekannten Fourier-Reihe einer Dreieckswelle stammt)

ψ (X, T) = \frac{π^{2}}{8} - \sum_{N seltsam} \frac{Sünde (N π X)}{N^{2}} e^{- N T / τ}

$\psi(x,t) = \frac{\pi^2}{8} - \sum_{n\text{ odd}} \frac{\sin(n\pi x)}{n^2} e^{-nt/\tau}$

Wo $\tau$ ist eine Zeitskala, die von der Diffusionskonstante und den Dimensionen abhängt (wenn Sie möchten, kann ich herausfinden, was es tatsächlich ist, aber es ist für die Diskussion irrelevant).

Wenn Sie diese Funktion anders darstellen $t$ von Null ansteigenden Werten ist deutlich zu erkennen, dass sich die Konzentration glättet und zu einer gleichmäßigen Konzentration des Mittelwerts tendiert, $\pi^2/8$ .

Also, obwohl bei $t = 0$ Es scheint, als würde sich die Konzentration nirgendwo ändern ( $\partial\psi/\partial t$ = 0), beginnt es sich sofort zu ändern, und die Diffusion führt schließlich zu einer einheitlichen Konzentration.

Hier sind einige Diagramme, die ich erstellt habe, indem ich Begriffe verwendet habe $n=15$ :

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Danke für die tolle Antwort. Ich muss daran denken, dass interessante Dinge bei den Randbedingungen passieren, also muss ich sie für diese Art von physikalischen Problemen immer berücksichtigen.

Ted Bunn · Answer 2

Der Fehler liegt in deiner Intuition. Deine Rechnung ist richtig.

Eine Sache, die Ihrer Intuition helfen könnte, ist, darüber nachzudenken, was an den Rändern der betrachteten Region passiert. Es muss einen stetigen Zufluss von einem Ende und einen stetigen Abfluss vom anderen Ende geben. Flüssigkeit fließt ständig "bergab" (von hoher Konzentration zu niedriger), aber die Quelle an der "Spitze" füllt ständig Dinge auf, sodass das Konzentrationsgefälle bestehen bleibt.

Ich weiß nicht, ob das hilft, aber es ist das Beste, was ich tun kann.

Vielleicht ist es ordentlicher, sich explizit auf die Kanten zu konzentrieren und das Problem/die Lösung als Randwertproblem umzuformulieren?
Ich dachte (obwohl ich denke, dass dies nicht ausdrücklich angegeben ist), dass die Frage die Diffusion in einer geschlossenen Box ohne Zu- oder Abfluss durch die Kanten in Betracht zieht.
@David, das ist ein guter Punkt, ich habe die Randbedingungen nicht angegeben, aber was ich im Sinn hatte, ist das, was Sie gesagt haben, eine geschlossene Box ohne Zu- oder Abfluss durch die Kanten. Ich werde die Frage aktualisieren.
Ich verstehe. Ich dachte, dass die $d\psi/dx$ auch an den Rändern, was den Zufluss/Abfluss impliziert, seinen konstanten Wert. Jetzt, da ich die beabsichtigte Situation richtig verstehe, stimme ich der hervorragenden Antwort von Keenan Pepper zu.

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