Warum ist die Mathematik so fantastisch erfolgreich bei der Beschreibung des Universums?

Die Frage selbst wurde bereits in den vorherigen Antworten diskutiert, aber ich denke, dass es im Allgemeinen von großer Hilfe wäre, die Geschichte und den Zweck der Mathematik zu verstehen und wie sie sich von anderen Wissenschaften unterscheidet:

Als jemand, der mathematische Logik/Metamathematik studiert, kann ich Ihnen versichern, dass der Zweck der Mathematik nicht darin besteht , das Universum zu beschreiben, und Mathematik beschreibt es nicht , Physik tut es, Chemie tut es, Biologie tut es, Naturwissenschaften im Allgemeinen tun es, aber Mathematik tut es sicherlich 't.

Wir gehen davon aus, dass sowohl die Schrift als auch die Mathematik (durch Zählen) um 8000 v. Chr. entstanden sind, um landwirtschaftliche Güter zu verfolgen. Heutzutage ist Mathematik eine Möglichkeit, komplexe Ideen im Allgemeinen auszudrücken, zu verstehen und zu teilen.

In der Antike gab es keine logisch konstruierte Mathematik (was nicht bedeutet, dass Mathematik nicht so konstruiert wurde, sondern dass sie nicht bewusst so konstruiert wurde). Wenn zum Beispiel jemand argumentierte, dass 1 + 1 nicht gleich 2 ist, wäre er ignoriert worden, weil er dumm war und 1 + 1 = 2 nicht verstand, aber es wäre kein Beweis für 1 + 1 = 2 gegeben worden. Jeder Beweis wäre nur eine Rede in natürlicher Sprache gewesen, die die Mehrheit überzeugt hätte. Infolgedessen war die meiste Arbeit, die bis zur Renaissance geleistet wurde, nicht viel weiter fortgeschritten als das, was mit einem Abakus und Lineal und Kompass in Mathematik gemacht werden kann .

Um das 18./19. Jahrhundert erkannten Mathematiker, dass sowohl die Mathematik als auch die natürlichen Sprachen zu komplex waren und dass ein solches Vorgehen zu Fehlern und Missverständnissen führte. Sie arbeiteten an einem Weg, um sicherzustellen, dass ein Beweis korrekt war und sie sich richtig verstehen konnten.

Zu diesem Zeitpunkt wurden mathematische Notationen und Logik geschaffen (Leibniz und Peano spielten eine große Rolle und obwohl sie nach heutigen Maßstäben schwer zu lesen sind, würde ich dennoch jedem empfehlen, ihre Bücher/Aufsätze zu lesen). Notationen ermöglichen es den Menschen, genau zu verstehen, wovon wir sprechen, und Logik ist ein ziemlich einfaches Werkzeug, mit dem wir ordnungsgemäße Beweise erstellen können.

Die Grundlage der formalen Mathematik sind Axiome: eine Reihe von Regeln, die wir für selbstverständlich halten. Axiome können nicht bewiesen werden, sie müssen äußerst sorgfältig ausgewählt werden. Solange wir die Axiome nach einer Reihe von Regeln zusammensetzen, mischen, ist das Ergebnis garantiert logisch, fehlerfrei und der ganze Beweis ist ein kohärenter Gedanke.

Aber wenn die Axiome nicht richtig gewählt sind, können wir Unsinn beweisen. Wenn zum Beispiel die verwendeten Axiome zwei gegensätzliche Aussagen für wahr halten, dann kann alles nach diesen Axiomen bewiesen werden.

In der Mathematik definieren wir willkürlich Regeln, die grundlegend genug sind, um auf sichere (logische) Weise darauf aufzubauen. Aber nichts hindert Sie daran, einen benutzerdefinierten Satz von Axiomen zu erstellen und darauf aufzubauen, um eine Beschreibung des Gegenteils unseres Universums zu erstellen.

In der Physik (und anderen Natur-/Experimentalwissenschaften) haben wir eine Reihe von Axiomen gewählt, die grundlegend genug sind, um uns nicht zu erlauben, Fehler zu machen und zu versuchen, eine Gleichung zu definieren, die ein Naturphänomen beschreibt. Dann führen wir Experimente durch, um zu zeigen, dass die von uns erstellte Gleichung falsch war. Wenn wir so oft scheitern, dass wir die Gleichung als ausreichend genau und zuverlässig betrachten können, verwenden wir sie.

Mathematik ist ein mächtiges Werkzeug, um komplexe Dinge im Allgemeinen zu beschreiben. Aber es ist nur eine Möglichkeit, kognitive Abstraktionen in einem standardisierten Format zu beschreiben.

Auch Mathematik hat eine Grenze. Der Unvollständigkeitssatz von Gödel besagt, dass es immer Dinge geben wird, die wir nicht beweisen können, obwohl sie wahr sind, egal wie vollständig und komplex die von uns gewählte Reihe von Axiomen ist.

1. Große Teile der Mathematik nützen überhaupt nichts, um das Universum zu beschreiben. Tausende von Sätzen und Beweisen in der reinen Mathematik sind für die Wissenschaft völlig irrelevant. Es gibt einen berühmten Cambridge-Toast (ob apokryphisch oder nicht): „Auf die reine Mathematik, und möge sie niemals irgendjemandem nützen!“

2. Es ist nicht die Mathematik, die die Welt beschreibt. Es sind physikalische Theorien, die dies tun, und diese haben unverzichtbare mathematische Komponenten, schließen aber Beobachtung, Experimentieren, Theoretisieren und andere konzeptionelle Komponenten ein, die nichts mit Mathematik zu tun haben. Selbst in den erfolgreichsten wissenschaftlichen Theorien ist Mathematik nur ein Element.

3. Nichtsdestotrotz ist es ein Element, und zwar ein notwendiges. Warum ist Mathematik für eine erfolgreiche Wissenschaft so wichtig? Seine Fähigkeit zur Abstraktion spielt eine Rolle. Nehmen wir das Beispiel von jemandem, der eine Leiter schräg an eine Wand stellt. Die Beschreibung der Situation in Englisch oder einer anderen natürlichen Sprache beinhaltet eine Erzählung, die die Farbe des Holzes umfasst, die Frage, warum jemand es dort gelassen hat, die Anzahl der Sprossen und was dem Erzähler sonst noch in den Sinn kommt. Eine mathematische Beschreibung ist strenger; es löscht Details radikal aus (Sarukkai). Es gibt ein Dreieck, das aus der Leiter, der Wand und dem dazwischen liegenden Boden gebildet wird. Aus der Länge der Wand bis zu dem Punkt, an dem die Leiter sie berührt, und der Länge des Bodens zwischen Wand und Leiter können wir die Länge der Leiter berechnen, die dritte Seite des Dreiecks. Natürlich stimmen in dieser realen Situation die Messungen nicht genau mit denen des Kosinussatzes überein, der auf ein ideales oder Modelldreieck angewendet wird. Aber sie werden wesentlich genauer sein als jede Alternative und auf alle Dreiecke verallgemeinern.Die Mathematik ist in gewisser Weise deshalb so erfolgreich, weil sie die reale Welt „mathematisiert“; und die wirkliche Welt eignet sich in gewissen Grenzen zur „Mathematisierung“, zur strengen Beschreibung . Aber innerhalb dieser Messsituation wirken im Hintergrund jede Menge nicht-mathematischer, empirischer Annahmen. Wir nehmen zum Beispiel an, dass das Lineal, mit dem wir Wand und Boden messen, gerade ist und bleibt, dass es richtig kalibriert ist usw.

4. Dies bringt mich zu einem letzten Punkt, der in dem gerade Gesagten enthalten ist. Auch wenn die Mathematik eine unverzichtbare Rolle bei der Formulierung von Naturgesetzen spielt, ermöglichen ihre in Naturgesetzen verkörperten Gleichungen in wenigen Situationen eine präzise Beschreibung oder Vorhersage außerhalb idealisierter Bedingungen. Denn die „Anfangsbedingungen“, auf die Naturgesetze angewendet werden, sind selten frei von „störenden“ Elementen. Wenn wir ein Gesetz anwenden, das die Ausdehnungsrate von Gas auf ein Gefäß beschreibt, das nichts als dieses Gas enthält, ist es unwahrscheinlich, dass ein solches Gefäß existiert. Das Gas muss absolut rein und nicht durch andere Inhaltsstoffe verunreinigt sein, und dies entspricht nicht der realen Welt der wissenschaftlichen Praxis.

Fazit

Auf Ihre sehr gute Frage gibt es keine eindeutige Antwort. Zu den Referenzen, die andere gegeben haben, könnten Sie hinzufügen:

Sundar Sarukkai, „Applying Mathematics: The Paradoxical Relationship between Mathematics, Language and Reality“, Economic and Political Weekly, Bd. 38, Nr. 35 (30. August - 5. September 2003), S. 3662-3670.

Symposium: 'Warum sind die Kalküle der Logik und Arithmetik auf die Realität anwendbar?' G. Ryle, C. Lewy und KR Popper Proceedings of the Aristotelian Society, Supplementary Volumes Vol. No. 20, Logik und Realität (1946), S. 20-60.

Dies ist als Unverzichtbarkeitsargument bekannt , weil der Philosoph Willard Van Orman Quine Mitte des 20. Jahrhunderts damit (grob) argumentierte, dass mathematische Entitäten „unentbehrliche“ Postulate der empirischen Wissenschaft seien, und daher haben wir empirische Beweise dafür, dass mathematische Entitäten existieren.

Es gibt eine Reihe von Einwänden gegen dieses Argument in §4 dieses Stanford-Enzyklopädie-Eintrags.

Eines von van Fraassens Argumenten gegen den wissenschaftlichen Realismus ist auch auf das Argument der Unverzichtbarkeit anwendbar. Er ist das realistische Argument:

Das positive Argument für den Realismus ist, dass er die einzige Philosophie ist, die den Erfolg der Wissenschaft nicht zu einem Wunder macht. Dass sich Begriffe in ausgereiften wissenschaftlichen Theorien typischerweise beziehen (diese Formulierung stammt von Richard Boyd), dass die in einer ausgereiften Wissenschaft akzeptierten Theorien typischerweise ungefähr wahr sind, dass sich derselbe Begriff auf dasselbe beziehen kann, selbst wenn er in verschiedenen Theorien vorkommt – diese Aussagen werden vom wissenschaftlichen Realisten nicht als notwendige Wahrheiten angesehen, sondern als Teil der einzigen wissenschaftlichen Erklärung des Erfolgs der Wissenschaft und damit als Teil jeder angemessenen wissenschaftlichen Beschreibung der Wissenschaft und ihrer Beziehungen zu ihren Objekten.

Und van Fraassens Einwand:

Die Erklärung, die gegeben wird, ist eine sehr traditionelle – adequatio ad rem, die „Angemessenheit“ der Theorie an ihre Gegenstände, eine Art Spiegelung der Struktur der Dinge durch die Struktur der Ideen – Thomas von Aquin hätte sich damit wohlgefühlt.

Nun, lassen Sie uns diese Forderung nach einer wissenschaftlichen Erklärung für den Erfolg der Wissenschaft zunächst akzeptieren. Widerstehen wir auch einer bloßen Wiederholung von Smarts „kosmischem Zufall“-Argument und betrachten wir es stattdessen als die Frage, warum wir überhaupt erfolgreiche wissenschaftliche Theorien haben. Wird diese realistische Erklärung mit scholastischem Aussehen eine wissenschaftlich akzeptable Antwort sein? Ich möchte darauf hinweisen, dass die Wissenschaft ein biologisches Phänomen ist, eine Aktivität einer bestimmten Art von Organismus, die ihre Wechselwirkung mit der Umwelt erleichtert. Und das lässt mich denken, dass eine ganz andere Art von wissenschaftlicher Erklärung erforderlich ist.

Ich kann das am besten verdeutlichen, indem ich zwei Berichte über die Maus vergleiche, die vor ihrem Feind, der Katze, davonläuft. St. Augustinus hat dieses Phänomen bereits bemerkt und eine absichtliche Erklärung geliefert: Die Maus nimmt wahr, dass die Katze ihr Feind ist, daher läuft die Maus. Was hier postuliert wird, ist die „Angemessenheit“ des Denkens der Maus an die Ordnung der Natur: Das Verhältnis der Feindschaft spiegelt sich richtig in seinem Denken wider. Aber der Darwinist sagt: Fragt nicht, warum die Maus vor ihrem Feind davonläuft. Arten, die mit ihren natürlichen Feinden nicht zurechtkamen, gibt es nicht mehr. Deshalb gibt es nur diejenigen, die es tun.

Genauso behaupte ich, dass der Erfolg aktueller wissenschaftlicher Theorien kein Wunder ist. Es überrascht nicht einmal den wissenschaftlichen (darwinistischen) Verstand. Denn jede wissenschaftliche Theorie wird in ein Leben erbitterter Konkurrenz hineingeboren, in einen Dschungel voller Zähne und Klauen. Nur die erfolgreichen Theorien überleben – diejenigen, die sich tatsächlich an tatsächliche Gesetzmäßigkeiten in der Natur anlehnen.

Dies ist aus The Scientific Image , S. 39-40.

Während ich dies lese, argumentiert van Fraassen, dass wir den Vorhersageerfolg wissenschaftlicher Theorien nicht erklären müssen. Wir haben sie so konstruiert, dass sie gute Vorhersagen machen, und wenn sie keine guten Vorhersagen mehr machen, lassen wir sie im Grunde fallen und formulieren neue. Es ist nichts Bemerkenswertes an dem Phänomen, dass wissenschaftliche Theorien, die dazu gedacht sind, gut für empirische Vorhersagen zu sein, tatsächlich gut für empirische Vorhersagen sind. Es folgt nichts über „die Natur der Wirklichkeit“.

Das gleiche Argument kann als Antwort auf Feynmans Argument vorgebracht werden. Wir haben mathematische Formalismen entwickelt und eingesetzt, die für die vorliegende wissenschaftliche Aufgabe nützlich waren. Wenn sie nicht mehr brauchbar sind, entwickeln wir neue Formalismen. Es ist nichts Bemerkenswertes an dem Phänomen, dass mathematische Formalismen, die dafür entwickelt wurden, für bestimmte Aufgaben gut zu sein, tatsächlich gut sind, um diese Aufgaben zu erledigen. Es folgt nichts über „die Natur der Wirklichkeit“.

Ich glaube, es war der Physiker Eugene Wigner, der diese Frage erstmals 1960 in einem Aufsatz mit dem Titel The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences gestellt hat . Philosophen versuchen immer noch, es herauszufinden. Den Physikern ist das völlig egal.

Alles, was wir brauchen, ist, dass die Gesetze der Physik über Raum und Zeit konstant und meist nicht zu kompliziert sind. Daher ist jedes spezifische Ereignis eine Funktion verschiedener Gesetze der Physik und wie sie interagieren. Mit anderen Worten, es ist ein logisches Produkt der Gesetze der Physik.

Da es logisch ist, können wir mathematische Modelle der Gesetze erstellen. Da es in der Mathematik darum geht, von Prämissen zu Schlussfolgerungen zu gelangen, sagt Mathematik dem Wissenschaftler, was in einer bestimmten Situation passiert, in der bestimmte Gesetze zusammenwirken.

Wir brauchen das „meistens nicht zu kompliziert“, um diese Tatsache tatsächlich nutzbar zu machen. Wir müssen für die meisten Dinge, die uns Sorgen bereiten, keine mathematischen Modelle verwenden, die zu komplex sind, um sie zu lösen. Wenn wir die Mathematik für einen Teil des Universums nicht lösen könnten, wäre es nicht nützlich. Da es genügend physikalische Gesetze gibt, die kontinuierlich sind (in dem Sinne, dass kleine Änderungen kleine Unterschiede verursachen) und in gewisser Hinsicht positiv linear sind, können wir mit ziemlich einfacher Mathematik nützliche Ergebnisse erzielen.

Die zunehmende Abstrusheit ist eine Folge davon, wie wir Gesetze entdecken. Wir entdecken Gesetze, die sich mathematisch leicht ausdrücken lassen, und so stellen wir im Laufe der Forschung immer fest, dass wir die meisten Gesetze mit einer bestimmten Komplexität oder weniger gefunden haben, sodass der nächste, den wir finden, wahrscheinlich komplizierter und mathematisch abstruser ist.

Ich wurde hierher gezogen von einer kürzlichen ähnlichen math.se-Frage, für die ich diese Antwort entworfen habe, bevor sie geschlossen wurde:

Das ist eine knifflige Frage, weil unklar ist, ob die Antwort erkenntnistheoretisch, metaphysisch oder eine Mischung ist. Lassen Sie uns diese beiden Optionen separat ausprobieren, jede vereinfacht, aber hoffentlich nicht über den Punkt der Nützlichkeit hinaus:

Erkenntnistheorie, dh wie mathematische Erkenntnis möglich ist

Abschnitt 7 diskutiert hier , wie Regelmäßigkeit in der Natur verstanden werden könnte, im Lichte von Einwänden wie David Humes gegen Induktion und ähnlichen Formen der Argumentation. Wenn wir nicht a priori einen Grund haben, zu erwarten, dass eine solche Argumentation funktioniert, kann sie sich nicht empirisch beweisen, weil ein solches Argument darauf hinauslaufen würde: „Inferenzen über das Unbeobachtete aus dem Beobachteten werden in diesen unbeobachteten Fällen funktionieren, weil sie in diesen funktionierten beobachtete Fälle". Aber vielleicht haben wir einen solchen Grund.

Solange zum Beispiel die „angemessene“ Hypothesenklasse, mit der wir beginnen, eine endliche VC-Dimension hat, braucht es nur einen endlichen (tatsächlich überraschend kleinen) Datensatz, um diese Klasse auf wahrscheinlich annähernd korrekte Weise einzugrenzen. Der genaue hier zu zitierende Satz hängt von der betrachteten Hypothesenklasse ab, aber solche Hypothesenklassen sind eine mathematische Variante der von Popper betrachteten falsifizierbaren Hypothesen. Kurz gesagt, jeder Ausgangspunkt der Form „die Welt funktioniert nach diesen Gleichungen, diesen endlich vielen empirisch zu bestimmenden Parametern“ erfüllt automatisch die Kriterien, um empirisch an die Welt angepasst und möglicherweise falsifiziert zu werden, wobei wir in diesem Fall immer beginnen können Über.

Physiker haben auch erforscht, warum endlich viele Parameter unendlich vielen vorzuziehen sind. Mindestens ein großes offenes Problem in der Physik ergibt sich aus einer unendlichen Anzahl von Parametern, von denen wir nicht wissen, wie man sie endlich macht.

Metaphysik, dh warum die Natur des Universums einer mathematischen Darstellung förderlich wäre

Sie werden erstaunt sein, wie viel von der Physik, die wir kennen, aus der Vorstellung abgeleitet werden kann, dass bestimmte Perspektivwechsel keinen Unterschied machen, weil die Realität objektiv ist, weil sie nur Koordinatentransformationen sind. Wir können dies in Form von Symmetrien oder Erhaltungssätzen beschreiben, wenn Sie dies vorziehen .

Obwohl ich im Moment keine Referenz finden kann, haben einige Forscher Theoreme der Form bewiesen: "Wenn diese Tatsachen über die Welt, die überhaupt nicht mathematisch klingen, wahr sind, gibt es eine Möglichkeit, Zahlen den Ereignissen in zuzuordnen Raum und Zeit, die diese vertrauten physikalischen Gleichungen wahr machen". Dies ist ungefähr analog dazu, wie Tarski die euklidische Geometrie in Bezug auf Linien, die sich an Punkten schneiden, und wie Punkte auf Linien angeordnet sind, neu formulierte. Als ich vor einem Jahrzehnt zum ersten Mal an einem Vortrag zu diesem Thema teilnahm, war die Newtonsche Mechanik in einer komplexeren Version dieser Idee bereits auf „Nicht-Mathematik“ reduziert worden, und es wurde daran gearbeitet, dasselbe für die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie zu tun.

Ich habe bisher viel über Physik gesprochen. OK, aber was ist mit Chemie oder Anatomie oder Wirtschaftswissenschaften? Nun, hier ist Metaphysik entscheidend. Nehmen wir an, wir akzeptieren, nur für den Moment, dass die Dinge in der Welt bis zu einem gewissen Punkt aus kleineren Dingen bestehen, wonach wir die unteilbaren „Atome“ der alten Griechen getroffen haben. Wenn das stimmt , wird die Mathematik der kleinsten Dinge die Mathematik der nächstkleinsten Dinge aufzwingen usw. Auf der anderen Seite können uns ganz andere Argumente Anlass zu Optimismus geben, wenn es um verschiedene metaphysische Annahmen geht, wie zum Beispiel unendlich teilbare Flüssigkeiten, Teilchen, die aus mehr entstehen Grundfelder usw.