Die Aussage gilt sowohl im klassischen als auch im Quantenfall:

Klassische Mechanik

Die Symmetriegruppe der Funktion$H:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$gegeben von$H(q,p)=\sum_{i=1}^3(q_i^2+p_i^2)$ist in der Tat$O(6)$, wie Sie vermutet haben. Wenn jedoch über Symmetrien gesprochen wird, ist eine zusätzliche Bedingung erforderlich: Sie sollten die symplektische Struktur bewahren.

Um zu verstehen, was damit gemeint ist, denken Sie daran, dass Hamiltons Gleichungen sind$\dot{q_i}=\partial H/\partial p_i$Und$\dot{p_i}=-\partial H/\partial q_i$. Sie können geschrieben werden als

$$\begin{equation} \left(\begin{array}{c}\dot{q}\\\dot{p}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}0 & I \\ -I & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p}\end{array}\right) \end{equation}$$ Wo $I$ist der $3\times 3$Identitätsmatrix. Wenn wir also wollen, dass die Form der Hamilton-Gleichungen unter einer Transformation invariant ist $$\begin{equation} \left(\begin{array}{c}q\\p\end{array}\right)\mapsto M\left(\begin{array}{cc}q \\ p\end{array}\right) \end{equation}$$ es sollte befriedigen $M^T \Omega M = \Omega$Wo $$\begin{equation} \Omega = \left(\begin{array}{cc}0 & I \\ -I & 0\end{array}\right). \end{equation}$$

Die Gruppe solcher Matrizen$M$ist die symplektische Gruppe$Sp(6,\mathbb{R})$. Die Gruppe der Symmetrien sollte nun der Schnittpunkt von sein$O(6)$Und$Sp(6,\mathbb{R})$. Verwenden der allgemeinen Eigenschaft $U(n)=O(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{R})$wir bekommen, dass die gesuchte Gruppe ist$U(3)$.

Quantenmechanik

Eine Erklärung, warum die Symmetriegruppe nicht sein kann$O(6)$(in einem allgemeineren Fall) finden Sie in der Antwort auf diese Frage , wie in den Kommentaren ausgeführt.

Jetzt wollen wir sehen, dass die Symmetriegruppe ist$U(3)$. Wir benötigen die Invarianz von$H$und von Vertauschungsbeziehungen $[q_i,q_j]=[p_i,p_j]=0$,$[q_i,p_j]=i\delta_{ij}$, die zusammen geschrieben werden können als$[(q,p)^T,(q,p)]=i\Omega$. Daher sind die kommutatorerhaltenden Transformationen$Sp(2,\mathbb{R})$und nach der gleichen Überlegung wie zuvor ist die Gruppe der Symmetrien$U(3)$.

Die kanonischen Referenzen dafür sind:

1. Fradkin, DM "Dreidimensionaler isotroper harmonischer Oszillator und SU3." American Journal of Physics 33.3 (1965): 207-211,
2. Harvey, Malcom. "Das nukleare SU3-Modell." Fortschritte in der Kernphysik. Springer USA, 1968. 67-182

Kurz gesagt, die Symmetriegruppe der$n$Der -dimensionale harmonische Oszillator lässt sich am besten verstehen, indem man die Impulse und Positionen mit Hilfe der Erzeugungs- und Zerstörungsoperatoren ausdrückt$\hat a_k^\dagger$Und$\hat a_k$, mit$k=1,\ldots,n$. Dies macht deutlich, dass die Symmetriegruppe nicht auf reale Transformationen und auf "Punkt"-Transformationen beschränkt ist, die Positionen und Momente getrennt mischen.

Jeder Komplex$n\times n$Transformation$U$Senden$\hat a_k\to U\hat a_k$muss man auch schicken$\hat a_k^\dagger\to \hat a_k^\dagger U^\dagger$. Daher$H=\sum_k \hat a_k^\dagger \hat a_k$unveränderlich wenn$U^\dagger U$ist die Einheitsmatrix, woher$U$ist ein$n\times n$unitäre Matrix.