Warum kann hier kein Beobachter die Eigenzeit messen?

Meines Erachtens ist die Frage schlecht formuliert. Seine Antwort hängt stark von einer subjektiven oder kontextabhängigen Terminologiewahl ab, nicht nur von physikalischen Tatsachen; es lässt einige wichtige Punkte unspezifiziert; und es verwechselt "undefiniert sein" mit "nicht messbar sein". Diese Bedenken kommen auch in der Antwort von joigus und dem Kommentar von RWBird zum Ausdruck. Lassen Sie mich diese Punkte der Reihe nach ansprechen.

Erstens , ob der Begriff „Eigenzeit“ für einen lichtähnlichen Weg verwendet werden kann, ist eine Frage der Konvention, der persönlichen Wahl und des Kontexts. Wenn wir es mit Signalen zu tun haben, die sich mit einer Geschwindigkeit von weniger als ausbreiten$c$, dann ist der Begriff "Eigenzeit" angemessen und kann berechnet oder gemessen (siehe unten) größer als Null sein. Wenn die Geschwindigkeit des Signals erhöht wird, um einen Grenzwert von$c$, hat die Eigenzeit einen Grenzwert von Null. In einem solchen Fall kann es nützlich sein, den Begriff "Eigenzeit" einfach beizubehalten und zu sagen, dass sein Wert Null ist, wenn das Signal lichtartig wird, anstatt den Begriff im Grenzfall plötzlich für unanwendbar zu erklären. Dies ist eine Frage der terminologischen Konvention, nicht der Physik.

Diese Art von Grenzsituationen taucht oft in der Relativitätstheorie auf. Betrachten Sie zum Beispiel dieses Zitat von Gourgoulhon (2012):

Infolgedessen tendiert in diesem Bereich die Eigenzeit (von Eulerschen Beobachtern) zwischen zwei benachbarten Hyperflächen gegen Null als$t$erhöht sich.

Tatsächlich könnte sich das Funksignal beispielsweise durch verdünnte Materie ausbreiten und daher eine geringere Geschwindigkeit als haben$c$. In diesem Fall können wir von einer Nicht-Null-Eigenzeit des Intervalls zwischen Quelle und Ziel sprechen.

Zweitens sind undefiniert und nicht messbar zwei sehr unterschiedliche Dinge, und ihre Unterscheidung ist in der Physik sehr wichtig. Zum Beispiel: „In Bezug auf elektromagnetische Feldgrößen nehmen wir die Position ein, dass sie nur im Vakuum messbar sind “ (Hutter & al. 2006), und dennoch definieren wirsie auch innerhalb der Materie, wo sie nicht messbar sind. Die Unmessbarkeit führt zu mehreren unterschiedlichen Definitionen und Formulierungen (der Chu-Formulierung, der Minkowski-Formulierung und verschiedenen anderen). Die Definitionen sind unäquivalent, aber die Formulierungen sind dennoch äquivalent (und viele von ihnen werden tatsächlich heute verwendet), weil sie zu denselben Vorhersagen für die messbaren Größen führen. Für eine Diskussion dieser Themen siehe beispielsweise Penfield & Haus (1967) oder Hutter & al (2006).

Im vorliegenden Fall könnte sogar argumentiert werden, dass wir nicht einmal ein Definitionsproblem haben, siehe unten.

Drittens ist nicht klar (zumindest aus dem von Ihnen zitierten Ausschnitt), was die Autoren mit "nach Maß" meinen. Die Eigenzeit eines zeitähnlichen Weges, dargestellt durch eine Kurve$C\colon [a,b] \to \text{spacetime}$ist gegeben durch das Integral (siehe zB Misner & al 1973 S. 316)

Dieses Integral, das allgemein als "Weglänge" bezeichnet werden kann, ist auch für lichtartige und raumartige Wege definiert. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Pfadlänge zu messen. Für einen zeitähnlichen Pfad kann es direkt von einer Uhr gemessen werden, die sich entlang dieses Pfades bewegt. Für raumähnliche oder gemischte Pfade ist das Verfahren etwas komplizierter, basiert aber immer noch auf Beobachtern, die Uhren tragen; siehe die erhellende Diskussion bei Frankel (1979) Kap. 2, oder in Landau & Lifshitz (1996) § 84. Aufgrund des Unterschieds zwischen diesen Möglichkeiten verwenden wir den Begriff „Eigenzeit“ im zeitähnlichen Fall und „Eigenlänge“ (siehe z. B. Misner & al. 1973, S. 324 ) im raumartigen.

In allen Fällen kann die Weglänge aber auch von jedem mit einem "Radarsystem" ausgestatteten Beobachter (genügend nahe am Bereich des Weges) gemessen werden. Ein solcher Beobachter misst und rekonstruiert im Grunde nur die Raumzeit und ihre 4D-Geometrie in einer lokalen Nachbarschaft und kann daher die Längen aller Pfade in dieser Nachbarschaft berechnen. Die Weglänge des fraglichen Funksignals kann von jedem Beobachter mit derselben Methode gemessen werden. Ich würde das auch als "Messung" bezeichnen. Schließlich messen wir das Universum um uns herum, und wir tun dies selten (wenn überhaupt), indem wir wirklich Beobachter mit Uhren herumschicken. Siehe hierzu zB Dautcourt (1983). Komar (1965) könnte hier zitiert werden:

Zu jedem gegebenen Zeitpunkt "sieht" oder sammelt ein Beobachter gleichzeitig Informationen von allen Ereignissen, die auf seinem vergangenen Nullkegel liegen. [...] Die Ereignisse, die wir als Sterne am Nachthimmel visualisieren können, werden nicht durch Entfernungsmessungen unterschieden oder lokalisiert, sondern ausschließlich durch Messungen des Winkels und der relativen Lichtintensität. Wenn wir Messungen betrachten wollen, die sich über ein endliches Zeitintervall erstrecken können, müssen wir auch Frequenzmessungen einbeziehen.

Zusammenfassend würde ich alle Antworten in der Frage verwerfen und stattdessen diese Antwort geben:

Wenn sich das Signal mit einer Geschwindigkeit von weniger als ausbreitet$c$, seine Weglänge [definiert durch das obige Integral] könnte direkt von einem Beobachter gemessen werden, der sich mit dem Signal bewegt und eine Uhr trägt. Aus diesem Grund nennen wir in diesem Fall die Weglänge "Eigenzeit". Aber es könnte auch von jedem anderen ausreichend nahen Beobachter durch ein System von Radarmessungen gemessen werden, und alle Beobachter würden sich auf seinen (von Null verschiedenen) Wert einigen. Wenn sich das Signal auf einem lichtähnlichen Weg ausbreitet, könnte die Weglänge vom uhrtragenden Beobachter nicht direkt gemessen werden, und aus diesem Grund möchten wir es vielleicht nicht als "Eigenzeit" bezeichnen. Aber es könnte immer noch von den Beobachtern des Radarsystems gemessen werden, die sich auf einen Wert von Null einigen würden; in manchen Situationen könnten wir uns darauf einigen, dies aus Bequemlichkeit immer noch "Eigenzeit" zu nennen, da sich ihr Wert kontinuierlich mit kontinuierlichen Verformungen von Signalpfaden ändert.

Ich würde auch diese (hoffentlich nicht verwandte) Frage aus Gibson (1964) gegenschlagen:

(i) Fördern wir in unseren Schulen und Hochschulen den Geist des Forschens, der Skepsis, des abenteuerlichen Denkens, des Sammelns und Reflektierens von Erfahrungen? Oder legen wir großen Wert auf Fügsamkeit und würdigen die Fähigkeit des Studenten, in Prüfungen wortwörtlich das wiederzugeben, was er gefüttert bekommen hat?

Verweise

• Dautcourt (1983): Das kosmologische Problem als Anfangswertproblem auf dem vergangenen Lichtkegel des Beobachters: Geometrie .

• Frankel (1979): Gravitationskrümmung: Eine Einführung in Einsteins Theorie (Freeman).

• Gibson (1964): Unser Erbe von Galileo Galilei .

• Gourgoulhon (2012): 3+1-Formalismus in der Allgemeinen Relativitätstheorie: Grundlagen der Numerischen Relativitätstheorie ( arXiv ).

• Hutter, van der Ven, Ursescu (2006): Elektromagnetische Feld-Materie-Wechselwirkungen in thermoelastischen Festkörpern und viskosen Flüssigkeiten .

• Komar (1965): Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie und die Form des Großen Wagens .

• Landau, Lifshitz (1996): Die klassische Feldtheorie .

• Misner, Thorne, Wheeler (1973): Gravitation .

• Penfield, Haus (1967): Elektrodynamik bewegter Medien .

Laut Wikipedia ,

Die eigentliche Zeit kann nur für zeitähnliche Wege durch die Raumzeit definiert werden , die die Konstruktion eines begleitenden Satzes physikalischer Lineale und Uhren ermöglichen. Für lichtähnliche Pfade gibt es kein Konzept der Eigenzeit und sie ist undefiniert, da das Raumzeitintervall Null ist.

Der Pfad, der die beiden von Ihnen erwähnten Ereignisse verbindet, dh das Ereignis, dass ein Funksignal von Ajax ausgesendet wird, und das Ereignis, dass das Signal Hector erreicht, ist ein lichtähnlicher Pfad. Für lichtähnliche Pfade gibt es kein Konzept der Eigenzeit. Es ist undefiniert. Das ist der Grund, warum hier kein Beobachter die Eigenzeit messen kann, weil sie undefiniert ist

Die Eigenzeit ist die Zeit, die eine einzelne Uhr erfährt. Ein echtes Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen ist ein Intervall, das von einer Uhr gemessen wird, die bei beiden vorhanden ist. Die Dauer des Intervalls hängt vom Weg der Uhr ab und ist am längsten für eine Uhr, die sich selbst als stationär betrachten kann zwischen den beiden Ereignissen (dh eine Uhr, die keine Beschleunigung erfahren hat).

Um ein richtiges Zeitintervall zwischen der Emission des Signals durch Ajax und seiner Erkennung durch Hector zu messen, müsste eine Uhr zwischen den beiden Ereignissen reisen, was nicht möglich ist, da Uhren nicht mit Lichtgeschwindigkeit reisen können.

Wenn das Signal von Hector zurückreflektiert würde, könnte eine Uhr auf Ajax die Eigenzeit auf Ajax zwischen der Emission und der Rückkehr des Signals messen, aber das ist ganz anders als die Eigenzeit entlang des Signalwegs.

Joigus weist darauf hin, dass die Eigenzeit des Signals auf dem Weg bekanntlich Null ist, aber ich nehme an, wer auch immer die Prüfungsfrage gestellt hat, hat das Wort „gemessen“ wörtlich genommen.

Die richtigen Antworten sind entweder A, B oder C. Die einzige, die definitiv falsch ist, ist D! Jeder Trägheitsbeobachter kann die Eigenzeit messen. Es ist nur so, dass es für Flugbahnen von Objekten, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, zufällig Null ist . Ausstehende Qualifikationen zum richtigen Zeitpunkt von wasExakt?; die Signale selbst?, dann ist die Antwort Null; der Flugbahnen von Ajax und Hector? Wenn letzteres der Fall ist, kann die Antwort aus der Kenntnis von Geschwindigkeiten, gemessen von einem beliebigen Inertialsystem, abgeleitet werden. Sie ist nicht null und entspricht der Zeit, die sie in ihren jeweiligen Labors zB mit Atomuhren messen. Sie können offensichtlich nicht eine Atomuhr auf einem Photon sitzen lassen und die Zeit auf diese Weise messen, aber Sie können sicher sein, dass die richtige Zeit für das Photon Null ist – also ist sie gut definiert.

Ich sage nicht, dass die Tatsache, dass die Eigenzeit für einige Bewegungen identisch Null ist, keine Probleme aufwirft. Es tut. In der Allgemeinen Relativitätstheorie gehen Sie diese an, indem Sie eine Technik namens "affine Parameter" verwenden. Aber das ist eine andere Geschichte. Und ja, die Eigenzeit ist in dem beschriebenen Fall gut definiert.