Warum muss der Umfang der Elektronenbahn ein Vielfaches der De-Broglie-Wellenlänge sein?

Ich gehe davon aus, dass Sie mit den Eigenschaften von Wellen wie Interferenz und Beugung vertraut sind.

Stellen Sie sich ein Elektron vor, das den Kern umkreist. Nach der Hypothese von de Broglie würden wir es als eine Welle betrachten, die um den Kern kreist. Nun, sobald die Elektronenwelle einmal umkreist, würde sie beim zweiten Mal mit der ersten Welle interferieren. Damit das System stabil ist, sollte sich das Elektron nicht selbst aufheben, also muss die Welle konstruktiv interferieren. Das heißt, der Umfang muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge des Elektrons sein.

Hier ist ein Bild, das zeigt, wie die Elektronenwelle gemäß der Bohrschen Theorie im Atom existieren soll.

Eigentlich nichts. Es war eine ziemlich wilde Vermutung von Bohr und lieferte ihm das Spektrum von Wasserstoff. Ziemlich gute Vermutung.

De Broglie schlug die Existenz von Materiewellen vor und gab eine Beziehung zwischen ihrer Wellenlänge und ihrem Impuls an.

$\lambda=\frac{h}{p}$,

Er sagte, dass diese Beziehung ganz allgemein ist. Es kann auf Materieteilchen und sogar Photonen angewendet werden.

Bohr betrachtete in seinem Atommodell ein Elektron in Form einer stehenden Elektronenwelle, und wenn diese Welle über den Umfang der stationären Umlaufbahn, in der sich das Elektron befindet, kontinuierlich sein soll, muss der Umfang ein ganzzahliges Vielfaches seiner Wellenlänge sein$(n\lambda)$.

$2\pi r=n\lambda$

$2\pi r=\frac{nh}{p}$

$pr=\frac{nh}{2\pi}$

Und schlussendlich,

$mvr=\frac{nh}{2\pi}$

Dies ergibt sich aus der Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsformel, die aus der semiklassischen WKB-Näherung der Quantenmechanik abgeleitet werden kann, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Die Quantisierungsbedingung folgt aus dem Erfordernis der Eindeutigkeit der Wellenfunktion.

Ganz neu hier. Jedenfalls war es von vornherein keine Vermutung von Bohr. Und es ist so, um Energie zu sparen, sonst wird es, sobald es phasenverschoben ist, Energie verlieren und die Niels-Quantisierung wird nicht gültig sein. Das ist die logische Erklärung, obwohl sie immer noch unvollständig ist, wenn man bedenkt, dass viel im Gange ist und die Theorie, auf die wir uns beziehen, in hohem Maße veraltet ist. Viel Spaß beim Lernen!