Warum nicht die Quantenmechanik mit Lagrangianern formulieren? [Duplikat]

Wie der Titel schon sagt, warum beschreiben die gängigsten Formalismen, die wir in der Quantenmechanik verwenden, Systeme lieber mit den Begriffen eines Hamilton-Operators anstelle eines Lagrange-Operators?

Gibt es eine Bequemlichkeit, unsere Systeme auf die eine oder andere Weise zu definieren? Gibt es mir nicht bekannte Fälle, in denen der Lagrange-Formalismus bevorzugt wird?

Wäre interessant für jemanden, ein Argument für die Verwendung von Lagrange zu geben.
Mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/21866/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (3)

Das liegt daran, dass sie auf dem historischen Ansatz basieren: Schrödingers Gleichung.

Die Schrödinger-Gleichung wurde für sich entdeckt, bevor wir etwas über die kanonische Quantisierung wussten. Dirac hat die kanonischen Quantisierungsregeln entwickelt, die Schrödingers Gleichung in die uns heute bekannte umgeschrieben (und verallgemeinert) haben, H ^ ψ = ich ψ ˙ .

Allerdings gibt es einen Ansatz, der die Wirkung (und damit die Lagrange- oder Lagrange-Dichte) aufgrund von Feynman verwendet: Der Pfadintegral-Ansatz. Dieser Ansatz hat als größten Vorteil die Fähigkeit, mit der Speziellen Relativitätstheorie in Einklang gebracht zu werden, die sich als viel zu schwierige Aufgabe für Erweiterungen der Schrödinger-Gleichung erwies (die Dirac-Gleichung war der erfolgreichste Versuch, war aber nicht allgemein genug, um einige Phänomene zu beschreiben). .

Dies wird in der fortschrittlichsten Quantenphysik wie der Quantenfeldtheorie verwendet, wobei die Quantenelektrodynamik das beste Beispiel ist. Aber wenn Sie sich nicht für hochenergetische Teilchenphysik oder wirklich fortgeschrittene Physik der kondensierten Materie interessieren, ist die traditionelle Quantenmechanik ausreichend.

Ich habe keine Antwort darauf, warum es keine einfache Lagrange-Formulierung gibt, aber ich kann erklären, warum eine Hamilton-Formel einfach ist. Ein Teil des Weges von der klassischen Mechanik zum Quantensystem besteht darin, Poisson-Klammern durch Kommutatoren und Observablen durch Operatoren im Hilbert-Raum und ihren Erwartungswerten zu ersetzen. Also die Gleichung

D D T F ( Q , P , T ) = { F , H } + ∂ F ∂ T

wird zum Quant

D D T ⟨ F ⟩ = − ich ⟨ [ F , H ] ⟩ + ⟨ ∂ F ∂ T ⟩ .

Der Hamilton-Operator ist also praktisch, weil er die zeitliche Entwicklung von Operatoren, Zuständen und Erwartungswerten direkt angibt. Da der Hamilton-Operator eine konservierte Größe ist, sind stationäre Zustände (dh diejenigen, die sich nicht mit der Zeit entwickeln) Eigenvektoren des Hamilton-Operators, und Eigenwertprobleme sind einfach.

Diese Antwort ist viel näher an dem, was ich suche! Ist der Lagrange-Operator nicht auch eine Erhaltungsgröße, wenn der Hamilton-Operator erhalten bleibt? Oder erinnere ich mich nicht richtig an die Lagrange-Funktion?
Wenn der Lagrangian nicht explizit von der Zeit abhängt, bleibt der Hamiltonian erhalten. Sie können den Lagrangian daran erkennen, dass die potentielle Energie sinkt, der kinetische Term steigt, wodurch der Lagrangian ansteigt.

Ich kann mir mehrere Gründe vorstellen, warum die Verwendung von Hamiltonianern bevorzugt wird, aber der wichtigste ist, würde ich sagen, dass Sie den Pfadintegralformalismus verwenden müssen, um (nicht relativistische) QM in Bezug auf den Lagrangian zu formulieren, was z ein Bachelor-Studium, ist ein bisschen übertrieben.

Auch viele der bekanntesten Gleichungen in QM, wie zum Beispiel die Schrödinger-Gleichung, verwenden den Hamilton-Operator: H ^ Ψ = E ^ Ψ Also, obwohl es möglich ist, warum es ändern? Es wäre ziemlich schmerzhaft, dies zu tun.

Soweit ich weiß, stützt sich die moderne QM jedoch stark auf den Hamilton- und den Lagrange-Formalismus.

Hoffe es hat geholfen!

Danke für ein paar Gedanken zu diesem Thema! Overkill für ein Bachelor-Studium ist leider keine große Begründung. Gibt es für die Schrödinger-Gleichung einen bestimmten Grund, warum die Verwendung der Hamilton-Formel zu etwas "Saubererem" oder Verwendbarerem als der Lagrange-Formel führt?
Entschuldigung, dass ich nicht viel rationaler war, aber ich war mir nicht sicher, nach welcher Art von Antwort Sie gesucht haben: p. Wie auch immer, ja, es gibt mehrere Gründe, warum man den Hamilton-Operator verwendet, erstens liefert er eine Antwort in Bezug auf das Momentum und erlaubt uns, die Zukunft weiter vorherzusagen, außerdem ist er von einem Lagrange-Operator abgeleitet, so dass er umgekehrt werden kann wieder in eins. Was die Schrödinger-Gleichung betrifft, so erklärt der Hamiltonoperator die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion in Form von Planken und i, was eindeutig vorteilhaft ist, wenn es um die Entwicklung eines Systems geht.
Kein Problem! Ich suche aber etwas Konkreteres. Der Lagrange-Formalismus bietet einen perfekten Rahmen, um die Evolution eines Systems im Zeitverlauf mit klassischen Systemen zu untersuchen – warum sollte ein Hamilton-Operator es uns ermöglichen, besser in die Zukunft zu sehen als ein Lagrange-Operator? Leider ist "eindeutig vorteilhaft" keine große Begründung. Eindeutig vorteilhaft gegenüber was?
Ok, ich glaube, ich komme dahin, wo Sie hinwollen. Meine beste Erklärung wäre, dass der Hamiltonian leichter zu diagonalisieren ist, da er weniger Freiheitsgrade hat. Leider bin ich nicht in der Lage, dies über den a-Thread vollständig zu erklären, Sie könnten es versuchen um auf diese Seite zuzugreifen: mathpages.com/home/kmath523/kmath523.htm oder kontaktieren Sie mich, ich helfe Ihnen gerne weiter!
Warum nicht die Quantenmechanik mit Lagrangianern formulieren? [Duplikat]
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