Warum sagt man, dass stehende Wellen keine Energie übertragen?

Stehende Wellen entstehen immer durch die Interferenz zweier (oder mehrerer) Wellen. ZB in einem Seil oder einer Schnur: die Interferenz zwischen einer Welle und der reflektierten Welle (wenn die erste Welle das Ende des Seils erreicht, wird sie reflektiert), die sich in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet, wie unten zu sehen ist. Es ist jedoch interessant festzustellen, dass diese beiden Wellen die gleiche Frequenz haben.

^{Bildquelle: Wikipedia .}

Tritt diese Situation in einem unendlichen Seil auf, sind immer stehende Wellen die Folge. In endlichen Seilen (die häufiger bei Musikinstrumenten und in der Realität im Allgemeinen vorkommen) treten stehende Wellen nur dann auf, wenn ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Länge des Seils und der Wellenlänge besteht.

Der Grund dafür, dass keine Energie übertragen wird, liegt in der Betrachtung eines einzelnen Punktes auf dem Seil. Die in der Schwingung gespeicherte Energie ist$\frac{1}{2}m\omega^2 A^2$. Da die Schwingungsfrequenz ($\omega = 2\pi F$) und die Amplitude ($A$) für jeden einzelnen Punkt in einer stehenden Welle konstant ist, bleibt die Energie für jeden Punkt konstant.

Da stehende Wellen nur entstehen, wenn die Frequenz der beiden Wanderwellen gleich ist und bestimmte Bedingungen erfüllt sind (Relation Seillänge zu Wellenlänge), reicht es nicht aus, dass sich die beiden Wellen in entgegengesetzter Richtung ausbreiten.

Stehende Wellen führen also zu einer Geigensaite, wenn ein Bogen über die Saite bewegt wird. Wie oben erklärt, ist die Energie in einem einzelnen Punkt der Saite in einer stehenden Welle konstant. Oder wäre es, wenn Energie nicht aufgrund des Luftwiderstands an die Luft um die Saite herum verloren (übertragen) würde

Instrumente sind hörbar, weil es Energielecks gibt: Die "stehende" Welle würde nicht unendlich (ohne neue Energiezufuhr) stehen. Bei Schnurinstrumenten wird ein wenig Energie durch Reibung mit Luft diffundiert, aber die meiste diffundiert über das Schnurende, dann über die Leitung zum Hauptbett und dann über eine große Bewegungsübertragung an die Luft (dann bis zu Ihren Ohren).

Aber innerhalb der Schnur gibt es keinen sauberen Transport in die eine oder andere Richtung. Deine Gitarre wird nicht weggedrückt (oder gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen gedrückt) :-)

Zu sagen, dass stehende Wellen - wie in Saiten einer Geige oder wie die Resonanz einer Glocke - keine Energie übertragen, ist eine grobe Annäherung und in der Realität nicht haltbar.

• Jede stehende Welle eines an beiden Enden befestigten Körpers wird von Spannungsänderungen des schwingenden Körpers begleitet. Je höher die Spannung, desto dünner wird der Körper in diesen Bereichen und umgekehrt. Dieser Vorgang führt zu Reibung der beteiligten Körper und zu Wärmeverlusten. Ohne Ihre Erfahrungen zu kennen, nehmen Sie ein Edelstahlblech oder eine Rundstange (es ist sehr zäh und ausdauernd) und biegen Sie es vor und zurück, es wird warm oder sogar heiß.
• Zweitens geht die periodische Beschleunigung von Teilen des Schwingkörpers mit der Emission elektromagnetischer Strahlung einher.
• Drittens übertragen die fixierten Enden Energie in die Fixierungen.

Um dies zu verhindern, können Sie eine starre, aber elastische Rute verwenden und diese Rute gleichmäßig auf vier Punkte schlagen:

Aber auch bei diesem nicht am Endstab fixierten klingen die Vibrationen schnell ab. Unterhalb des Stabes sehen Sie den Querschnitt des Stabes. Je höher die Spannung, desto mehr hat der Stab einen nahezu elliptischen Querschnitt, dies führt zu innerer Reibung und Wärmeverlusten.

Während die Probleme der Strahlung (z. B. Energieübertragung in die Luft oder auf Stützen und das Hören des Klangs einer vibrierenden Saite) und Unvollkommenheiten (Energieverlust durch dissipative Effekte) beide oben beantwortet wurden, gibt es keinen Grund, die Energieübertragung INNERHALB jedes Segments auszuschließen, das zwischen zwei liegt Knoten (oder Bäuche) in einer stehenden Welle. Dies sind die Punkte einer stehenden Welle, durch die kein Energiefluss stattfindet.

Betrachten Sie zum Beispiel eine stehende Transversalwelle auf einer Saite mit Wellenfunktion

Sie können die gleiche Berechnung für eine stehende elektromagnetische Welle durchführen, indem Sie den Zeitdurchschnitt des Poynting-Vektors nehmen, um die durchschnittliche übertragene Leistung von Null zu ermitteln.

Sie können dies schließen, indem Sie denken, dass die stehende Welle eigentlich die Überlagerung von zwei Wanderwellen ist, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen, sodass die Energie, die von einer einzelnen Welle in eine Richtung übertragen wird, vollständig durch die Energieübertragung in die entgegengesetzte Richtung kompensiert wird. Dies hält die Gesamtenergie (Summe aus potentieller und kinetischer Energie) jedes Teilchens in der stehenden Welle konstant (lesen Sie "Teilchen" als differentielles Längensegment).$\mu dx$, Wo$\mu$ist die Masse pro Längeneinheit der Saite).

Eine weitere Einsicht könnte durch die Beobachtung gebracht werden, dass sich ausbreitende Wellen „ausbreiten“, weil jedes Segment der Saite seine Störungen (Impuls, Energie) an das benachbarte Teilchen weiterleitet. Wenn wir also aufhören, Energie zu liefern, hört die Verschiebung an der Anfangsposition auf und die Welle bewegt sich weiter, da Energie in Richtung der Wellengeschwindigkeit übertragen wird. Im Fall von stehenden Wellen (im Idealfall) benötigen Sie jedoch an keiner Stelle Energie, um die Bewegung aufrechtzuerhalten. Die Energie wird innerhalb des bereits schwingenden Saitensegments gehalten, genau deshalb „wandert“ eine stehende Welle nicht.

Wenn keine Energieverluste auftreten, interferieren zwei Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude, die sich jedoch in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, um reine stehende Wellen zu erzeugen. In der folgenden Animation sind sowohl rote als auch blaue Wellen identisch, außer dass die rote Welle von rechts nach links wandert, während die blaue Welle von links nach rechts wandert:

^{Bildquelle: Wikipedia , aber ich habe es aus dieser Antwort kopiert .}

In diesem Idealfall von null Energieverlusten wird zwar keine Energie von einem Ende zum anderen Ende übertragen. Es gibt viele Möglichkeiten, dies zu erklären. Eine wurde in der Frage selbst angegeben - da die Wanderwellen die gleiche Energie tragen, aber in entgegengesetzte Richtungen, gibt es keine Nettoenergieübertragung. Dies wird auch durch Symmetrie unterstützt. Wenn die Energie von links nach rechts fließt, warum dann nicht umgekehrt?

In Wirklichkeit geht jedoch Energie auf verschiedene Weise an die Umgebung verloren, wie in der akzeptierten Antwort angegeben . Und Sie haben Recht, dass Sie ohne den Energieverlust (in Form von Schallenergie) der Saite nichts von Ihrem Saiteninstrument hören können. Energieverluste sind auch der Grund, warum die Schwingungen in der Saite gedämpft werden.

Betrachten wir den folgenden Aufbau, bei dem ein Vibrator Schwingungen in der Saite antreibt. Wenn die Frequenz des Vibrators mit einer der Eigenfrequenzen der Saite übereinstimmt, können wir stehende Wellen beobachten. Ohne das Vorhandensein des Vibrators werden die auf die Saite übertragenen Schwingungen schließlich aufgrund von Energiedissipationen gedämpft.

^{Bildquelle: Waves on a String – Physikabteilung der Texas A&M University}

Es scheint, dass, wenn der Energieverlust nicht Null ist, wie im obigen Fall, eine andere Wanderwellenkomponente von der Quelle in der Richtung weg von ihr existiert, um den Verlusten entgegenzuwirken.

Wenn der Vibrator mit einer geeigneten Frequenz eingeschaltet wird, erhöht sich die Vibrationsamplitude verschiedener Teile der Saite, außer an den Knoten. Mit der Amplitude steigt auch der Energieverlust an die Umgebung. In einem bestimmten Stadium erreicht das System einen stationären Zustand, in dem Sinne, dass die vom Vibrator gelieferte Energierate genau der Energierate entspricht, die an die Umgebung verloren geht. Ab jetzt bleiben die Amplituden konstant.

Die folgende Abbildung ist eine grobe Analogie zu „kein Netto-Energietransfer“ von der Quelle:

^{Bildquelle: Meine eigene Arbeit :)}

„Energiekugeln“ rollen von der Quelle nach rechts entlang der schiefen Ebene. Es gibt drei vertikale Säulen, die maximal vier „Energiebälle“ aufnehmen können. Die motorgesteuerten Tore öffnen und schließen in bestimmten Zeitintervallen und lassen jeweils einen Ball zu. Wenn alle Zeiten perfekt sind, würde kein Ball den Becher erreichen, der am rechten Ende des Hangs platziert ist. Aber die Anzahl der „Energiebälle“ in den Säulen würde nahezu konstant bleiben.

Bei elektromagnetischen Wellen wird die Energieübertragung ganz allgemein durch den Satz von Poynting beschrieben :

Es ist jetzt eine einfache Übung, den Poynting-Vektor für die stehende Welle Ihrer Wahl zu berechnen, um sich davon zu überzeugen, dass sie keine Energie überträgt.

Ähnliche Gleichungen existieren für (lineare) Wellen jeglicher Art: elastische, Wellen in Flüssigkeiten/Gasen usw. Tatsächlich kann die Tatsache, dass die stehende Welle keine Energie überträgt, als Definition der stehenden Welle genommen werden.

Genauer gesagt, es ist der über die Periode gemittelte Fluss oder die Wellenlänge, wenn die Welle Null ist. Der lokale Wert des Flusses oszilliert jedoch ebenfalls.