Warum sind das Faradaysche Induktionsgesetz und das Maxwell-Amperesche Gesetz (ohne Quellen) nicht symmetrisch?

Question

Warum sind das Faradaysche Induktionsgesetz und das Maxwell-Amperesche Gesetz (ohne Quellen) nicht symmetrisch?

Dualität
Physik
SI-Einheiten
absolute Einheiten
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

Gaurav

Ich habe mich gefragt, warum das Faradaysche Induktionsgesetz und das Maxwell-Ampere-Gesetz (ohne Quellen) nicht vollständig symmetrisch sind in dem Sinne, dass das Maxwell-Ampere-Gesetz a hat $\epsilon_0 \mu_0$ Term auf der rechten Seite (in SI-Einheiten), während das Faradaysche Gesetz dies nicht tut, da Symmetrie ein wichtiges Merkmal in den meisten physikalischen Gesetzen ist.

\begin{aligned} \nabla \times E & = - \frac{\partial B}{\partial T} \\ \nabla \times B & = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial T} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \\ \nabla\times\mathbf B&=\color{blue}{\mu_0\varepsilon_0}\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} \end{align}$

Ein beliebtes Nachschlagewerk gibt als Grund an, "dass wir SI-Einheiten verwenden". Kann mir jemand sagen, wie die Verwendung einer bestimmten Einheit die Symmetrie physikalischer Gesetze beeinflussen kann, die in ihrer mathematischen Form geschrieben sind?

ehrliche_vivere

Was meinst du mit Maxwells Gesetz ? Ich dachte, es gäbe Maxwellsche Gleichungen und jede sei mit einer vergangenen Person verbunden (z. B. Amperesches Gesetz). Beziehen Sie sich auf eine bestimmte Maxwell-Gleichung?

Gaurav

Insbesondere Maxwells Induktionsgesetz.

Benutzer4552

Ich habe noch nie den Begriff "Maxwellsches Induktionsgesetz" gehört. Meinst du die

\partial E / \partial t

$\partial E/\partial t$ Term in Maxwells Gleichungen?

Gaurav

Exakt. (wenn 'E' elektrischen Fluss bedeutet). Bitte bearbeiten Sie die Frage, wenn Sie der Meinung sind, dass sie nicht ausreichend angegeben ist.

Kyle Kanos

Ich sehe keinen Unterschied zwischen den beiden, beide sind so geschrieben

\nabla \times E = - \partial B / \partial t

$\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ in SI-Einheiten und

\nabla \times E = - (1 / c) \partial B / \partial t

$\nabla\times\mathbf E=-(1/c)\partial\mathbf B/\partial t$ in Gaußschen Einheiten.

Javier

@KyleKanos: Die Frage ist, soweit ich das beurteilen kann, warum

\nabla \times B = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}

$\nabla \times \mathbf{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ . Die Antwort ist das

ϵ_{0} μ_{0} = 1 / c^{2}

$\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ , und die Konstante sorgt dafür, dass die Einheiten richtig dargestellt werden.

Kyle Kanos

@JavierBadia: Das ist Amperes Gesetz (ohne die

J

$\mathbf J$ Korrektur, es sei denn, Sie möchten den quellenlosen Begriff), nicht das Faradaysche Gesetz. Auch dann enthalten beide Formen denselben Faktor.

Gaurav

@JavierBadia: Du hast meine Frage richtig interpretiert. Aber deine Antwort hat meine Zweifel nicht besänftigt. Zum Verständnis möchte ich meine Frage anders formulieren: Gibt es eine universelle Einheit, mit der alle physikalisch symmetrischen Gleichungen auch mathematisch symmetrisch würden?

Nikos M.

Diese Parameter können durch eine bloße Wahl der Dimensionen oder eine Neudefinition von in die Gleichungen aufgenommen werden

\vec{E}

$\vec{E}$ Und

\vec{B}

$\vec{B}$ (wodurch die Gleichungen symmetrisch werden). Es gibt jedoch eine andere Asymmetrie, die am wichtigsten ist , das Fehlen jeglicher magnetischer Monopole (im Gegensatz zu elektrischen Monopolen, z. B. Elektronen).

Gaurav

@NikosM. : Aber die Nichtexistenz magnetischer Monopole ist nicht bewiesen, oder ? Da die Gesetze, die ich angegeben habe, physikalisch symmetrisch sein sollen, sollte die Konvention für die Wahl von Einheiten nicht so sein, dass bestehenden Symmetrien gegenüber denen, deren Existenz nicht bewiesen ist, der Vorteil im Zweifel gegeben wird? (wie die Existenz magnetischer Monopole).

Nikos M.

@Simha, sicher würde ich sagen, dass die Existenz magnetischer Monopole noch unbewiesener ist :)

Gaurav

Genau. Ha!

EigenDavid

Wenn Sie H anstelle von B verwenden, wird eine gewisse Symmetrie wiederhergestellt:

\nabla \times E = - μ_{0} \partial_{t} H

$\nabla\times E=-\mu_0\partial_t H$ Und

\nabla \times H = ϵ_{0} \partial_{t} E

$\nabla\times H=\epsilon_0\partial_t E$ .

Antworten (3)

Warum sind das Faradaysche Induktionsgesetz und das Maxwell-Amperesche Gesetz (ohne Quellen) nicht symmetrisch?

Was meinst du mit Maxwells Gesetz ? Ich dachte, es gäbe Maxwellsche Gleichungen und jede sei mit einer vergangenen Person verbunden (z. B. Amperesches Gesetz). Beziehen Sie sich auf eine bestimmte Maxwell-Gleichung?
Ich habe noch nie den Begriff "Maxwellsches Induktionsgesetz" gehört. Meinst du die $\partial E/\partial t$ Term in Maxwells Gleichungen?
Exakt. (wenn 'E' elektrischen Fluss bedeutet). Bitte bearbeiten Sie die Frage, wenn Sie der Meinung sind, dass sie nicht ausreichend angegeben ist.
Ich sehe keinen Unterschied zwischen den beiden, beide sind so geschrieben $\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ in SI-Einheiten und $\nabla\times\mathbf E=-(1/c)\partial\mathbf B/\partial t$ in Gaußschen Einheiten.
@KyleKanos: Die Frage ist, soweit ich das beurteilen kann, warum $\nabla \times \mathbf{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ . Die Antwort ist das $\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ , und die Konstante sorgt dafür, dass die Einheiten richtig dargestellt werden.
@JavierBadia: Das ist Amperes Gesetz (ohne die $\mathbf J$ Korrektur, es sei denn, Sie möchten den quellenlosen Begriff), nicht das Faradaysche Gesetz. Auch dann enthalten beide Formen denselben Faktor.
@JavierBadia: Du hast meine Frage richtig interpretiert. Aber deine Antwort hat meine Zweifel nicht besänftigt. Zum Verständnis möchte ich meine Frage anders formulieren: Gibt es eine universelle Einheit, mit der alle physikalisch symmetrischen Gleichungen auch mathematisch symmetrisch würden?
Diese Parameter können durch eine bloße Wahl der Dimensionen oder eine Neudefinition von in die Gleichungen aufgenommen werden $\vec{E}$ Und $\vec{B}$ (wodurch die Gleichungen symmetrisch werden). Es gibt jedoch eine andere Asymmetrie, die am wichtigsten ist , das Fehlen jeglicher magnetischer Monopole (im Gegensatz zu elektrischen Monopolen, z. B. Elektronen).
@NikosM. : Aber die Nichtexistenz magnetischer Monopole ist nicht bewiesen, oder ? Da die Gesetze, die ich angegeben habe, physikalisch symmetrisch sein sollen, sollte die Konvention für die Wahl von Einheiten nicht so sein, dass bestehenden Symmetrien gegenüber denen, deren Existenz nicht bewiesen ist, der Vorteil im Zweifel gegeben wird? (wie die Existenz magnetischer Monopole).
@Simha, sicher würde ich sagen, dass die Existenz magnetischer Monopole noch unbewiesener ist :)
Wenn Sie H anstelle von B verwenden, wird eine gewisse Symmetrie wiederhergestellt: $\nabla\times E=-\mu_0\partial_t H$ Und $\nabla\times H=\epsilon_0\partial_t E$ .

ProfRob · Answer 1

Maxwells Gleichungen im Vakuum sind symmetrisch bis auf das Problem mit Einheiten, die Sie identifiziert haben. In SI-Einheiten

\nabla \cdot E = 0 \nabla \cdot B = 0

$\nabla \cdot {\bf E} = 0\ \ \ \ \ \ \nabla \cdot {\bf B} =0$

\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial T} \nabla \times B = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial T}

$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\ \ \ \ \ \ \nabla \times {\bf B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$

Wenn wir lassen $\mu_0=1$ , $\epsilon_0 =1$ (Wir sagen effektiv, dass wir ein System von Einheiten übernehmen, in denen $c=1$ , dann werden diese Gleichungen vollständig symmetrisch zum Austausch von ${\bf E}$ Und ${\bf B}$ mit Ausnahme des Minuszeichens im Faradayschen Gesetz. Sie sind symmetrisch zu einer Drehung (siehe unten).

Wenn die Quellterme eingeführt werden, dann bricht dies die Symmetrie, aber nur, weil wir anscheinend ein Universum bewohnen, in dem magnetische Monopole nicht existieren. Wenn dies der Fall ist, können die Maxwell-Gleichungen symmetrisch geschrieben werden. Wir nehmen eine magnetische Ladungsdichte an $\rho_m$ und eine magnetische Stromdichte ${\bf J_{m}}$ , dann schreiben wir

\nabla \cdot E = ρ \nabla \cdot B = ρ_{M}

$\nabla \cdot {\bf E} = \rho\ \ \ \ \ \ \nabla \cdot {\bf B} = \rho_m$

\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial T} - J_{M} \nabla \times B = \frac{\partial E}{\partial T} + J

$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} - {\bf J_m}\ \ \ \ \ \ \nabla \times {\bf B} = \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} + {\bf J}$

Mit diesen Definitionen erhalten die Maxwell-Gleichungen Symmetrie zu Dualitätstransformationen. Wenn Sie setzen $\rho$ Und $\rho_m$ ; ${\bf J}$ Und ${\bf J_m}$ ; ${\bf E}$ Und ${\bf H}$ ; ${\bf D}$ Und ${\bf B}$ in Spaltenmatrizen und bearbeiten sie alle mit einer Rotationsmatrix der Form

(\begin{array}{cc} \cos ϕ & - Sünde ϕ \\ Sünde ϕ & \cos ϕ \end{array}),

$\left( \begin{array}{cc} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right),$ Wo

ϕ

$\phi$ ein Drehwinkel ist, dann gehorchen die resultierenden transformierten Quellen und Felder ebenfalls denselben Maxwell-Gleichungen. Zum Beispiel wenn

ϕ = π / 2

$\phi=\pi/2$ dann tauschen die E- und B-Felder ihre Identitäten; Elektronen hätten eine magnetische Ladung, keine elektrische Ladung und so weiter.

Während man sich also darüber streiten kann, was wir als elektrische und magnetische Ladungen definieren, ist es derzeit eine empirische Tatsache, dass alle Teilchen unabhängig vom Verhältnis von elektrischer zu magnetischer Ladung (weil jedes Verhältnis hergestellt werden kann, um die symmetrischen Maxwell-Gleichungen zu erfüllen) zu haben scheinen das gleiche Verhältnis, also haben wir uns dafür entschieden, dass eine der Ladungsarten immer Null ist - dh keine magnetischen Monopole.

Ich erwähne das alles wirklich als Kuriosum. Mir scheint, dass sich die wirklichen Symmetrien der Maxwellschen Gleichungen erst ergeben, wenn man die elektromagnetischen Potentiale betrachtet .

zB wenn wir einfügen $B = \nabla \times {\bf A}$ Und $E= -{\bf \nabla V} - \partial {\bf A}/\partial t$ in unser Ampere-Gesetz

\nabla \times (\nabla \times A) = \frac{\partial}{\partial T} (- \nabla v - \frac{\partial A}{\partial T}) + J,

$\nabla \times (\nabla \times {\bf A}) = \frac{\partial}{\partial t} \left({\bf -\nabla V} - \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right) +{\bf J},$

- \nabla^{2} A + \nabla (\nabla \cdot A) = - \nabla \frac{\partial v}{\partial T} - \frac{\partial^{2} A}{\partial T^{2}} + J .

$-\nabla^2 {\bf A} +\nabla(\nabla \cdot {\bf A}) = -\nabla \frac{\partial V}{\partial t} - \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} + {\bf J}.$ Dann mit der Lorenzlehre

\nabla \cdot A + \frac{\partial v}{\partial T} = 0

$\nabla \cdot {\bf A} + \frac{\partial V}{\partial t} = 0$ wir können bekommen

\nabla^{2} A - \frac{\partial^{2} A}{\partial T^{2}} + J = 0

$\nabla^2 {\bf A} - \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} + {\bf J} = 0$ Eine sogenannte inhomogene Wellengleichung. Eine ähnliche Reihe von Operationen mit dem Gesetz von Gauß ergibt

\nabla^{2} v - \frac{\partial^{2} v}{\partial T^{2}} + ρ = 0

$\nabla^2 V - \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} + \rho= 0$

Diese bemerkenswert symmetrischen Gleichungen verraten die enge Verbindung zwischen Relativitätstheorie und Elektromagnetismus und dass elektrische und magnetische Felder eigentlich Teil des elektromagnetischen Feldes sind. Ob man beobachtet $\rho$ oder ${\bf J}$ ; ${\bf E}$ oder ${\bf B}$ , ist vollständig vom Bezugsrahmen abhängig.

Danke für die Zeit und die umfassende Antwort, Mr.Rob! Da Sie sagen, dass die "bemerkenswert symmetrischen Gleichungen die enge Verbindung zwischen der Relativitätstheorie verraten", ist es sicher, auf die Nichtexistenz magnetischer Monopole zu schließen? Wenn ja, warum besteht dann in der wissenschaftlichen Gemeinschaft immer noch eine Unsicherheit über ihre Nichtexistenz?
Danke, aber ich denke, andere auf der Website könnten möglicherweise noch umfassender antworten - ich bin ein Student dieser Themen. Ich glaube, wenn Sie Monopole hinzufügen, behalten die inhomogenen Wellengleichungen ihre Symmetrie.
Sehr geehrter Herr, ich möchte Ihnen mitteilen, dass mein Physikstudium noch nicht so weit ist, dass ich die von Ihnen verwendeten mathematischen Begriffe ab der „Lorenz-Lehre“ verstehen könnte. Allerdings kenne ich mich mit del-Operatoren, Differentialgleichungen und Wellengleichungen aus. Ich werde diese Frage erneut aufgreifen, sobald ich dieses Stadium erreicht habe. Was mich jetzt interessiert, ist der letzte Absatz Ihrer Antwort. Da Sie sagen, dass die Existenz magnetischer Monopole der bestehenden engen Verbindung zwischen Relativitätstheorie und Elektromagnetismus widerspricht, beweist dies ihre Nichtexistenz?
Ich glaube nicht, zumindest nicht auf dem hier vorgestellten Niveau. Und ich habe nicht gesagt, dass es so ist. Ich habe nur argumentiert, dass Sie keine Monopole brauchen, um die Gesetze des Elektromagnetismus symmetrisch zu schreiben, selbst mit Ladungen und Stromquellen.

Javier · Answer 2

In Gaußschen Einheiten legen wir fest $\epsilon_0 = \frac1{4\pi}$ (und so $\mu_0 = \frac{4\pi}{c^2}$ ) und ändern Sie die Einheiten von $B$ also haben elektrische und magnetische Felder die gleiche Dimension. In diesen Einheiten lauten die Maxwell-Gleichungen wie folgt:

\begin{aligned} \nabla \cdot E & = 4 π ρ \\ \nabla \times E & = - \frac{1}{C} \frac{\partial B}{\partial T} \\ \nabla \cdot B & = 0 \\ \nabla \times B & = \frac{4 π}{C} J + \frac{1}{C} \frac{\partial E}{\partial T} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 4\pi \rho \\ \nabla \times \mathbf{E} &= - \frac1{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \frac{4\pi}{c} \mathbf{J} + \frac1{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align}$

Die Symmetrie, die Sie suchen, ist da, denke ich. Das Wichtige ist, soweit ich das beurteilen kann, die Dinge so zu machen $E$ Und $B$ haben die gleichen Einheiten (und nutzen die Tatsache, dass $\epsilon_0 \mu_0 = \frac1{c^2}$ ). Sie werden das Minuszeichen nicht los, aber andererseits würden Sie ohne dieses Minuszeichen keine Wellen bekommen, also ist es ziemlich wichtig.

Timotheus · Answer 3

Eigentlich sind die Gesetze des Elektromagnetismus symmetrisch. Jedes Ereignis, das die Gesetze des Elektromagnetismus erlauben, erlauben die Gesetze dessen Spiegelbild. Betrachten wir die Situation eines Magneten, der sich durch eine Spule bewegt. Die Elektronen bewegen sich auf eine bestimmte Weise. Mal sehen, was passiert, wenn Sie das Spiegelbild dieses Experiments machen, da es die rotierenden Elektronen sind, die ein Magnetfeld erzeugen, im Spiegelbild bewegen sich die Elektronen in die entgegengesetzte Richtung, sodass das Nordende durch ein Süden ersetzt wird Ende, damit das Magnetfeld in die entgegengesetzte Richtung zeigt, so dass das Magnetfeld in die entgegengesetzte Richtung geht. Wenn Sie ein Objekt mit einem permanenten elektrischen Dipol umkehren, wird das positive Ende nicht zu einem negativen Ende, aber ein Objekt wird ein elektrischer Dipol auch keinen Strom in einer Spule induzieren. Deshalb,

Warum sind das Faradaysche Induktionsgesetz und das Maxwell-Amperesche Gesetz (ohne Quellen) nicht symmetrisch?

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