Symmetrie der Maxwell-Gleichungen für die elektromagnetische Dualität

Gemäß dem Buch von Griffiths über Elektrodynamik, einschließlich magnetischer Ladung, werden die Maxwell-Gleichungen

$$\begin{align*} \nabla \cdot \vec{E} &= \frac{\rho_e}{\epsilon_0} &&& \nabla \times \vec{E} + \partial_t \vec{B} &= -\mu_0 \vec{j}_m \\ \nabla \cdot \vec{B} &= \mu_0 \rho_m &&& \nabla \times \vec{B} - \partial_t \vec{E} &= \mu_0 \vec{j}_e \end{align*}$$

Wo$\rho_e$Und$\rho_m$sind die elektrischen und magnetischen Ladungsdichten, und$\vec{j}_e$Und$\vec{j}_m$sind die elektrischen und magnetischen Stromdichten. Ich habe genommen$\mu_0 \epsilon_0 = c = 1$der Einfachheit halber.

In Aufgabe 7.60 möchte er die Invarianz dieser Gleichungen unter einer Dualitätstransformation zeigen

$$\begin{pmatrix} E' \\ B' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E \\ B \end{pmatrix}$$

wobei dieselbe Matrix auf einen "Zeilenvektor" der Ladungs- und Stromdichten angewendet wird.

Das sieht aus wie ein$SO(2)$Symmetrie. Als ich diese Tatsache jedoch in einer Prüfung vorstellte, sagte der Professor, dies sei nicht die gesamte Symmetriegruppe, die elektromagnetische Dualität zeige. Leider wusste er auch nicht, was die ganze Gruppe war.

Meine Idee war nun, ein komplexes Vektorfeld zu definieren$\vec{F} = \vec{E} + i \vec{B}$mit entsprechend komplexen Quellen$\rho = \rho_e + i \rho_m$Und$\vec{j} = \vec{j}_e + i \vec{j}_m$. Dann verwandeln sich die Maxwell-Gleichungen in

$$\begin{align*} \nabla \cdot \vec{F} &= \rho \\ \nabla \times \vec{F} -i \partial_t \vec{F} &= i \mu_0 \vec{j} \end{align*}$$

Die Dualitätssymmetrie, die ich darin spionieren kann, multipliziert sich$\vec{F}$,$\rho$Und$\vec{j}$mit derselben komplexen Zahl, die der früheren entspricht$SO(2)$und eine Neuskalierung.

Ist das die komplette Gruppe? Wenn nicht, was fehlt mir noch?