Warum sind die Metrik und der Levi-Civita-Tensor die einzigen invarianten Tensoren?

Für einen Beweis, dass die einzige${\rm SO}(N)$Invariante Tensoren sind Produkte von$\delta_{ab}$'s- und Levi-Civita-Symbole siehe M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (zweite Ausgabe) Vol. 3, No. V, S. 466-481. Die Anzahl der Seiten, die für das Argument benötigt werden, zeigt, dass es nicht trivial ist.

Ich habe gerade die dritte Ausgabe von Spivak, Band V, nachgeschlagen. Was benötigt wird, ist Theorem 35 auf Seite 327. Dies ist der Abschnitt mit der Überschrift „Eine Brosche der klassischen Invariantentheorie“. Er schreibt in Bezug auf skalare Invarianten, aber natürlich wird ein invarianter Tensor zu einer skalaren Invariante, wenn er mit genügend Vektoren kontrahiert wird, und jede solche skalare Invariante entsteht aus einem invarianten Tensor.

Die Rotationsgruppe ($O(3)$für den euklidischen Raum,$O(1,3)$für Minkowski-Signatur) ist definiert als die Gruppe aller linearen Transformationen, die den metrischen Tensor bewahren. Wenn es andere unabhängige Tensoren gäbe, würde dies zusätzliche Einschränkungen ergeben, so dass es notwendigerweise eine Untergruppe der Rotationsgruppe definieren würde.

Die Forderung, dass auch die Bandform (~ die Levi-Civita) erhalten bleibt, beschränkt sich zwar auf die spezielle Rotationsgruppe.

Zunächst Kronecker$\delta$ist$\textit{Diff}$-invariant, da es als duale Paarung definiert ist$<.,.>:V^*\otimes V\to k.$Seine Bestandteile sind${\delta^\mu}_\nu=\delta(\mathrm d x^\mu,\partial_\nu)=<\mathrm d x^\mu,\partial_\nu>=\delta^\mu_\nu$, wo die letzte "$\delta^\mu_\nu$" ist einfach das Kronecker-Symbol, gleich 1 oder 0 wie üblich. Es ist in jedem Koordinatensystem gleich. Fühlen Sie sich frei, die Details selbst zu konkretisieren.

Jetzt habe ich das Bedürfnis, etwas in Bezug auf Kovarianz, Invarianz und die Gruppe der Diffeomorphismen zu klären. Sie führen die galiläische und die poincarische Gruppe zusammen mit den Diffeomorphismen auf. Das ist falsch, und viele Lehrbücher über GR beschönigen es in Eile, um die Einstein-Gleichungen einzuführen und Lösungen zu diskutieren. Großartig, aber es hat mir viele unnötige Kopfschmerzen bereitet, und das sind wohl die schlimmsten Arten von Kopfschmerzen.

Lassen Sie uns überlegen$(\mathcal M,g,\nabla)$wo$\nabla$ist eine Levi-Civita (d. h. metrische kompatible) Verbindung (d. h$\nabla g =0$). Wir bemerken auch, dass jedes Vektorfeld$\xi$erzeugt über den Pullback durch seinen Fluss ein 1-Parameter-Diffeomorphsim${\phi_t}:\mathbb R\times \mathcal M\to\mathcal M$, was befriedigt$\phi_{t+s}=\phi_t\circ \phi_s$und$\phi_0=1$. Örtlich,$\phi_t = \exp{t\xi}$. Verzeihen Sie, dass ich Details beschönige. Es bedeutet nur, dass wenn die Dinge in der Richtung, in die ein Vektor zeigt, gleich sind, sie gleich bleiben, wenn Sie dem Vektor entlang des gesamten Pfades folgen und ihn wie einen Kompass verwenden.

Nun kann gezeigt werden, dass die Diffeomorphismus-Invarianz${\phi_t}^*g =g$impliziert$\mathcal L_\xi g =0.$Jedoch,

$$\mathcal L_\xi g_{ab} = 2 \nabla_{(a}\xi_{b)}\neq 0$$ im Allgemeinen, außer Killing Fields. Die Metrik ist immer kovariant , aber im Allgemeinen nicht invariant unter Diffeomorphismen. Der Minkowski-Raum hat die maximal mögliche Anzahl von Killing-Vektoren: Er hat 10 Vektoren, die den 10 Generatoren der Poincare-Gruppe entsprechen. Neben dem Minkowski-Raum haben nur deSitter- und AntideSitter-Räume diese Eigenschaft. Das können wir von GR nicht erwarten. Die Kerr-Metrik, die ein rotierendes Schwarzes Loch beschreibt, hat nur eine zweidimensionale Untergruppe der Poincare-Gruppe: Zeitverschiebungen und Rotationen um nur eine Achse.

Die vollständige Diffeomorphismusgruppe ist keine Symmetrie, sondern eine Eichsymmetrie . Es stellt unsere Freiheit dar, die Natur in einem anderen Koordinatensystem zu beschreiben, aber keine Symmetrie des physikalischen Systems selbst. Dazu brauchen wir Killing Fields, die das erzeugen, was wir normalerweise unter einer "Symmetrie" verstehen. Um meine Behauptung zu veranschaulichen, dass es sich um eine Eichsymmetrie handelt, haben wir in der linearisierten Gravitation die Eichtransformation

$$\gamma_{ab}\to\gamma_{ab}'=\gamma_{ab}-\nabla_a\xi_b-\nabla_b\xi_a$$ was entspricht $(\mathcal M,g)$und $(\mathcal M,{\phi_t}^*g)$die gleiche Raumzeit darstellen. Wir sehen das $\gamma_{ab}'=\gamma_{ab}$wenn dies eine "echte Symmetrie" ist. Außerdem können wir Erhaltungsladungen nur unter Verwendung der Killing-Symmetrien definieren. Im Fall des Kerr-Schwarzen Lochs entsprechen diese der Masse und dem Gesamtdrehimpuls.

Irgendwie klarer? Um es noch einmal zusammenzufassen: alles, was wir schreiben$T_{a_1a_2,...}^{b_1 b_2,...}$ist kovariant. Dies bedeutet nur, dass all diese partiellen Ableitungsfaktoren unter einer Koordinatenänderung (dh Diffeomorphismus) stehen. Nehmen Sie als Beispiel die Minkowski-Metrik

$$\eta=-\mathrm dt^2 + \mathrm d x^2+ \mathrm d y^2+ \mathrm d z^2$$ Wenn wir zu sphärischen Koordinaten wechseln, erhalten wir $$\eta=-\mathrm dt^2 + \mathrm d r^2+ r^2\mathrm d \theta^2 + r^2sin^2\theta\mathrm d\phi^2$$ Es ist eindeutig nicht dasselbe, aber es ist kovariant. Eine echte Symmetrietransformation wäre die Verwendung der Poincare-Gruppe, und dann würde die Metrik genau gleich aussehen, also wäre sie invariant.

Es gibt viele invariante Tensoren, wenn wir ein Killing Field haben. Angesichts eines Killing Fields$\xi_a$, können wir einen neuen invarianten Tensor konstruieren,$\xi_a\xi_b$. Zum Beispiel,

$$h_{ab}\equiv g_{ab} - (\xi^a\xi_a)^{-1}\xi_a\xi_b$$ ist die Metrik einer raumartigen oder zeitartigen Hyperebene, die orthogonal zur Umlaufbahn von ist $\xi_a$, und ist unveränderlich. Diese sind jedoch unter der Wirkung eines anderen Killing Fields möglicherweise nicht unveränderlich . Nur unter besonderen Umständen. Die Verwendung von Tensoren aus der Metrik ist eine sichere Sache, da Symmetrien explizit durch Invarianz der Metrik gegeben sind.