Wie transformieren sich koordinatenabhängige Funktionen (nicht dynamische Felder) unter Diffeomorphismen?

Kurze Antwort :$m$Und$\phi$transformiere auf die gleiche Weise, was du "naiv" nennst. Ihre Werte ändern sich nicht, Sie führen nur die Koordinatentransformation durch. Der Lagrangian ändert die funktionale Form, aber er ist ein Skalar, weil sich sein Wert nicht ändert; Dies ist kein Problem, da die Energieerhaltung von der Zeittranslationsinvarianz und nicht von der Diff-Invarianz herrührt. Letztere hat keine Erhaltungssätze, weil jede Theorie diff-invariant gemacht werden kann. Die (sehr) lange Antwort folgt mit vielen Details.

Mathematiker und Physiker verwenden das Wort "Skalar" auf zwei verschiedene Arten, glaube ich. Dies mag ein wenig kontrovers sein, weil die Leute Wörter unterschiedlich verwenden, aber ich hoffe, der Hauptpunkt ist klar.

In der Mathematik (und normalerweise auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie) sagen wir, dass ein Skalar eine Funktion ist$f: M \to \mathbb{R}$auf Ihrem Verteiler definiert. Der Wert der Funktion an jedem Punkt hängt offensichtlich nicht von den Koordinaten ab, da Koordinaten in der Definition fehlen. Nehmen Sie zum Beispiel$\mathbb{R}^2$als unsere Mannigfaltigkeit, und lassen$f(P)$sei die Höhe von$P$über der x-Achse. In kartesischen Koordinaten ist dies$f(x, y) = y$, aber in Polarkoordinaten ist es$f(r, \theta) = r \sin \theta$. Die Form der Funktion ändert sich, aber ihr Wert in Punkten nicht.$^1$

Sie können Funktionen sogar danach definieren, wie sie in einem Frame aussehen. Zum Beispiel werde ich definieren$g$von$g(r, \theta) = r + \cos \theta$. Wenn Sie wissen möchten, wie es in verschiedenen Frames aussieht, ersetzen Sie einfach die Transformation. Wir hätten zum Beispiel$g(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} + x/\sqrt{x^2+y^2}$. Was wir nicht tun würden, ist zu sagen$g(x,y) = x + \cos y$: Wir wollen die Werte beibehalten und die Formel ändern, nicht umgekehrt.

In der Physik (und besonders in Gebieten wie der Feldtheorie) kümmern wir uns um die Formeln, also sagen wir, dass etwas ein Skalar ist, wenn es sich unter einer Transformation nicht ändert. Sagen Sie zum Beispiel, wir sind dabei$\mathbb{R}^2$und wir interessieren uns für Funktionen, die unter Drehungen unveränderlich sind. Dann muss jede solche Funktion eine Funktion von sein$r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Deshalb sieht man in feldtheoretischen Texten Dinge wie „der einzige Skalar, aus dem wir bilden können$p^\mu$Ist$p_\mu p^\mu$". Ein Mathematiker würde anderer Meinung sein; sie würden das seitdem sagen$p^\mu$lebt in$\mathbb{R}^4$, jede Funktion aus$\mathbb{R}^4$Zu$\mathbb{R}$ist ein Skalar. Der Unterschied besteht, wie ich oben sagte, darin, dass eine solche Funktion in verschiedenen Frames eine andere Formel hätte.

Sie sagen in Ihrem Kommentar, dass der Lagrange nicht immer ein Skalar ist. Dies gilt im physikalischen Sinne, aber nicht im mathematischen Sinne. Nehmen wir Ihr Beispiel von$\mathcal{L} = \frac12 g^{00} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$. Wenn Sie möchten, dass diese Formel in jedem Koordinatensystem wahr ist , werden Sie in Schwierigkeiten geraten, da Felder, die in einem Koordinatensystem Lösungen sind, in einem anderen nicht vorhanden sind (versuchen Sie es mit einem Beispiel, wenn Sie mir nicht glauben). Dies ist nicht akzeptabel, da die Physik in jedem Koordinatensystem gleich aussehen muss, egal welche Symmetrien wir haben.

Was wir tun können, ist zuerst ein privilegiertes Koordinatensystem auszuwählen, in dem$\mathcal{L} = \frac12 g^{00} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$, und ersetzen Sie den expliziten Ausdruck für$g^{00}$. Wenn Sie zum Beispiel die Schwarzschild-Metrik hätten, würden Sie setzen$-1/(1-2M/r)$an seinem Platz. Wenn Sie dann den Lagrange-Operator in einem anderen Koordinatensystem haben möchten, entscheiden Sie einfach, dass es ein Skalar sein soll, und so müssen Sie nur die Koordinaten transformieren, ohne den Wert der Funktion tatsächlich zu ändern.

$^1$Ein Mathematiker würde mich fürs Schreiben umbringen$f$beide Male; technisch$f$ist eine Funktion von unserer Mannigfaltigkeit zu$\mathbb{R}$, und die Formeln sind die Zusammensetzungen von$f$mit Koordinatenfunktionen. Ich werde mich nicht darum kümmern.

Lassen$x$eine Variable oder eine Menge von Variablen sein.

Ein Skalar$m$(es spielt keine Rolle, ob es sich um ein Massenfeld oder ein Skalarfeld handelt) transformiert sich wie folgt unter dem Diffeomorphismus$x \mapsto \bar{x}$:

$m(x) \mapsto m(\bar{x})$.

Für ein Tensorfeld$T_{\mu_1 \mu_2 \dots \mu_n}$von Rang$n$(insbesondere für n = 1 ist ein Tensorfeld ein Vektorfeld) Sie haben die Regel:

$T_{\mu_1 \mu_2 \dots \mu_n}(x) \mapsto \frac{\partial \bar{x}_{\mu_1}}{\partial x_{\nu_1}} \frac{\partial \bar{x}_{\mu_2}}{\partial x_{\nu_2}} \dots \frac{\partial \bar{x}_{\mu_n}}{\partial x_{\nu_n}} T_{\nu_1 \nu_2 \dots \nu_n}(\bar{x})$.

Diese Transformationsregeln gelten allgemein. Sie können auch diffeomorphismusinvariante Ableitungen von Feldern definieren, die als Lie-Ableitung bezeichnet werden. Unter einer infinitesimalen Transformation$\bar{x} = x+ \epsilon$Sie haben für einen Skalar

$m(x) \mapsto m(x+\epsilon) = m(x) + \epsilon^\mu\partial_\mu m(x) = m(x) + \mathcal{L}_{\epsilon}m(x)$

es ändert sich durch die Lie-Ableitung; Tensorfelder ändern sich auch unter infinitesimalen Diffeomorphismen, nämlich durch ihre Lie-Ableitung.

Beachten Sie, dass sich Volumenintegrale auch unter Diffeomorphismen ändern$d^{Dimension} \bar{x} = det J d^{Dimension} x$. Hier,$J$ist die Jacobi-Matrix, in der Sie die Variablen mit Balken von den ursprünglichen Variablen ableiten.