Warum sind reziproke Gittervektoren periodisch und die Zeitfrequenz nicht?

Ich versuche, Ihnen dafür einen intuitiven Grund zu geben:

• Wie bereits in den Kommentaren gesagt wurde, ist die Zeit-Frequenz-DFT eines Signals auch thermisch auf die maximale Frequenz beschränkt, die genau gemessen / rekonstruiert werden kann. Diese Einschränkung ergibt sich aus der Abtastfrequenz Ihrer Hardware. Sie ist also keine grundsätzliche Einschränkung, sondern wird Ihren Messungen lediglich von Ihnen selbst auferlegt (z. B. könnten Sie mehr Geld ausgeben und bessere Hardware mit einer höheren Abtastrate bekommen). Hier ist also der „Abstand der Abtastpunkte“ relevant.

Jetzt kommt der Teil der Festkörperphysik:

• Die Periodizität des R-Raums kommt von der Natur, da sie sich entschieden hat, Kristalle so zu erschaffen, wie sie sind. Sie haben unterschiedliche Periodizitäten, die durch die Wigner-Seitz-Zelle des Gitters gegeben sind, die nichts anderes ist als eine Voronoi-Zelle. Tritt man über den Rand, sieht der Raum von der gegenüberliegenden Seite aus genauso aus wie in der Zelle davor. Sie "aliasen" von einer Seite zur anderen im realen Raum.

• Die Periodizität des k-Raum-Vektors kommt nun dadurch zustande, dass das periodische Gitter aus dem Raum durch die Fourier-Transformation in ein periodisches Gitter im reziproken Raum umgewandelt wird, also im k-Raum. Die dortige Zelle wird als Brillouin-Zone bezeichnet , was wiederum nichts anderes ist als eine Voronoi-Zelle im k-Raum. Wenn Sie mit Ihrer k-Raum-Frequenz über dessen Rand treten, sieht die Reaktion des Kristalls genauso aus, als würden Sie ihm von der anderen Seite der Brillouin-Zone eine k-Raum-Frequenz aufprägen. Sie erhalten wieder den Aliasing-Effekt.

Es gibt einen einfachen intuitiven Weg, um das zu fühlen$k$-Periodizität, wenn Sie in Wellenlängen denken. Da das Realraumgitter diskret und nicht kontinuierlich im Raum ist, können zwei Wellenlängen unterschiedlich sein, aber genau die gleichen physikalischen Informationen enthalten. Sie können es auf diesem Bild sehen : Während die roten und schwarzen Wellenlängen deutlich unterschiedlich sind, können die schwarzen Atome nicht zwischen den beiden unterscheiden. Es liegt also eine Periodizität bzgl$\lambda$, was eine Periodizität in erzeugt$k$-Raum.

Ich hoffe, dass Sie aufgrund dieser Argumentation ein intuitiveres Verständnis dafür haben, was vor sich geht. Sicherlich lassen sich alle Aussagen in mehr oder weniger schöne mathematische Gleichungen gießen, aber ich finde sie für diese spezielle Frage nicht sehr lehrreich.

Der reziproke Raum hat nur dann eine periodische Struktur, wenn auch das Realraumpotential periodisch ist. Dies liegt am Satz von Bloch : Wenn Sie einen periodischen Hamiltonian haben, z

$$\hat H=\hat T+V(\hat x)=\hat T+V(\hat x+a),$$ dann ist Ihnen eine Eigenbasis von Funktionen der Form garantiert $$\psi(x)=e^{ikx}u(x),$$ Wo $u(x)=u(x+a)$ist periodisch. In diesem Fall, $k$ist der Quasiimpuls des Zustands, und er kann (nur) extrahiert werden $\psi$über seinen Eigenwert unter einer Übersetzung durch $a$, welches ist $e^{ika}$; als solche ist sie nur bis auf ein Vielfaches von definiert $2\pi/a$, dh Quasiimpulse getrennt durch $2\pi n/a$sind gleichwertig.

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Etwas genau Analoges passiert, wenn Sie einen zeitlich periodischen Hamiltonian haben , zB etwas von der Form

$$\hat H=\hat T+V(t)=\hat T+V(t+T).$$ Hier wissen Sie, dass wenn $|\psi(t)⟩$ist dann eine Lösung der Schrödinger-Gleichung $|\psi(t+T)⟩$muss auch eine sein, also ist Zeitübersetzung eine Symmetrie des Systems und wir können auf Lösungen der Form hoffen $$|\psi(t)⟩=e^{i\varepsilon t}|\varphi(t)⟩ \tag 1$$ Wo $|\varphi(t)⟩$. Wie im raumperiodischen Fall die Phase $e^{i\varepsilon t}$ist da eine zeitliche Übersetzung von erforderlich $T$muss Ihnen einen äquivalenten Zustand geben, aber das bedeutet nur bis zu einer Phase gleich und nicht unbedingt genau gleich.

Die Staaten im$(1)$sind als Floquet-Zustände bekannt und werden von der Floquet-Theorie untersucht, die gut etabliert ist, für die jedoch nur wenige einführende Ressourcen zur Verfügung stehen. Jeder Floquet-Zustand hat eine Quasienergie$\varepsilon$, und diese haben tatsächlich die gleichen Periodizitätseigenschaften wie Kristallimpulse; insbesondere ändern$\varepsilon$Zu$\varepsilon +n \omega$ergibt einen Zustand der gleichen Form, da$e^{in\omega t}|\varphi(t)⟩$ist ebenfalls periodisch.

Darüber hinaus ist Ihnen auch eine Basis von TDSE-Lösungen in Floquet-Form garantiert, obwohl Sie hier etwas über die Funktionsweise des räumlichen Falls hinausgehen müssen (wobei es ausreicht, dies zu zeigen$[\hat H,e^{ia\hat p}]=0$), indem man den Floquet-Hamiltonian nimmt

$$\hat H_F=\hat H-i\frac{\partial}{\partial t}$$ auf einem erweiterten Hilbertraum $\mathscr H$gegeben durch das Tensorprodukt des ursprünglichen Hilbertraums $\mathcal H$und der Raum der periodischen Funktionen auf $[0,T]$; Floquet TDSE-Lösungen werden dann in Eigenzustände von abgebildet $\hat H_F$und Sie können seine Eigenbasis verwenden.