Warum sollte die Norm dieser Vektoren 1 sein?

Sei ein kartesisches Koordinatensystem$uOx$mit einer vertikalen Ebene zusammenfällt, so dass$Ou$ist die horizontale Achse und$Ox$ist die senkrecht nach oben orientierte Achse (siehe Fig. 1). Wir suchen die glatten Kurven, die zwei Fixpunkte verbinden$A = (u_0, x_0)$Und$B = (u_1, x_1)$mit$u_0, u_1 \geq 0$,$u_0 \neq u_1$, Und$0 \leq x_1 < x_0$damit eine Perle$M$Gleiten mit Anfangsgeschwindigkeit$v_0 \geq 0$abwärts von$A$und durch die Schwerkraft beschleunigt wird, rutscht mit einer nichtlinearen Gleitreibung an$B$in kürzester Zeit$T$.

Wir nehmen zunächst an, dass es eine Lösung gibt, die durch eine hinreichend glatte Kurve repräsentiert wird$\gamma$und ein beliebiger Punkt$M$Liegen auf$\gamma$. Lassen$\mathbf{\tau}$sei der Einheits-Tangentenvektor an$\gamma$Und$M$,$\mathbf{v}$sei der Geschwindigkeitsvektor der Perle$M$,$\mathbf{\nu}$sei der Einheitsnormalenvektor zu$\gamma$bei$M$,$\mathbf{g}$sei der Beschleunigungsgravitationsvektor,$\mathbf{f}_\mu$sei die Reibungskraft,$\mathbf{f}_\nu$sei die Normalkomponente der Zwangsreaktionskraft,$\theta$sei der Steigungswinkel der Tangente, und$\mathbf{i}$Und$\mathbf{j}$seien die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems$uOx$.

Die Position eines Teilchens$M$relativ zum Koordinatensystem$uOx$wird durch den Positionsvektor bestimmt$\mathbf{r}$(siehe Abb. 1). Das Teilchen$M$zieht ab$A$Zu$B$, also sein Positionsvektor$\mathbf{r}$ist eine Funktion der Zeit$t$, dh, ....

Hallo, ich habe große Probleme, diesen Auszug zu verstehen. Das Zitat ist eine Einführung, und später sagten sie das$\lVert\mathbf{\tau}\rVert=\lVert\mathbf{\nu}\rVert=\lVert\mathbf i\rVert=\lVert\mathbf j\rVert=1$. Warum? Warum ist auch der Geschwindigkeitsvektor$\mathbf v=-v \cos\theta\ \mathbf i -v\sin\theta\ \mathbf j$?