Warum unterscheidet sich die allgemeine Relativitätstheorie in (2+1)-Dimensionen von zylindrischen Systemen in (3+1)-dimensionalen GR?

Das Gravitationspotential Φ eines unendlichen Stabes in Newtonscher Gravitation ist Φ ∼ ln ⁡ ( R ) . Dies entspricht dem Gravitationspotential einer Punktladung in der zweidimensionalen Newtonschen Gravitation (siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Newtonian_potential ). Sie sind gleich, da beide Systeme Zylindersymmetrie aufweisen und das Gaußsche Gesetz in diesem Fall ein logarithmisches Potential ergibt.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Lösung für eine statische zylindrische Raumzeit die Levi-Civita-Raumzeit, die in der Newtonschen Grenze auch ein Potential ergibt Φ ∼ ln ⁡ ( R ) (siehe zB https://arxiv.org/abs/1901.06561 ).

Aber was ich nicht verstehen kann, ist, dass in der (2+1)-dimensionalen allgemeinen Relativitätstheorie gesagt wird, dass die Raumzeit außerhalb eines Massenpunkts flach ist, also in der Newtonschen Grenze Φ ∼ 0 . Dies wird behauptet, obwohl Autoren angeben, dass ein Punktteilchen in der allgemeinen Relativitätstheorie in (2 + 1) -Dimensionen einer (unendlichen) Zeichenfolge in (3 + 1) -Dimensionen entspricht.

„Wir haben die globalen Eigenschaften der (lokal flachen) Geometrien diskutiert, die durch das Bewegen von Punktpartikeln in 2+1-Dimensionen oder äquivalent durch parallel bewegte kosmische Strings in 3+1-Dimensionen erzeugt werden.“ ( Deser, Jackiw, t'Hooft (1992) )

"Es gibt auch eine enge Beziehung zu kosmischen Strings in vier Dimensionen, da die Raumzeit eines unendlichen geraden Strings effektiv dreidimensional ist." ( Deser, Jackiw (1988) )

Warum gibt es also einen Unterschied zwischen dem aus der Levi-Civita-Raumzeit abgeleiteten Newtonschen Potential und dem aus einer (2+1)-dimensionalen allgemeinen Relativitätstheorie abgeleiteten Newtonschen Potential? Ist die Allgemeine Relativitätstheorie in (2+1)-Dimensionen nicht einfach ein Querschnitt durch eine zylindrische symmetrische Raumzeit in (3+1)-Dimensionen? Was ist es dann?

Zur letzten Frage: Denken Sie an die Weyl-Krümmung, die gravitative Freiheitsgrade trägt, die in (2 + 1) dunklen Raumzeiten identisch verschwinden, aber in (3 + 1) dunklen Raumzeiten nicht Null sind. Die in EFE erscheinenden Krümmungen sind die intrinsischen Krümmungen der Raumzeit. Wenn Sie Querschnitt nehmen, müssen Sie auch die äußeren Krümmungen berücksichtigen, je nachdem, wie Sie den Querschnitt definieren.

Antworten (1)

Das ist eine gute Frage! Betrachten wir Vakuumlösungen für die EFE mit einer kosmologischen Konstante von Null Λ = 0 :

  1. Die statischen axialsymmetrischen/zylindrischen Raumzeiten in 3+1D werden durch Levi-Civita-Lösungen [1,2] klassifiziert. Sie stellen eine (möglicherweise dicke 1 ) kosmischer String mit einem Gesamtdrehimpuls von Null J = 0 . Es gibt effektiv 2 Parameter:

    • σ , die eine Interpretation einer Energiedichte pro Länge der Saite hat.

    • Ein Defizitwinkel .

    Wenn es keinen Defizitwinkel gibt, dann ist die bekannte Newtonsche Grenze (mit einem attraktiven Newtonschen l N Potential) vorhanden ist und dem Limit entspricht σ → 0 + .

  2. Die statischen kugelsymmetrischen Raumzeiten in 2+1D. Das entsprechende Schwarzschild-ähnliche 2 Lösung ist lokal auf Minkowski-Form 3 , und es hat nur 1 topologischen Parameter: Einen Defizitwinkel, der mit der Masse der Punktquelle wächst.

Wenn in beiden Fällen ein Defizitwinkel vorhanden ist, erstreckt er sich bis zum Ende R = ∞ , dh es gibt keinen asymptotischen Bereich R = ∞ unbeeinflusst von der Saiten-/Punktquelle, und daher gibt es keine Newtonsche Grenze.

Vielleicht überraschenderweise in 2+1D der Newton l N Potenzial hat kein Analogon in GR !

Verweise:

  1. MFA da Silva, L. Herrera, FM Paiva & NO Santos, The Levi-Civita spacetime, arXiv:gr-qc/9607058 .

  2. K. Bronnikov, NO Santos, & Anzhong Wang, Cylindrical Systems in General Relativity, arXiv:1901.06561 .

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1 Die Winkelbewegung der dicken kosmischen Saite ist nicht vollständig verboten, was zu 1 zusätzlichen Parameter führt, der das spart ln Potenzial. Dies ist die Hauptantwort auf die Titelfrage von OP.

2 Kein schwarzes Loch !

3 Dies hängt damit zusammen, dass GR in 2+1D eine topologische Feldtheorie (TFT) ist.

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