Warum verbietet Superselektion nicht fast jede Superposition?

Superselektion ist nicht abstrakt in einem beliebigen Hilbert-Raum sinnvoll, sondern nur in Hilbert-Räumen, die durch die Einführung einer Algebra von unterschiedlichen interessierenden Observablen (dh die zur Vorbereitung von Zuständen kombiniert werden können) mit vorgeschriebenen Kommutierungsregeln strukturiert sind. Diese definieren die Physik, die in der betrachteten Klasse von Modellen möglich ist, und Superselektion ist ein relativ zu diesen definiertes Konzept. (Insbesondere wenn sich die Klasse der relevanten Observablen ändert, ändert sich damit auch das Konzept der Superselektion. Die Erweiterung der Observablen-Algebra kann einige Sektoren zusammenführen, erzeugt aber typischerweise andere.)

Typische Beispiele sind die universellen Hüllalgebren oder die Lie-Algebren$C^*$Algebren, die von den entsprechenden Lie-Gruppen erzeugt werden. Beispielsweise entsprechen Heisenberg-Algebren und Heisenberg- (oder Weyl-) Gruppen kanonischen Kommutierungsregeln, die die Grundlage für einen Großteil der Quantenphysik bilden.

Die interessierenden Hilbert-Räume sind die (kontinuierlich einheitlichen) irreduziblen Darstellungsräume dieser Algebren, Lie-Algebren oder Gruppen. Diese (genauer gesagt die Klassen äquivalenter solcher Repräsentationsräume) werden die (Superselection-)Sektoren der Theorie genannt . Da sie verschiedene Hilbert-Räume darstellen, macht es keinen Sinn, Vektoren der verschiedenen Sektoren zu überlagern. Man kann ein inneres Produkt auf der direkten Summe dieser Hilbert-Räume definieren, aber die Algebra der Operatoren bildet immer noch jeden Sektor in sich selbst ab, daher gibt es keine Möglichkeit, (auf physikalisch relevante Weise) eine Überlagerung von reinen Zuständen innerhalb der Sektoren zu erzeugen.

Für endlichdimensionale Heisenberg-Algebren / -Gruppen sind alle kontinuierlichen einheitlichen irreduziblen Darstellungen äquivalent (Stone-von-Neumann-Theorem); daher gibt es für nichtrelativistische N-Teilchen-Theorien keine Superauswahlregeln (die Superauswahlsektoren spezifizieren würden).

Berücksichtigt man auch noch den Spin, wird die Situation komplizierter: Eine Mischung aus einem fermionischen und einem bosonischen Zustand macht physikalisch keinen Sinn mehr, da sich die beiden Zustandsvektoren bei einer Rotation um 360 Grad unterschiedlich verhalten – formal aber immer noch definiert. Keine noch so große neue Physik wird das ändern.

Für unendlichdimensionale Heisenberg-Algebren/Gruppen, wie sie in der (relativistischen oder nichtrelativistischen) Quantenfeldtheorie vorkommen, gilt das Stone-von-Neumann-Theorem nicht mehr, und es gibt unabzählbar viele inäquivalente stetige einheitliche irreduzible Darstellungen, daher gibt es unabzählbar viele Superauswahlsektoren , die sich durch ihr wesentlich unterschiedliches Verhalten im raumähnlichen Unendlichen auszeichnen.

Technisch ausgedrückt: Die interessantesten Superselektionsregeln, die Supraleitung, Ladung, Baryonenzahl usw. berücksichtigen, ergeben sich aus nicht ausführbaren Bogoliubov-Transformationen, deren Grenzwerte so singulär sind, dass sie aus dem den Vakuumsektor repräsentierenden Hilbert-Raum herausführen. Insbesondere haben geladene Zustände eine ausreichend unterschiedliche asymptotische Struktur von ungeladenen, da das Coulomb-Feld langreichweitig ist und sie zu verschiedenen Superselektionssektoren gehören. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft von Ladungen in Eichtheorien, siehe Strocchi, F. & Wightman, AS (1974). Beweis der Ladungs-Superselektionsregel in der lokal-relativistischen Quantenfeldtheorie. Zeitschrift für mathematische Physik, 15 (12), 2198-2224. Keine noch so große neue Physik wird das ändern.

Unter bestimmten Bedingungen können Superselection-Sektoren klassifiziert werden; siehe zB den Artikel DHR Superselection Theory von nLab. DHR steht für Doplicher, Haag und Roberts; siehe zB

• Doplicher, S. & Roberts, JE (1990). Warum es eine Feldalgebra mit einer kompakten Eichgruppe gibt, die die Superselektionsstruktur in der Teilchenphysik beschreibt. Mitteilungen in der mathematischen Physik, 131 (1), 51-107.

Superselektionsregeln haben nichts mit Erhaltungssätzen zu tun. Trotz Impulserhaltung können Zustände unterschiedlichen Impulses überlagert werden, da die Lorentz-Transformationen, die einen Impulszustand in einen anderen überführen, einheitlich und somit auf demselben Darstellungsraum definiert sind.

Ich denke, das OP nähert sich der Beantwortung seiner eigenen Frage, indem es vorschlägt, dass "Superselection-Regeln nur Funktionen unserer aktuellen Technologie sind". Meiner Meinung nach ist die Antwort nur eine präzisere Formulierung dieses Vorschlags: Superselektionsregeln erfassen Überzeugungen, die wir über die Natur möglicher physikalischer Observablen im Universum haben, begrenzt durch aktuelle experimentelle Sonden und theoretische Modelle.

Um das zu erklären, geben wir zunächst eine mathematische Definition von Superselektionssektoren:

Definition 1 : Betrachten Sie einen Hilbert-Raum $H$und eine Sammlung von Unterräumen$\{H_i\}$so dass:$H = \oplus_{i} H_i$. Das sagen wir$\{H_i\}$sind Superselection-Sektoren in$H$wenn$\langle \psi_i| \mathcal{O}|\psi_j\rangle = 0$ $\forall$ $\psi_{i,j} \in H_{i,j}$,$i \neq j$,$\mathcal{O} \in O_{phy}$, wo$O_{phy}$ist die Menge aller physikalischen Observablen $\mathcal{O}$Wirkung auf den Hilbertraum$H$.

Es gibt zwei wichtige Begriffe, die in dieser Definition a priori existieren müssen:

• Wir müssen einen Hilbertraum angeben . Um jedes quantenmechanische Problem dogmatisch zu lösen, bräuchten wir einen Hilbert-Raum, der Zustände des gesamten Universums enthält, um eine einheitliche Evolution sicherzustellen. In der Praxis gehen wir jedoch oft von ausreichend schwachen Wechselwirkungen zwischen einem Testsystem aus$A$und der Rest des Universums$B$, so schwach, dass wir uns annähern$A$als isoliert (dh$H = H_A \otimes H_B$). Wir können also näherungsweise eine einheitliche Evolution erhalten, indem wir uns auf den Unterraum des Testsystems beschränken$H_A$für alle Interaktionen, die nur auf wirken$H_A$. Diese Freiheit bei der Auswahl von Hilbert-Räumen verleiht der Bedeutung der Superauswahl ein wenig Mehrdeutigkeit. Denn das ist möglich$\{H_i\}$Definiere Superselection-Sektoren in$H_A$, während$\{H_i \otimes H_B\}$definiert keine Superselection-Sektoren in$H_A \otimes H_B = H$. Wir werden später Beispiele sehen, die dies veranschaulichen.

• Wir müssen physikalische Observablen definieren . Technisch alle selbstadjungierten Operatoren an$H$sollten zulässige Kandidaten sein. Aber basierend auf dem aktuellen Verständnis der Grundlagenphysik glauben wir, dass bestimmte selbstadjungierte Operatoren unmöglich zu messen und bestimmte Übergänge zwischen Zuständen unmöglich zu konstruieren sind. Daher sind Superselektionsregeln heute praktische Werkzeuge, die aktualisiert werden können, wenn wir mehr über die Welt erfahren und mehr physikalische Observable finden, die möglicherweise gegen bestehende Regeln verstoßen.

Wir betrachten nun zwei Beispiele, um zu verdeutlichen, warum diese beiden obigen Punkte Verwirrung stiften können, und um eine vollständigere Definition von Superselektionsregeln zu postulieren.

Beispiel 1 : Um die Bedeutung des ersten Aufzählungspunkts zu veranschaulichen, betrachten Sie das Beispiel des OP für Drehungen. Angenommen, wir betrachten das Stern-Gerlach-Experiment und definieren es$|\uparrow \rangle$und$|\downarrow\rangle$als Eigenzustände der$\sigma_z$Operator. Wir nehmen den Hilbertraum$H_A$von diesen beiden Zuständen aufgespannt und postulieren, dass dies die einzigen physikalischen Observablen sind$H_A$sind$f(\sigma_z)$wo$f$ist eine willkürliche analytische Funktion. Das können Sie jetzt ganz einfach überprüfen$|\uparrow \rangle$und$|\downarrow\rangle$Definieren Sie Superselection-Sektoren an$H_A$allein!

Aber denken Sie daran, dass wir die Freiheit haben, den Hilbert-Raum zu wählen! Nehmen wir nun an, dass wir unseren Hilbert-Raum um ein zweites Teilchen erweitern$B$. Obwohl wir physikalische Observablen eingeschränkt haben$H_A$sein$f(\sigma_z)$, müssen wir das Mischen von Observablen nicht einschränken$H_A$und$H_B$. Auch wenn wir die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses beibehalten$\sigma_z(A) + \sigma_z(B)$, wir können die Erhaltung von gut brechen$\sigma_z(A)$oder$\sigma_z(B)$getrennt, also mischen$\{|\uparrow\rangle \otimes H_B\}$und$\{|\downarrow \rangle \otimes H_B\}$. Dies würde bedeuten$\{|\uparrow\rangle \otimes H_B\}$und$\{|\downarrow \rangle \otimes H_B\}$Definieren Sie keine Superselection-Sektoren an$H_A \otimes H_B$, wie oben im ersten Aufzählungspunkt angekündigt. Dies ähnelt im Geiste der Betrachtung von OP$p(particle) + p(recoil)$auf dem Hilbertraum$H_{\text{particle}} \otimes H_{\text{apparatus}}$.

Beispiel 2 : Um den zweiten Aufzählungspunkt zu veranschaulichen, betrachten wir das Spin-System von OP, ohne Partikel hinzuzufügen$B$. Stattdessen erweitern wir die Menge der physikalischen Observablen durch Hinzufügen$\sigma_x$. Insbesondere konstruieren wir einen Hamilton-Operator$H= -\sigma_x$indem wir den Spin in eine Einheit des transversalen Magnetfelds bringen (wie üblich nehmen wir die Wechselwirkungen zwischen der Quelle des Magnetfelds und dem Teilchen an$A$schwach genug sein, dass wir uns trennen können$H_A$). Angenommen, wir starten das System in$|\downarrow \rangle$bei$t=0$, dann bei$t= \pi/2$, drehen wir die beiden Sektoren komplett um:

$$e^{-i Ht} |\downarrow\rangle = e^{i \pi \sigma_x/2} |\downarrow\rangle = i \sigma_x |\downarrow\rangle = i|\uparrow \rangle$$ Wieder, wie angekündigt, die Einführung von mehr möglichen physikalischen Observablen (in diesem Fall die Einführung von $\sigma_x$in den Hamiltonoperator) bricht die Drehimpulserhaltung und damit die Superselektionssektoren.

Beispiel 3 : Ein weiteres Beispiel zur Veranschaulichung des zweiten Aufzählungspunkts. Lassen Sie uns ein bisschen mehr der Realität entfliehen und uns zum Spaß vorstellen, dass QM im 18. Jahrhundert entdeckt wurde, als wir an die galiläische Symmetrie glaubten. Um Zustände in der QM zu studieren, fanden wir die projektive Darstellung der Galileischen Algebra mit$\{K_i\}$Galileische Boosts erzeugen und$\{P_i\}$Übersetzungen erstellen. Wenn wir Boosts und Übersetzungen komponieren, fanden wir das für einen Zustand mit Masse$M$:

$$e^{-i \vec K \cdot \vec v} e^{-i \vec P \cdot \vec a} = e^{i M \vec a \cdot \vec v/2} e^{-i (\vec K \cdot \vec v + \vec P \cdot \vec a)}$$ Das bedeutet, dass eine Überlagerung von Zuständen mit unterschiedlichen Massen die Galileische Symmetrie brechen würde, ein heiliges Gesetz der Physik damals. Um dieses Problem zu vermeiden, hätten wir eine Superselektionsregel erraten, die Übergänge zwischen Zuständen mit unterschiedlichen Massen verbietet. Und diese Regel hätte den Test von Experimenten und theoretischen Modellen bis zur Einführung von Einsteins Relativitätstheorie bestanden (die den Hamilton-Operator, eine der physikalischen Observablen, und seine fundamentalen Symmetrien effektiv modifizierte)! Dies ist eine ziemlich dramatische Illustration, aber ich denke, sie verdeutlicht, dass das, was wir physisch nennen, immer eine Frage des zeitgenössischen Glaubens ist.

Um die obige Diskussion zusammenzufassen, kommen wir auf das klassische Beispiel der elektrischen Ladung zurück. Warum haben Physiker die Konvention aufgestellt, dass Ladungen Superselektionssektoren definieren? Das liegt daran, dass die Superselektion von Ladungen in gewisser Weise universell ist . Während die Superselektionsregel des Drehimpulses von der Wahl des Hilbert-Raums und die Superselektionsregel der Masse von der Wahl der physikalischen Observablen abhängt, ist die elektrische Ladung irgendwie anders. Solange wir an das Standardmodell glauben, ist es egal, in welchem ​​Hilbert-Raum$H \subset H_{\text{universe}}$wir wählen (es kann der Hilbert-Raum des Labors, der Erde oder des gesamten Universums sein) die Unterräume$\{H_Q \subset H\}$indexiert durch den Restricted Total Charge Operator$Q|_H$, Superselection-Sektoren definieren in$H$im Sinne von Definition 1. Umgangssprachlich heißt das: Zustände mit unterschiedlichen Ladungen sprechen nicht miteinander, bei allen Wahlen des Hilbertraums und der physikalischen Observablen innerhalb des Standardmodells.

Diese letzte Zusammenfassung macht deutlich, dass die Superselektionsregeln, die wir heute haben, eng mit den heutigen Überzeugungen über den Charakter physikalischer Gesetze verbunden sind. Vielleicht wird es eines Tages eine neue physikalische Observable geben, die Ladungssektoren mischt, oder einen größeren Hilbert-Raum, in dem Ladung in einem Universum gegen Ladung in einem anderen eingetauscht werden kann. Bis dahin müssten wir das Prinzip der Ladungs-Superselektion aufheben und hoffentlich neue Superselektionsregeln finden, die unser Leben einfacher machen.

Genau zu diesem Thema gibt es einen Vortrag von Robert Spekkens bei PI.
Video: Sind Superselection-Regeln von grundlegender Bedeutung?

Anscheinend gibt (gab?) eine lange Debatte unter Quantenoptikern darüber, ob kohärente Zustände real oder nur eine Fiktion sind.

Ich bin nicht versiert genug, um eine gute Zusammenfassung dieses Vortrags zu machen. Kurz gesagt, Kohärenz ist eine bequeme Annäherung für Berechnungen, und diese Annäherung wird genau, wenn Ihre Umgebung unendlich viele Freiheitsgrade hat.
Will man alles möglichst objektiv beschreiben, auch die Umwelt, dann ist Kohärenz nur eine Fiktion.

Die Antwort auf Ihre Frage laut diesem Vortrag lautet also ... Überlagerung verbietet gewissermaßen viele Überlagerungen?

Einige Referenzen:
quant-ph/0507214 – Dialog über zwei Ansichten zur Quantenkohärenz: Faktist und Fiktionist.
quant-ph/0610030 – Referenzrahmen, Superselektionsregeln und Quanteninformationen