Warum verwenden wir nicht das Konzept der Massenachse anstelle des Massenschwerpunkts?

Ihre Intuition ist richtig. Alle Punkte entlang der Rotationsachse teilen die gleiche Bewegung. Tatsächlich reicht es nicht aus, den Massenmittelpunkt über die Rotationsachse zu definieren.

Es ist möglich, den Massenmittelpunkt als den einzigen Punkt zu definieren, durch den alle möglichen Rotationsachsen für einen frei rotierenden starren Körper verlaufen. Sie müssen also alle möglichen Linien berücksichtigen, die durch den Massenmittelpunkt verlaufen (als Linienbündel bezeichnet), um den Massenmittelpunkt zu definieren.

Dies ist eine Folge des zweiten Newtonschen Gesetzes und des Impulsbegriffs. Die Definition des Impulses für eine Ansammlung von Partikeln führt zur Definition des Massenzentrums als dem speziellen Punkt, dessen Bewegung und kombinierte Masse verwendet werden können, um alle individuellen Impulsbeiträge von jedem Partikel zu beschreiben.

Es gibt nur einen Punkt auf einem starren Körper, der die obigen Bedingungen erfüllt. Und die Bedingung für diesen Punkt ist die Definition für Schwerpunkt

PS. In der Geometrie entspricht ein Punkt einem Linienbündel durch diesen Punkt. So wie eine Linie einem Ort von Punkten entlang der Linie entspricht.

PS2. Siehe auch diese ähnliche Antwort auf eine verwandte Frage.

PS3. Hier ein Überblick über die Entwicklung von Bewegungsgleichungen für einen starren Körper. Dies mag an dieser Stelle fortgeschrittene Lektüre sein, aber es enthält alle Konzepte, die zum Verständnis des Themas erforderlich sind.

Die Idee eines Massenschwerpunkts funktioniert sogar für ein "unverbundenes" Teilchensystem. Sie können eine beliebige Gruppe von Teilchen nehmen , sie Ihr System nennen und über ihren Massenschwerpunkt sprechen. Die Massenschwerpunktsgleichung wäre auch dann noch gültig, wenn sich alle Teilchen chaotisch bewegen und es für das Gesamtsystem keine nennenswerte Achse gibt.

Selbst für starre Körper wäre die "Massenachse" keine feste Linie. Je nachdem, wie sich die äußeren Drehmomente vektoriell addieren, könnte sich die Rotationsachse ständig ändern. Die „Drehachse“ wäre also keine Eigenschaft des starren Körpers, sondern etwas, das sich in einer bestimmten Situation ergibt. Die Massenachse könnte buchstäblich jede Linie sein, die durch den Massenmittelpunkt verläuft.

BEARBEITEN - Als Antwort auf Ihre Bearbeitung denke ich, dass der springende Punkt in Ihrem Beitrag darin bestand, dass jeder Punkt auf der Rotationsachse während der gesamten Bewegung des Balls einem einfachen Pfad folgt, sodass alle Achsenpunkte so besonders sind wie das CoM.

Dies ist jedoch nicht wahr. Die anderen Punkte auf der Achse folgen im Allgemeinen NICHT einem einfachen Pfad. Im allgemeinsten Fall eines richtungsändernden Drehmoments (und damit einer sich kontinuierlich ändernden Rotationsachse) folgt jeder andere Punkt (außer dem CoM) auf einer der momentanen Rotationsachsen während der gesamten Bewegung nicht einem einfachen Pfad Kugel. Noch wichtiger ist die Gleichung$a_{point}=\frac{1}{M}\vec{F_{ext}}$ist nur gültig, wenn der Punkt der CoM ist. Diese Gleichung ist dafür verantwortlich, dass das CoM einem einfachen Pfad folgt. Die Bewegung jedes anderen Punktes wird im Allgemeinen sowohl von den inneren als auch von den äußeren Kräften beeinflusst.

"Warum definieren wir einen allgemeinen Durchmesser der Kugel nicht als Menge aller möglichen Rotationsachsen?", Das wäre nutzlos, da sich jede Linie, die durch das CoM eines starren Körpers verläuft, als Rotationsachse verhalten kann . Die momentane Rotationsachse ist vollständig abhängig von der Richtung des momentanen Drehimpulses, der wiederum von den äußeren Drehmomenten abhängt. Die CoM hingegen ist eine feste Eigenschaft des starren Körpers. Deshalb studieren Sie Dinge wie: CoM einer kreisförmigen Scheibe, CoM eines gleichförmigen Zylinders usw. anstelle der Rotationsachse einer kreisförmigen Scheibe.

Ich denke, Sie sehen vielleicht einige Sätze in Ihrem Physikbuch wie "Die Rotationsachse ist immer eine Linie, die durch den Massenmittelpunkt verläuft (es sei denn, es gibt eine Rotation um eine erzwungene Achse)". Das ist alles, was zur Idee der "Massenachse" gehört.

Bei einer Kugel hast du Recht. Ein Tennisball mit Top-Spin wechselt beispielsweise während seiner Flugbahn nicht in Side-Spin.

Bei weniger symmetrischen Körpern sieht die Sache jedoch anders aus. Wenn der Spieler seinen Schläger anstelle des Balls wirft, ändert sich die Rotationsachse (im Allgemeinen) tatsächlich . Nur das CM folgt dem Parabelpfad.

Die Newtonschen Gesetze, wie sie angegeben sind, gelten nur für Körper mit Punktmasse. Um sie auf starre Körper anzuwenden, benötigen wir einen Punkt auf dem Körper, in dem wir seine gesamte Masse als verteilt betrachten können.

Wie pro Achse, die den Massenmittelpunkt kreuzt, ist es nützlich für Trägheitsmomentberechnungen (siehe Parallelachsensatz), aber es ist nicht nützlich, um über Bewegung zu sprechen. Es ist nicht etwas, das wir einheitlich definieren können. Einer der Gründe ist, dass Sie aus allen durchlaufenden Achsen eine neue Achse angeben müssten, damit Ihre Gleichungen gelten.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass auf die Kugel ein Drehmoment in einer solchen Richtung ausgeübt wird, dass sie um die Kugel gedreht wird$y$Achse, plötzlich wird die Achse, die Sie in der Frage gezeigt haben (vorausgesetzt, es ist das z), nicht mehr so ​​​​gut funktionieren.

Weitere Informationen finden Sie in dieser Antwort

Und vielleicht ist es gut zu wissen, dass diese Erweiterung tatsächlich von Euler gemacht wurde (lesen Sie hier)

Hinweis: Der Punkt dieser Antwort bestand darin, die Bedeutung des Massenschwerpunkts hervorzuheben.

Sie haben eine Achse voller Punkte, die sich gut bewegen, weil Sie über Rotation nachgedacht haben. Es passiert immer entlang einer Achse und Partikel entlang dieser Linie bewegen sich nicht.

Aber betrachten Sie ein komplexeres System. Sagen wir einen Wassertropfen oder einen hochelastischen Gummiball, der sich beim Werfen verformen und zusammendrücken kann, dann gäbe es nur einen Punkt, der sich richtig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Ihre "Massenachse" hängt davon ab, wie der Ball gedreht wird, was von der Laune der Person abhängt, die ihn wirft. Es ist also keine Eigenschaft des Balls an sich. Aber der Massenmittelpunkt folgt einer Parabel, jedoch ist der Spin ausgerichtet.

Wenn der Ball eine einzige Rotationsachse hat, drehen sich alle Punkte auf dieser Achse nicht (das ist so ziemlich die Definition von "Rotationsachse"). Es ist jedoch möglich, dass eine Kugel gleichzeitig mehr als eine Rotationsachse hat. Ihre Behauptung ist zwar irreführend, da sie impliziert, dass alle nicht zentralen Punkte immer komplizierte Pfade haben, aber in dem Sinne, dass nur der Massenmittelpunkt wahr ist hat garantiert einen einfachen Pfad.

Zu Ihrer Frage, ob wir eine "Massenachse" definieren können, ist dies bei einer Kugel eindeutig unmöglich. Da die Kugel ... nun, kugelsymmetrisch ist, gibt es keine Möglichkeit, eine bestimmte Achse zu unterscheiden. Es gibt eine Achse, die sich durch die Rotation auszeichnet, aber diese Achse ist dieser Bewegung eigen und keine inhärente Eigenschaft der Kugel. Selbst wenn es eine bestimmte Achse gibt, um die es sich dreht, gibt es eine unendliche Anzahl von Achsen, um die es sich drehen könnte .

Für Objekte im Allgemeinen ist es möglich, drei Hauptachsen zu unterscheiden .

Nimm einen Globus. Drehen Sie es um seine normale Achse, die Polachse, so wie sich die Erde dreht. Heben Sie dann den Globus auf und drehen Sie ihn, während er sich noch in die erste Richtung dreht, von Norden nach Süden, wie Sie es mit einer Münze tun würden. Da haben Sie eine Kugel, die sich gleichzeitig über zwei Achsen dreht, und Ihre Massenachse macht keinen Sinn. Der Massenschwerpunkt und nur der Massenschwerpunkt bewegt sich unter Ihren Bedingungen auf der parabelförmigen Flugbahn.

Wenn die Kugel vollständig symmetrisch ist, können Sie "die" Massenachse nicht definieren, da JEDE Achse der Kugel gleich gut wäre, also keine genau definierte Größe. Nur die Mitte ist gut definiert.

Im Allgemeinen hat ein Objekt in der 3D-Newtonschen Physik tatsächlich drei „Massenachsen“, die durch den Trägheitstensor ausgedrückt werden. Dies wird für Physiksimulationen im Spiel verwendet, bei denen ein langes, dünnes Objekt anders taumelt als ein kurzes, dickes Objekt. Dies ist auch der Grund, warum sich Objekte normalerweise um eine "Haupt" -Rotationsachse (die "größte" Achse im Tensor) drehen, aber einen außermittigen Drehimpuls verwenden können, um um eine oder beide anderen Achsen "zu kippen". Google die YouTube-Videos "sich drehender Korkenzieher in der Schwerelosigkeit" für einige Illustrationen.

Unter bestimmten Umständen können Sie, wie Sie beschreiben, eine Massenachse konstruieren. Dies wird jedoch in der Regel nicht durchgeführt. Einer der Hauptgründe für die Arbeit mit einem Massenschwerpunkt ist, dass er die Translationsbewegung vollständig von der Rotationsbewegung entkoppelt. Sie können unabhängig voneinander behandelt werden, wobei unabhängige Sätze von Gleichungen zu lösen sind. Eine Massenachse bringt die Rotationskomponente zurück in den Translationsteil des Problems und zerstört diese Unabhängigkeit.

In einigen einfachen Fällen können Sie dies tun. Es bedeutet nur, dass Sie ein schwierigeres Problem anstelle eines einfacheren Problems lösen müssen. In komplexeren Situationen wird dies jedoch sehr schnell sehr schwierig. Wenn Sie beispielsweise ein Gyroskop haben, präzediert und nutiert es, was bedeutet, dass sich die Rotationsachse ständig ändert. Dies bedeutet, dass sich Ihre Massenachse ändern müsste. Wenn Sie die Berechnungen jedoch stattdessen mit einem Massenmittelpunkt durchführen, spielt dieser Rotationseffekt keine Rolle, wenn Sie die Translationsergebnisse berechnen.

Letztendlich kann man also in manchen Situationen in diesen Begriffen denken, aber es verkompliziert das Problem oft unnötig.

Abgesehen davon gibt es ein verwandtes Konzept, das als Schraubentheorie bekannt ist, bei der wir die Translation und Rotation als eine "schraubenähnliche" Bewegung modellieren und eine sinnvolle Schraubenachse haben, die sowohl für die Translation als auch für die Rotation verwendet wird. Wir unterrichten es normalerweise nicht im Physikunterricht, weil es mathematisch eine ziemlich komplizierte Art ist, darüber nachzudenken. In der Robotik ist es jedoch beliebt, weil es alle Translationen und Rotationen eines Arms in Schraubenmultiplikationen umwandelt. Für die Art von Dingen, die sie in der Robotik tun, wie inverse Kinematik, überwiegt die Einfachheit, alles als Multiplikation zu behandeln, die Komplexität, Translation und Rotation miteinander zu vermischen. Die Schraubenachse ist jedoch nicht dieselbe Achse wie die von Ihnen beschriebene "Massenachse". Es'