Was versteht man eigentlich unter „rollen ohne zu rutschen“?

Sie können eine solche Bewegung immer in zwei Teile zerlegen: (1) Rollen ohne Rutschen und (2) Rutschen ohne Rollen.

Was ist Rutschen ohne Rollen? Dies bedeutet, dass sich das Objekt gleichmäßig in einer Richtung entlang der Oberfläche bewegt, ohne Winkelgeschwindigkeit um den eigenen Massenmittelpunkt des Objekts. Beispielsweise kann eine Kiste, die über den Boden geschoben wird, leicht verrutschen, ohne zu rollen.

Leider scheinen die meisten Menschen davon auszugehen, dass Sie einige physikalisch wichtige Informationen aus Ihrer eigenen Vorstellung davon ableiten können, was Rutschen ist, ohne es definieren zu müssen. Ich glaube, dass dies getan wird, um zu versuchen, eine Verbindung zur Intuition herzustellen, aber dabei werden die Dinge viel nebulöser und undefinierter.

Für mich ist es einfacher, dies in Bezug auf die Rotation des Objekts zu betrachten - es war mir nie klar , dass der Punkt, der den Boden berührt, in dem Moment, in dem er sich berührt, keine Geschwindigkeit hat. Ich ziehe es stattdessen vor zu denken, dass ein Objekt, das rollt, ohne zu rutschen, für jede volle Umdrehung, die es macht, 1 Umfang über den Boden bewegt. Und ein Objekt, das mehr als diese Entfernung zurücklegt (oder sich überhaupt nicht dreht), rutscht auf irgendeine Weise.

Dann können wir schließlich zu der Vorstellung gelangen, dass der Kontaktpunkt während des Rollens keine Geschwindigkeit ungleich Null haben kann, durch welche logischen oder physikalischen Argumente auch immer dies erforderlich ist.

Aber wie es in der Physik üblich ist, ist nicht wirklich klar, welche Definition als "fundamental" mit anderen Ergebnissen angesehen werden sollte, die sich daraus ergeben. Dies betont, dass die Physik nicht axiomatisch aufgebaut ist.

Die obigen Antworten sind alle gut, aber ich möchte ein weiteres Beispiel geben, das mir wirklich geholfen hat zu verstehen, was es bedeutet, dass der Kontaktpunkt eine Geschwindigkeit von Null hat.

Stellen Sie sich das "sich drehende kreisförmige Objekt" nicht als Kugel vor, sondern als Sternpolygon mit unendlich vielen Kanten, für das Beispiel reicht eine sehr große Anzahl aus - 9 Kanten

Zu jedem Zeitpunkt berührt nur eine der Kanten den Boden. Denken Sie an die Bewegung des Sterns – wenn er nicht rutscht, bewegt sich der Punkt, der den Boden berührt, nicht, er drückt gegen den Boden und „bekämpft“ die Reibungskraft.

Ein weiteres schönes Beispiel ist das menschliche Wagenrad, aber es hat 2 Punkte, die gleichzeitig den Boden berühren, weshalb ich es weniger mag ...

Aus diesem Grund eignen sich Räder gut zum Transportieren, da sich der Kontaktpunkt nicht bewegt, wirkt nur die Haftreibungskraft auf das Rad, und die Haftreibung erhält die Energieerhaltung.

Ich hoffe, dies gibt jedem, der das Thema googelt und auf diese Frage stößt, eine andere Sichtweise ...

Wenn das Rad ohne Schlupf rollt, wie groß ist die Geschwindigkeit des Punktes an der Basis des Rades? Es ist ... null! Überzeugen Sie sich selbst, dass die Geschwindigkeit Null sein muss. Denn wenn es nicht Null wäre, würde das Rad nicht rollen, ohne zu rutschen.

Soweit stimmt die Erklärung. "Kein Rutschen" bezieht sich tatsächlich auf ein Zeitintervall ungleich Null und auf den Zustand der Kontaktflächen während dieser Zeit. Wenn kein Gleiten stattfindet, können die Flächen eine größere Tangentialkraft aufeinander ausüben als im Gleitzustand, und es gibt keinen Verlust an mechanischer Energie.

Dies kann passieren, wenn zwei Körper für eine Zeit ungleich Null in physischem Kontakt sind und die in Kontakt stehenden Teile während dieses Intervalls die gleiche Geschwindigkeit haben.

Es ist nicht gut, „kein Rutschen“ nur für einen Moment über die Anforderung „das“ zu definieren$v' = 0$in diesem Moment, denn das kann auch passieren, wenn die Körper in allen anderen Momenten aufeinander gleiten.

Das Rad rollt also genau dann ohne zu rutschen, wenn der Punkt an der Basis die Geschwindigkeit Null hat,

das Wort "also" ist hier nicht sehr gut, und es sollte am Ende hinzugefügt werden, dass "der Kontaktpunkt die ganze Zeit über Geschwindigkeit Null hat". Dann ist es in Ordnung.

Interessant ist jedoch, dass es in der Praxis keinen Fall von perfektem schlupffreiem Abrollen zu geben scheint. Es gibt immer etwas Schlupf und damit Reibung, sogar die Zugräder auf Schienen rutschen ein bisschen. Die Haftbedingung ist somit eine bequeme Annäherung.

Die kurze Antwort lautet ja, die Definition von "Rollen ohne Rutschen" lautet, dass die Geschwindigkeit am Kontaktpunkt Null ist.

Die längere Antwort lautet, dass Definitionen in der Physik nicht ganz dasselbe sind wie Definitionen in der Mathematik. In der Physik beginnt man oft mit Konzepten, die physikalisch sinnvoll, wenn auch nicht ganz präzise sind, und versucht dann, ein mathematisches Modell zu entwickeln, um die physikalische Welt zu verstehen. "Rollen ohne Rutschen" ist etwas, wovon wir ein intuitives physikalisches Verständnis haben, aber um es genau zu studieren, müssen wir nach einer mathematischen Definition suchen, die unsere Intuition erfasst - wenn nicht mit 100%iger Treue, dann zumindest mit ausreichender Genauigkeit Wir können aussagekräftige Berechnungen durchführen und überprüfbare Vorhersagen treffen.

„Rollen ohne Rutschen“ erweist sich mathematisch als unerwartet schwierig zu modellieren. Es ist verlockend, wie Muphrid vorschlägt , es so zu definieren, dass "ein Objekt, das rollt, ohne zu rutschen, für jede volle Umdrehung, die es macht, 1 Umfang entlang des Bodens zurücklegt". Wie in einem Kommentar angemerkt, trifft diese Definition leider nicht unsere Intuition, wenn wir eine Scheibe entlang einer gekrümmten Bahn rollen. Das berühmte Paradoxon der Münzrotation macht dies deutlich. Die äußere Münze macht eine volle Drehung, nachdem sie nur einen halben Umfang entlang des "Bodens" (dem Umfang der inneren Münze) zurückgelegt hat.

Eine weitere verlockende Idee besteht darin, das Rollen ohne Rutschen als kontinuierliche Eins-zu-Eins-Abbildung der Punkte auf dem Umfang des Rads und der Punkte auf der Oberfläche, auf der das Rad rollt, zu definieren. Aber wieder stoßen wir auf ein Problem, diesmal mit dem Radparadoxon von Aristoteles . Mit zwei konzentrischen Rädern kann man eine Situation einrichten, in der sowohl das innere als auch das äußere Rad gleichzeitig auf getrennten Oberflächen rollen, so dass es eine kontinuierliche Eins-zu-Eins-Abbildung für beide Räder gibt, aber intuitiv ist es so gleichzeitiges Rollen beider Räder ohne Durchrutschen nicht möglich .

Die Null-Geschwindigkeits-Definition gibt unsere Intuition über das Rollen ohne Rutschen in diesen beiden Fällen (wie auch in anderen Fällen) korrekt wieder, weshalb sie als formale Definition übernommen wurde.

Im Grunde bedeutet es, dass zu jedem Zeitpunkt der unterste Punkt vorhanden ist$0$Geschwindigkeit bedeutet das nicht, dass der Punkt keine Beschleunigung hat. Aber in einem Augenblick hat es$0$Geschwindigkeit . Und deswegen in jedem Augenblick$v_{cm}=\omega r$für den untersten Punkt, und wenn dies nicht geschieht, wirkt die Haftreibung, um dies zu erreichen$0$.

Es ist so, als ob Sie gehen, Ihre Füße auf den Boden drücken und die Straße Sie vorwärts schiebt, aber Ihre Füße nicht in horizontaler Richtung auf der Straße gleiten, aber Sie können sie immer anheben. Aber die Straße widersetzt sich bis zu einem gewissen Grad der Bewegung in horizontaler Richtung.

Auch dies wird helfen http://www.youtube.com/watch?v=9I1KSagocdE .

Und keine Sorge, das ist eine normale Sache, mit der man verwirrt sein kann. Hier kommt fast jeder durcheinander.

Denken Sie daran, Geschwindigkeit ist$0$zu einem Zeitpunkt, aber die Beschleunigung ist immer noch da, was bedeutet, dass es sich zu späteren Zeitpunkten bewegen kann. Wie ein Block, der SHM an einer extremen Position ausführt, in einem Moment in Ruhe ist, aber das bedeutet nicht, dass er in Ruhe bleibt, aber beim reinen Rollen passiert es, dass es zu jedem Zeitpunkt einen Punkt gibt, dessen Geschwindigkeit zunimmt$0$.

Ein physikalisches Szenario wird Ihnen helfen, einige der anderen Antworten zu visualisieren, insbesondere Muphrids und Nonagons .

Stellen Sie sich ein Flugzeug vor, das landen will, während ein Rad seines Fahrwerks den Boden berührt. Wenn sich der Reifen vor dem Kontakt nicht dreht, bewegt sich der Kontaktpunkt auf dem Reifen ungefähr mit der gleichen Geschwindigkeit wie das Flugzeug$70{\rm m\,s^{-1}}$, und so wird der Gummi mit dieser Geschwindigkeit über den Boden geschleift, und es entsteht ein riesiges Rutschen mit Haufen von Rauch. Dadurch entsteht natürlich ein enormes Drehmoment am Rad und seine Winkelgeschwindigkeit steigt schnell an, bis kein Schleudern mehr auftritt.

In der Praxis werden die Räder vieler Flugzeuge jedoch von Motoren gedreht, damit es weniger zum Schleudern kommt.

Stellen Sie sich nun dieses Szenario mit unterschiedlichen Radwinkelgeschwindigkeiten beim Kontakt vor. Es ist auch hilfreich, vom stationären Bezugsrahmen des Flugzeugs aus zu denken. Die Winkelgeschwindigkeit des Rads bewirkt, dass sich die Unterseite des Rads mit einer Geschwindigkeit bewegt$\omega\,r$rückwärts relativ zur Ebene. Der Boden bewegt sich relativ zum Flugzeug mit einer gewissen Geschwindigkeit nach hinten, und um die Lebensdauer Ihrer Reifen optimal zu nutzen, möchten Sie, dass die Rückwärtsbewegung des Kontaktpunkts genau der Rückwärtsbewegung des Bodens entspricht. Wenn die anfängliche Winkelgeschwindigkeit des Rads zu langsam ist, bewegt sich der Boden relativ zum Kontaktpunkt nach hinten, und es gibt ein Rutschen, das dazu neigt, die Winkelgeschwindigkeit des Rads zu erhöhen. Angenommen, wir drehen das Rad sehr schnell, so dass sich der Kontaktpunkt relativ zur Ebene schneller nach hinten bewegt als der Boden kurz vor dem Kontakt. Es gibt dann ein Rutschen in die entgegengesetzte Richtung, das tendenziell abnimmtdie Winkelgeschwindigkeit des Rades. Wenn Ihre anfängliche Spin-Winkelgeschwindigkeit so ist, dass die Bewegung des Kontaktpunkts relativ zum Flugzeug dieselbe ist wie die des Bodens, rutschen Sie nicht.

Um das Rollen ohne Rutschen zu verstehen, betrachten Sie zunächst den Fall des Rollens nur um den Massenmittelpunkt. In diesem Fall hat ein Punkt auf dem oberen Rand eine Geschwindigkeit$v=\omega\cdot R$und eine Geschwindigkeit$v=-\omega\cdot r$, unten am Rand, wie von Ihnen beobachtet. Beim Rollen ohne Schlupf beobachten wir jedoch die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts$v$(nur translatorisch) und die Geschwindigkeit am oberen Rand ist translatorisch und rotatorisch gleich$v+\omega R$und die Geschwindigkeit am Boden, beim Kontakt, ist$\omega R-v$(translational und rotatorisch).

Denken Sie daran,$v$Hier ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts. Seit$v=\omega\cdot R$, schließen wir, dass die Geschwindigkeit beim Kontakt Null ist und oben ist$2\cdot v$.

Die formale Definition von Rollen ohne Rutschen lautet wie folgt:

Angenommen, Sie haben zwei (starre) Körper in gegenseitigem Kontakt miteinander. Am Berührungspunkt gibt es drei verschiedene Punkte : Einer davon (nämlich A) ist ein materieller Punkt und gehört zum ersten Körper, der zweite (nämlich B) zum anderen Körper, und der verbleibende ist der geometrische Punkt. Da sich die beiden Körper gegenseitig berühren, befinden sich natürlich alle diese drei Punkte in diesem Moment am selben Ort .

Rollen ohne Rutschen tritt auf, wenn die Geschwindigkeit der sich berührenden Materialpunkte (A und B) zu jeder Zeit gleich ist.

Beispiel : eine Scheibe (Zentrum O, Berührungspunkt P, Radius a) rollt ohne zu rutschen auf einem Tisch.

Sei x die Koordinate des Massenschwerpunkts. Unter Verwendung der Geschwindigkeitsverteilung für einen starren Körper und Rollen ohne Schlupf haben wir:

Seit

Dann:

Das findet man normalerweise in Physik-Einführungskursen: Die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts ist gleich w (Winkelgeschwindigkeit) mal a (Radius).

Zusammenfassend : Da in Ihrem Beispiel der Boden natürlich in Ruhe ist, ist die Geschwindigkeit des Punktes an der Basis des Rades 0. Obwohl dies nicht die Definition von Rollen ohne Rutschen ist.

Die Physik funktioniert, und es gibt strenge Definitionen. Es geht nur darum, sie zu finden.

Die Relativgeschwindigkeit des Berührungspunktes des Wälzkörpers gegenüber der Oberfläche, auf der er abrollt, ist Null.

Wenn die Oberfläche ruht , dann ist die Geschwindigkeit des Berührungspunktes von Wälzkörper und Oberfläche Null.

Mathematisch:

Auch können wir die Beziehung in Beschleunigungen erhalten ..... Differenzieren Sie die obige Gl.

Wo$\alpha$ist die Winkelbeschleunigung.

Angenommen, man hat ein Stück dünne Schnur, die vor dem Rad auf dem Boden liegt, sich einmal um das Rad wickelt und dann hinter dem Rad auf dem Boden weitergeht. Wenn das Rad rollt, werden verschiedene Teile der Schnur darum gewickelt. An jedem Punkt, an dem die Saite das Rad berührt, stimmt ihre Geschwindigkeit mit der des Rads überein. An jedem Punkt, an dem die Saite den Boden berührt, entspricht ihre Geschwindigkeit dem Boden. An den beiden Punkten, an denen die Saite sowohl das Rad als auch den Boden berührt, stimmt ihre Geschwindigkeit mit beiden überein, was bedeutet, dass entsprechende Teile des Rads und des Bodens die gleiche Geschwindigkeit haben müssen.

Ein Rad rollt ohne Schlupf, wenn die Strecke, die das Rad auf der Straße zurücklegt, der Strecke entspricht, die sich ein fester Punkt auf dem Rad bewegt. Wenn es rutschte, wäre der letztere Abstand größer.

Eine Reihe von Kommentatoren haben gesagt, dass dies der Fall ist, wenn die relative Momentangeschwindigkeit verschwindet. Dies ist äquivalent zu dem oben Gesagten und kann daher aus dem Obigen abgeleitet werden. Persönlich finde ich die obige Definition viel intuitiver als die sofortige Definition.

Sehen Sie sich das folgende Video an, um eine großartige Erklärung zu erhalten: http://www.youtube.com/watch?v=xbXsSEtbkzU

und lesen Sie diesen Artikel für die interessanten Ursachen von Rollwiderstand/Reibung: //www.school-for-champions.com/science/friction_rolling.htm