Warum wählen wir den metrischen Tensor zum Erhöhen und Senken von Indizes?

Es ist eine Konvention$^1$. Wenn eine Theorie einen ausgezeichneten invertierbaren Rang-2-Tensor hat, warum sollte man ihn nicht verwenden? Beispiele:

1. Die Metrik$g_{\mu\nu}$im GR .
2. Das$\epsilon_{\alpha\beta}$Metrik zum Anheben und Absenken der Weyl-Spinor-Indizes.
3. Die symplektische 2-Form$\omega_{IJ}$in der symplektischen Geometrie .

Wenn es mehr als einen ausgezeichneten invertierbaren Rang-2-Tensor gibt, müsste man eine Wahl treffen. ZB bimetrisches GR usw.

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$^1$Formaler ausgedrückt spiegelt der Begriff „Anheben und Absenken von Indizes“ den musikalischen Isomorphismus wider . Siehe auch zB diesen Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

Um eine gute Vorstellung vom "Anheben und Absenken von Indizes" zu haben, benötigen Sie einen nicht entarteten 2-Tensor. Wenn es nicht nicht entartet ist, können Sie es senden$v^\mu$zu$v_\mu=0$, in diesem Fall können Sie nicht sagen, dass "den Index zu senken und ihn dann wieder zu erhöhen" wie nichts zu tun ist. Das zu können, ist von entscheidender Bedeutung. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist per Definition mit einer solchen nicht entarteten (symmetrischen) bilinearen Form ausgestattet, daher gibt es eine kanonische Wahl des Begriffs des Anhebens und Absenkens von Indizes.

Wenn Ihr Verteiler garantiert andere nicht entartete 2-Tensoren trägt, können Sie diese auch zum Anheben und Absenken von Indizes verwenden (obwohl die Bedeutung eine andere ist als die des Anhebens und Absenkens mit der Metrik). Das ist zum Beispiel der Fall, wenn Ihre Mannigfaltigkeit symplektisch ist (also eine geschlossene, nicht entartete 2-Form trägt$\omega$).

Jeder Vektorraum$V$(über die reellen Zahlen) kommt natürlich mit seinem dualen Vektorraum$W$von linearen Abbildungen auf die reellen Zahlen, zB

$$\varphi \in W :\Leftrightarrow \varphi: V \rightarrow \mathbb{R} ~ \text{ with } ~ \varphi(a \cdot v + u) = a \cdot \varphi(v) + \varphi(u) ~ ~ \forall v,u \in V ~ ~ \forall a \in \mathbb R$$

Lassen$B := \{e_1, e_2, \dots, e_n \}$Grundlage sein$V$dann für$x \in V$die Erweiterung

$$x = \sum_{i=1}^n X^i e_i$$ liefert die sogenannten kontravarianten Koordinaten $X^i$von $x$.

Die duale Basis zu$B$wird als Grundlage definiert$\tilde{B} = \{ \varepsilon^1, \varepsilon^2, \dots, \varepsilon^n \}$von$W$so dass

$$\varepsilon^i(e_j) = \delta^i_j$$ was definiert $\tilde{B}$vollständig, weil jede lineare Abbildung bereits fixiert ist, wenn sie für alle Basisvektoren von gegeben ist $V$. Dann für ein $y \in W$die Erweiterung $$y = \sum_{i=1}^n Y_i \varepsilon^i$$ liefert die sogenannten kovarianten Koordinaten $Y_i$von $y$.

Wenn auf dem Vektorraum$V$Es gibt ein inneres Produkt $(~.~,~.~): V \times V \rightarrow \mathbb{R}$(zum Beispiel das übliche Punktprodukt) dann gibt es eine natürliche Karte$\tau: V \rightarrow W$zwischen$V$und$W$:

Lassen$x \in V$dann

$$\tau(x) = (x,~.~) \in W$$ zB für $v \in V$wir haben $$\tau(x)(v) = (x,v)$$

Lassen Sie uns die folgende Matrix definieren$g$

$$g_{i j} := (e_i, e_j)$$ Dies sind die (kovarianten) Komponenten der zweimal linearen Abbildung des inneren Produkts, die auch als metrischer Tensor bezeichnet wird. Überhaupt die Basis $B$ist nicht orthonormal, das heißt im Allgemeinen $g_{i j} \ne \delta_{ij}$und deshalb $\tau(e_i) \ne \varepsilon^i$

Definieren Sie die inverse Matrix von$g_{ij}$durch

$$g^{ij} := (g^{-1})^{ij}$$ dann haben wir $$\sum_{k=1}^n g^{ik} \tau(e_k)(e_j) = \sum_{k=1}^n g^{ik} (e_k,e_j) = \sum_{k=1}^n g^{ik} g_{kj} = \delta^i_j$$

Wir haben also tatsächlich gefunden:

$$\varepsilon^i = \sum_{k=1}^n g^{ik} \tau(e_k)$$

Lassen Sie uns kurz zusammenfassen, was wir bisher getan haben.

1. Jeder (reelle) Vektorraum$V$hat einen dualen Vektorraum$W$angehängt an
2. Das innere Produkt$(~.~,~.~)$definiert eine natürliche Karte$\tau: V \rightarrow W$
3. Der metrische Tensor$g_{ij}$kann verwendet werden, um Basisvektoren abzubilden$e_k$zu dualen Basisvektoren$\varepsilon^i$

Jetzt haben wir alles zur Hand, um die kovarianten (dualen) Koordinaten auszudrücken$X_i$in Bezug auf die kontravarianten Koordinaten$X^i$eines Vektors$x \in V$. Denken Sie daran:

$$x = \sum_{i=1}^n X^i e_i$$ Ordnen Sie es nun dem dualen Vektor zu $\tau(x)$das ist eine Darstellung von $x$im dualen Vektorraum $W$: $$\begin{equation} \begin{split} \tau(x) & = (x, ~.~) = (\sum_{i=1}^n X^i e_i, ~.~) = \sum_{i=1}^n X^i (e_i, ~.~) \\ & = \sum_{i=1}^n X^i \tau(e_i) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n X^i \delta^j_i \tau(e_j) \\ & = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n X^i g_{ik} g^{kj} \tau(e_j) \\ & = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{i=1}^n X^i g_{ik} \right) \left( \sum_{j=1}^n g^{kj} \tau(e_j) \right) \\ & = \sum_{k=1}^n \underbrace{\left( \sum_{i=1}^n X^i g_{ik} \right)}_{=X_k} ~ \varepsilon^k \end{split} \end{equation}$$

Und da haben Sie es

$$X_k = \sum_{i=1}^n X^i g_{ik}$$ die kovarianten Koordinaten sind durch die Kontraktion von gegeben $X^i$und $g_{ik}$. Man kann jetzt fortfahren und zeigen, dass die natürliche Karte $\tau$ist invertierbar und beweist das ähnliche Ergebnis $$X^i = \sum_{k=1}^n g^{ik} X_k$$ aber das sollte da klar sein $g_{ij}$ist invertierbar (wenn nicht, $B$wäre keine Grundlage, weil einige $e_i$waren Linearkombinationen der anderen).

Das Entscheidende ist das zu beachten$X^i$und$X_i$sind nicht irgendwelche Zufallszahlen, sondern zwei verschiedene Dinge: Ersteres sind die Koordinaten von$x$in$V$während letzteres die Koordinaten von sind$\tau(x)$in$W$.

Der metrische Tensor wird durch seine Fähigkeit definiert, Indizes zu erhöhen und zu verringern. Nehmen Sie einen endlichdimensionalen Vektorraum,$V$, mit$\operatorname{dim}\{V\} = N$. Bei einem anderen Raum,$W$, mit Dimension$M$Sie können den Raum linearer Karten zwischen diesen Räumen konstruieren. Wir nennen Elemente aus dem Raum linearer Abbildungen Matrizen, und in diesem Beispiel bilden sie einen Vektorraum, der hat$\operatorname{dim}\{L : V\rightarrow W\} = N\times M$.

Wenn der Zielraum Dimension hat$1$(dh die Karte von$V$zu Skalaren), dann hat der Kartenraum Dimensionen$N$. Wie wir aus der linearen Algebra gelernt haben, sind alle zwei endlichdimensionalen Räume mit derselben Dimensionalität isomorph. Wir können daher eine isomorphe Abbildung (dh eine Abbildung, die sowohl 1 zu 1 ist als auch den Zielraum abdeckt) aus dem konstruieren$V$zu$L$. Die Karte von$V$zu$L$heißt Metrik.

Mit anderen Worten, wenn der Index oben ist, ist der Vektor von$V$, wenn es unten ist$L$(oft Dual-Space genannt ).

Abgesehen von der Invertierbarkeit wählen wir auch die Metrik aus, um andere gewünschte Eigenschaften zu haben. Insbesondere wollen wir die von produzierten Skalare$g(v_1) v_2$unter einigen Transformationen (normalerweise Rotationen oder Lorentz-Transformationen) invariant zu sein. Dies schränkt die metrische Signatur (Muster von Vorzeichen von Eigenwerten) ein.

Auch dafür gibt es keinen Beweis$g^{\mu \nu} g_{\nu \alpha} = \delta^\mu_{\hphantom{\mu}\alpha}$denn das ist die Definition der inversen Metrik (die Karte von$L$zu$V$, im Gegensatz zu umgekehrt).

Die Verwendung des metrischen Tensors auf diese Weise erklärt den Riesz-Darstellungssatz auf einer nicht-orthogonalen Basis.

Der Riesz-Darstellungssatz stellt eine Entsprechung zwischen linearen Funktionalen und Vektoren her, indem eine lineare Funktion mit dem Vektor verknüpft wird, der normal zu seinen Ebenenmengen ist. Die Kontraktion mit dem metrischen Tensor berechnet diesen Normalenvektor.

Was es bedeutet, dass ein Vektor "normal" zu einer Hyperebene ist, hängt von der Metrik ab. Wenn Sie also den metrischen Tensor durch eine andere bilineare Form ersetzen, berechnen Sie den Vektor, der in einer anderen Metrik "senkrecht" ist.

Wir wissen, dass wir einen Vektor schreiben können als:

$$\vec{A}=A^ie_i=A_ie^i$$

Dann erwarten wir:

$$\vec{A}\cdot e_i=A_i$$ $$\vec{A}\cdot e^i=A^i$$

Was dazu führt:

$$A_i=\vec{A}\cdot e_i=(A^ke_k)\,e_i=A^k(e_k\,e_i)$$

Aber$e_k\,e_i$ist unsere natürliche Definition von$g_{k,i}$.

Deswegen:

$$A_i=A^kg_{ki}$$

Eine andere Betrachtungsweise ist mit$1$-Formen und Vektoren. Gegeben die Vektorbasis$\frac{\partial}{\partial x^a}$und die$1$-bilden${\bf\omega}^b$diese sind dual if

$${\bf\omega}^b\left(\frac{\partial}{\partial x^a}\right)~=~\delta_a^b.$$ Die Metrik, da sie kovariante Indizes in kontravariate Indizes umwandelt, um eine etwas ältere Definition zu verwenden, bedeutet das mit Vektor $X_a$das $$g_{ab}~=~g(X_a,~X_b),$$ und in einer doppelten Bedeutung das $$g^{ab}~=~g({\bf\omega}^a\otimes{\bf\omega}^b),$$ hier als symmetrisches Produkt. Die Rolle des metrischen Tensors beim Erhöhen und Senken von Indizes ist an den Dualismus zwischen Vektoren und Formen gebunden.