Warum widerspricht das Coleman-Mermin-Wanger-Theorem nicht den Phasenübergängen in Systemen mit 1D-Reaktionskoordinate?

Kurze Antwort

Während es in einer Dimension normalerweise keine Phasenübergänge gibt, können sie unter besonderen Umständen auftreten:

• wenn es weitreichende Wechselwirkungen gibt, oder
• wenn jeder lokale Freiheitsgrad einen unbegrenzten (lokalen) Zustandsraum hat, oder
• wenn es Einschränkungen gibt (Konfigurationen mit unendlicher Energie),

oder in anderen spezialisierten Situationen. Alle Beispiele in der Frage fallen in eine dieser Kategorien.

Einzelheiten

Wie Yvan Velenik kommentierte, haben einige der in der Frage vorgestellten Beispiele eher diskrete als kontinuierliche Symmetrien, und daher gilt das Mermin-Wagner-Theorem nicht. Die Frage ist jedoch immer noch relevant, da es ein weiteres oft zitiertes "Gesetz" der statistischen Gleichgewichtsmechanik gibt, das für Systeme mit diskreten Symmetrien gilt und besagt, dass "es keine Phasenübergänge in eindimensionalen Systemen mit Wechselwirkungen mit kurzer Reichweite gibt". . Dieses Gesetz, das oft als „Landaus Argument“ bezeichnet wird, ist in der Tat richtig, jedoch mit einigen wichtigen Vorbehalten. Die ultimative Referenz (nach meinem besten Wissen), die viele feine Details im Zusammenhang mit Phasenübergängen in 1d-Systemen diskutiert, ist Cuesta und Sanchez, J Stat Phys 2004. Selbst diese ausgezeichnete Arbeit erhebt nicht den Anspruch, alle Möglichkeiten von 1d-Phasenübergängen zu klassifizieren, und tatsächlich ist dies ein fortlaufendes Forschungsgebiet (siehe z. B. diese sehr aktuelle Arbeit von Saryal et al .).

Gehen Sie die einzelnen Beispiele in der Frage durch:

1. Ich bin mir nicht sicher, ob ich die erste Grafik verstehe. Vermutlich ist G die freie Gibbs-Energie und x der Ordnungsparameter. Wenn diese Interpretation richtig ist, impliziert der Inhalt des Theorems, dass die freie Gibbs-Energie eines 1d-Systems mit Nahbereichswechselwirkungen (und einigem weiteren Kleingedruckten) nicht die in der Grafik dargestellte Form haben kann.

2. Ein Protein ist ein eindimensionales Molekül, aber vor allem lebt es im dreidimensionalen Raum. Wenn Sie möchten, können Sie es sich als eindimensionales System mit weitreichenden Wechselwirkungen vorstellen (da entfernte Teile des Proteins in Kontakt kommen können). Soweit ich weiß, ist das eindimensionale Trichterbild eine Karikatur. Soweit diese Karikatur präzisiert werden kann, ist die Situation hier wie in Beispiel 1: Die freie Energie kann keine solche Form haben, die Phasenübergänge zulässt, wenn das zugrunde liegende mikroskopische Modell 1d mit Nahbereichswechselwirkungen ist (und etwas mehr Kleingedrucktes) .

3. Das Ising-Modell der nächsten Nachbarn und das Edwards-Anderson-Spin-Glas-Modell haben keinen Phasenübergang in einer Dimension. Wenn die Wechselwirkungen weiträumig sind , können Phasenübergänge auftreten (wie auf der in der Frage verlinkten Wikipedia-Seite beschrieben ). Die Mean-Field-Versionen dieser Modelle haben auch einen Phasenübergang, aber dies sind im Wesentlichen Modelle mit Wechselwirkungen mit unendlicher Reichweite (jeder Spin interagiert mit jedem anderen Spin).

4. Das Reißverschlussmodell von Kittel wird in der Veröffentlichung von Cuesta und Sanchez diskutiert. Dies ist ein Beispiel, bei dem ein Phasenübergang auftreten kann, weil der Zustandsraum Beschränkungen unterliegt: Alle Bindungen auf einer Seite des „Reißverschlusses“ müssen geschlossen sein, und alle Bindungen auf der anderen Seite müssen offen sein (mit anderen Worten, Konfigurationen mit abwechselnd geschlossenen und offene Segmente haben unendliche Energie).

Die Frage scheint sehr verwirrt. Das Mermin-Wagner-Theorem befasst sich mit räumlichen Dimensionen, da es berücksichtigt, wie kontinuierliche Symmetriebrüche durch räumliche Schwankungen beeinflusst werden.

Es hat absolut nichts mit der Dimension des Konfigurationsraums für ein einzelnes Teilchen zu tun. Beispielsweise kann ein Spinsystem in drei räumlichen Dimensionen einen symmetriebrechenden Phasenübergang aufweisen. Dies gilt auch dann, wenn der Zustand eines einzelnen Spins durch einen Vektor mit beschrieben wird$82$Komponenten, eine einzelne reelle Zahl oder sogar eine diskrete Zahl$0$oder$1$.

Ob das Mermin-Wagner-Theorem auf die Proteinfaltung zutrifft oder nicht, hängt in ähnlicher Weise von der Anzahl der räumlichen Dimensionen ab, in denen die Proteine ​​​​existieren. Es hat nichts mit der Anzahl der Koordinaten zu tun, die Sie benötigen, um den Zustand eines Proteins zu beschreiben.

Außerdem scheint die Frage zu sein, dass ein einzelnes Protein einen Phasenübergang durchlaufen kann. Das ist einfach falsch. Materialien können Phasenübergänge durchlaufen, einzelne Moleküle nicht. Ein Potentialtal ist keine Phase.