Mermin-Wagner und Supraleitung

Alle Antworten hier und in der anderen Frage gehen nicht auf den wichtigen Unterschied zwischen Supraleitung und Suprafluidität ein: nämlich, dass die Nambu-Goldstone-Moden in Supraleitern nicht lückenlos sind. Letzteres ist eine Annahme für die Gültigkeit des Satzes von Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman und trifft daher nicht zu.

Als sehr interessant erweist sich die Frage, ob Supraleitung in einem rein 2D-System existieren kann. Gehen wir in Schritten vor:

1. Das Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman-Theorem schließt eine echte Fernordnung in 2 Dimensionen (bei endlicher Temperatur) oder 1 Dimension (bei Nulltemperatur) aus. Wie aus Colemans Beweis klar hervorgeht, liegt der Grund darin, dass die Fluktuationen von linear zerstreuten Skalarmoden, cq Nambu-Goldstone-Modi, in 2+0 oder 1+1D so heftig sind, dass ihre Existenz vollständig ausgeschlossen ist. Dies liegt an einer Infrarot-Divergenz, daher gilt dies für lange Wellenlängen/große Systeme.

2. Die Nambu-Goldstone-Moden in einem Supraleiter werden jedoch durch den Anderson-Higgs-Mechanismus unterbrochen (aufgrund der Kopplung mit Eichfeldern, dem elektromagnetischen Feld). Daher gibt es keine Infrarot-Divergenz (die$k^2$Term im Nenner wird durch ersetzt$k^2 + (\hbar\omega_{\rm{p}}/c)^2$,mit$\Delta$die supraleitende Lückemit$\omega_{\rm{p}}$die Plasmafrequenz ). Der Satz gilt nicht.

3. Es scheint also kein Hindernis für die Supraleitung in irgendeiner niedrigen Dimension zu geben. Dies berücksichtigt jedoch nicht die topologischen Defekte (Wirbel). In 2D-Suprafluiden gibt es den BKT-Phasenübergang zwischen einer geordneten Niedertemperaturphase mit quasi langer Reichweite, in der Wirbelpaare gebunden sind, und einer ungeordneten Hochtemperaturphase, in der Wirbelpaare ungebunden sind. Die Übergangstemperatur wird durch das Gleichgewicht zwischen den Energiekosten eines Wirbelpaares (das logarithmisch mit der Systemgröße wächst) und dem Entropiegewinn von thermisch angeregten Paaren (der ebenfalls logarithmisch mit der Systemgröße wächst) festgelegt. Aber in Supraleitern wird die Größe eines Wirbels durch die Umkehrung der supraleitenden Energielücke begrenzt$\Delta$. Umgekehrt bleibt der Entropiegewinn unbeeinflusst. Daher trifft das Argument, das zum BKT-Phasenübergang führt, nicht zu, und die Übergangstemperatur wird mit zunehmender Systemgröße auf Null gedrückt. In einem unendlichen Volumen sind Wirbel bei jeder Temperatur ungebunden.

Die Schlussfolgerung scheint also zu sein, dass trotz der Nichtanwendbarkeit des MWHC-Theorems Supraleitung in einem unendlichen, strikt 2D-System nicht existieren kann.

Im wirklichen Leben gibt es jedoch viele Beispiele für Quasi-2D-Systeme (sogar Monoschichten), die alle Anzeichen von Supraleitung aufweisen, einschließlich verlustfreiem Strom und einer Form des Meissner-Effekts. Der Grund dafür ist, dass das elektromagnetische Feld nicht auf 2D beschränkt ist. Die Feldlinien dringen aus der 2D-Schicht heraus. Dies bewirkt die Eindringtiefe in der Ebene$\lambda_{\rm{2D}}$sehr groß zu werden. In niedrigster Ordnung erhält man:

Wenn die Eindringtiefe größer als die lineare Größe des Systems wird, ist es praktisch eine neutrale Supraflüssigkeit, soweit es um transversale elektromagnetische Effekte geht. Daraus folgt auch, dass die Wirbelenergie wieder logarithmisch von der Anlagengröße abhängt und das BKT-Kriterium gilt. Tatsächlich wurde der BKT-Übergang in vielen Quasi-2D-Supraleitern beobachtet.

Meines Wissens ist nichts davon wirklich gut oder überhaupt nicht untersucht worden. Es wäre ein interessantes Forschungsprojekt.

TL;DR Der Satz von Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman gilt nicht. Aufgrund der Vortex-Entbindung würden jedoch keine reinen 2D-Supraleiter existieren. In Wirklichkeit ist das elektromagnetische Feld immer 3D und verwandelt einen 2D-Supraleiter in ein neutrales Suprafluid mit BKT-Übergang.

Das heuristische Argument für Mermin-Wagner ist, dass es Goldstone-Bosonen geben würde, die lückenlose Anregungen sind, wenn die kontinuierliche Symmetrie spontan gebrochen würde. Aber in$d \leq 2$, würden diese Goldstone-Bosonen zu einer IR-Divergenz führen, was mit der anfänglichen Annahme einer Symmetriebrechung nicht vereinbar ist.

In der Praxis darf Mermin-Wagner jedoch nicht verbieten, etwas zu sehen, das wie eine spontan gebrochene kontinuierliche Symmetrie unter experimentell zugänglichen Bedingungen aussieht. In einem endlichen System linearer Größe$L$, wird die maximale Wellenlänge einer Anregung sein$O(L)$, um die IR-Divergenz in Mermin-Wagner zu erhalten, müssen Sie also ein ausreichend großes System haben. Genauer gesagt kann man eine temperaturabhängige Längenskala abschätzen$L_{\mathrm{IR}}(T)$, wo für Größensysteme$L > L_{\mathrm{IR}}(T)$, wird die Mermin-Wagner-Physik die spontane Symmetriebrechung bei Temperaturen darüber zerstören$T$.

Die Frage ist dann wie$L_{\mathrm{IR}}(T)$Waage mit$T$. Es stellt sich heraus, dass dies mit der Art der IR-Divergenz aufgrund der Goldstone-Bosonen zusammenhängt. In$d=2$, gibt es also nur eine sehr schwache logarithmische Divergenz$L_{\mathrm{IR}}(T)$ steigt exponentiell mit dem Verhältnis$T_{0}/T$, Wo$T_{0}$ist eine charakteristische Temperatur des Systems. Diese charakteristische Temperatur ist nicht unbedingt mit Skalen verbunden, die mit dem Symmetriebrechen verbunden sind, zB der kritischen Temperatur für Supraleitung, sondern ist oft viel größer, beispielsweise gegeben durch die Debye-Temperatur in einem Festkörper. Das heißt, es ist nicht allzu schwer, im Labor auf Temperaturen zu gehen, bei denen das Verhältnis stimmt$T_{0}/T$groß ist, was wiederum die Cutoff-Skala bedeutet$L_{\mathrm{IR}}(T)$ist astronomisch groß, und so hat die Mermin-Wagner-Physik keinen Einfluss darauf, was im Labor passiert.

Die Vorlesungsnotizen von Anthony Leggett sind eine gute Referenz für alles, was ich hier gesagt habe. Als Beispiel schätzt er, dass die kontinuierliche räumliche Translationssymmetrie spontan gebrochen wird, dh eine kristalline Ordnung entsteht$d=2$und bei Labortemperatur$T\sim 1\mathrm{K}$, wenn wir eine typische Debye-Temperatur in der Größenordnung von einigen hundert Kelvin verwenden, dann die Cutoff-Längenskala$L_{\mathrm{IR}}(T)$ist die Entfernung von der Erde zum Mond!

Leggett erwähnt die Supraleitung nicht, wo die Situation noch schlimmer ist als bei der Kristallordnung. Die Probe müsste größer sein als das beobachtbare Universum, damit langwellige Fluktuationen einen Effekt auf den SC Tc in 2D haben. Siehe unser Paper Physical limitedions of the Hohenberg-Mermin-Wagner theorem , ebenfalls verfügbar unter https://arxiv.org/abs/2107.09714 .