Warum wird der Fourier-Raum als Impulsraum bezeichnet?

Gemäß meinem Benutzernamen fühle ich mich teilweise in meiner Verantwortung, diese Frage zu beantworten. Ich habe es bereits gesagt und ich sage es noch einmal: Die Fourier-Transformation ist kein Zufall. Es gibt unzählige Gründe, warum es die genaue Form hat, die es hat.

Lassen$F[f]$die Fourier-Transformation von bezeichnen$f$, und lass$\boldsymbol P=-i\boldsymbol \partial$bezeichnen den Impulsoperator. Wir haben

$$F[\boldsymbol Pf]=\boldsymbol p F[f]\tag1$$ so dass $F$diagonalisiert $\boldsymbol P$. In der Tat die Ebene-Wellen-Basis $\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot \boldsymbol x}$erfüllt $$\boldsymbol P\,\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot \boldsymbol x}=\boldsymbol p\,\mathrm e^{i\boldsymbol p\cdot \boldsymbol x} \tag2$$ was automatisch impliziert $(1)$, wie behauptet.

Daraus erfahren wir, dass jede Operation, die beinhaltet$\boldsymbol P$wird trivial, wenn wir mit arbeiten$F[f]$statt mit$f$-- wenn wir im Fourier-Raum arbeiten. Daher ist der Fourier-Raum als Impulsraum bekannt. Bequem, oder?

Kurzgesagt,$F[\psi]$an Schwung ist was$\psi$ist zu positionieren. Dies ist eine direkte Folge der (formalen) Tatsache, dass

$$F[\langle \boldsymbol x|]=\langle \boldsymbol p|\tag3$$ was bedeutet, dass sich beide Seiten einig sind, wenn sie handeln $|\psi\rangle$.

aber gibt es einen anderen Grund, es als Impulsraum zu bezeichnen?

Die kanonische Kommutierungsrelation für die Orts- und Impulsoperatoren ist (in einer Dimension)

$$[X, P]|\psi\rangle = (XP - PX)|\psi\rangle = i\hbar|\psi\rangle$$

Auf der Positionsbasis ist dies

$$[x,P_x]\psi(x) = (xP_x - P_xx)\psi(x) = i\hbar\psi(x)$$

und daraus folgt, dass eine Positionsbasisdarstellung des Impulsoperators ist

$$P_x = -i\hbar\partial_x$$

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Eine Wellenfunktion mit bestimmtem Impuls$p$ist dann

$$\psi_p(x) = e^{\frac{i}{\hbar}px} = \langle x|p\rangle$$

so dass

$$P_x\psi_p(x) = -i\hbar\partial_x\,e^{\frac{i}{\hbar}px} = pe^{\frac{i}{\hbar}px} = p\psi_p(x)$$

Nun, wenn wir schreiben

$$k = \frac{p}{\hbar}$$

dann

$$\psi_p(x) = e^{ikx}$$

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Die Impulsraumwellenfunktion$\psi(p)$ist nur das ket$|\psi\rangle$projiziert auf die Impulsbasis:

$$\psi(p) = \langle p | \psi\rangle = \int\mathrm{d}x\, \langle p | x\rangle\langle x | \psi\rangle$$

wobei ich die Vollständigkeitsrelation verwendet habe

$$1 = \int\mathrm{d}x\,|x\rangle\langle x |$$ aber

$$\psi(x) = \langle x | \psi\rangle$$

und

$$e^{-\frac{i}{\hbar}px} = \langle p| x\rangle$$

daher

$$\psi(p) = \int\mathrm{d}x\,\psi(x)\,e^{-\frac{i}{\hbar}px}$$

oder endlich

$$\psi(k) = \int\mathrm{d}x\,\psi(x)\,e^{-ikx}$$

Noch eine Namensbegründung:

Sowohl im Kristall- als auch im De-Broglie-Formalismus wird Impuls definiert als$p=\hbar k$. Dadurch entsteht eine Abbildung zwischen einer reinen Welle mit der Wellenzahl k und einem Punkt im Impulsraum. Wenn eine Wellenfunktion eine Überlagerung von beispielsweise drei Wellen ist, besteht ihre Impulsdarstellung aus drei Punkten.

Die Fourier-Transformation führt die gleiche Abbildung durch. Die Transformation "scannt" alle möglichen k und liefert überall Null, mit Ausnahme der reinen Wellenbestandteile der Wellenform.