Warum wird die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht als die Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit definiert?

Die Leute haben Ihre Frage bereits vom Standpunkt der Nützlichkeit aus beantwortet, aber ich möchte nur hinzufügen, dass Ihre Argumentation nicht korrekt ist:

Geschwindigkeit wird üblicherweise als die Größe der (Momentan-)Geschwindigkeit definiert. Man könnte also annehmen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit als die Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit definiert wäre.

So geht es nicht. Wenn wir haben

[Geschwindigkeit] = [Betrag der Geschwindigkeit]

dann diktiert Logik, dass wir haben sollten

Durchschnitt [Geschwindigkeit] = Durchschnitt [Größe der Geschwindigkeit]

und nicht

Durchschnitt [Geschwindigkeit] = Größe von [Durchschnittsgeschwindigkeit]

und in der Tat, das ist es, was wir haben.

Bei gegebener Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit die Größe der Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann der Durchschnitt dieser Größenordnung, wie es für jede Funktion der Zeit - wie Dichte oder Temperatur - der Fall wäre. Die Frage, ob die mittlere Größe der Geschwindigkeit gleich der Größe der mittleren Geschwindigkeit ist, wird dann zu einer zu prüfenden Vermutung. Da sich ein Objekt mit hoher Geschwindigkeit bewegen kann, während es an denselben Ort zurückkehrt, und daher bei einer hohen Durchschnittsgeschwindigkeit eine Durchschnittsgeschwindigkeit von Null hat, zeigt dies durch ein Gegenbeispiel, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit, die wie jeder andere Durchschnitt definiert ist, tatsächlich nicht gleich ist bis zur Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit.

Es kommt sehr häufig vor, dass der Durchschnitt einer Funktion nicht die Funktion des Durchschnitts ist. Zum Beispiel der Durchschnitt$x^2$ist typischerweise nicht das Quadrat des Durchschnitts von$x$.

Sie können den Mittelwert des Geschwindigkeitsvektors berechnen.

Es erweist sich jedoch manchmal als nutzlos. Ein triviales Beispiel ist eine Kreisbewegung.

Die mittlere Geschwindigkeit einer vollen Schleife in einer kreisförmigen Bewegung ist$\vec{0}$, da die Geschwindigkeit zunächst in eine Richtung zeigt, und$\pi$Radianten später zeigt es in das Gegenteil, also heben sich ihre Beiträge auf. Also die durchschnittliche "Geschwindigkeit".$\vec{0}$.

Trotzdem gibt uns dies nicht viele Informationen. Das Verhältnis von „Umfang“ zu „Verstrichene Zeit“ hingegen ergibt die eigentliche „mittlere Geschwindigkeit“.

Manchmal kann es jedenfalls sinnvoll sein, beides zu geben. Je mehr Informationen, desto besser.

Der einfache Grund ist, dass die Geschwindigkeit negativ werden kann, was sich auf den Durchschnitt auswirkt. Das deutlichste Beispiel für den Unterschied wäre ein Pendel (oder irgendein anderes Resonanzsystem).

Ein Pendel schwingt hin und her. Es folgt seiner Spur in eine Richtung, beschleunigt und verlangsamt dann bis zu einem vorübergehenden Halt; und kehrt dann die Richtung um, um genau dieselbe Flugbahn in umgekehrter Richtung zu wiederholen.

Das Pendel folgt jedes Mal demselben Weg, in entgegengesetzten Richtungen. Da die Geschwindigkeit vorzeichenbehaftet ist, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für den Weg in eine Richtung genau gleich groß und hat das entgegengesetzte Vorzeichen wie die Durchschnittsgeschwindigkeit für den anderen Weg. Die mittlere Geschwindigkeit ist daher Null.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird natürlich nicht Null sein. Sie wird gleich der Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit für eine Hälfte der Flugbahn des Pendels sein, weil beide Hälften die gleiche Geschwindigkeitsgröße haben.

Der Fehler besteht darin, dass die Größe der Geschwindigkeit eigentlich keine Definition ist, sondern als Folge der tatsächlichen Definition besser gewürdigt wird, und alle Materialien, die dies behaupten, sind problematische Studienmaterialien.

Die eigentliche Definition von Geschwindigkeit ist in beiden Fällen wirklich die zurückgelegte Strecke im Verhältnis zur dafür benötigten Zeit. Es ist nur so, dass im Fall der momentanen Geschwindigkeit der Absolutwert der Geschwindigkeit zufällig gleich der Geschwindigkeit ist, weil die Größe des Differentials der Bogenlänge ($ds$) - dh das winzige Inkrement der zurückgelegten Strecke - ist gleich groß wie die Differenz der Verschiebung ($d\mathbf{r}$), dh der Vektor von der Start- zur aktuellen Position. Mathematisch ist die korrekte Definition der momentanen Geschwindigkeit

und Geschwindigkeit

Aber jetzt (mindestens für zwei Dimensionen) haben wir das$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$, aber auch$d\mathbf{r} = dx\ \mathbf{i} + dy\ \mathbf{j}$. Was ist$|d\mathbf{r}|$?

Es ist wirklich ganz einfach. "Durchschnittsgeschwindigkeit" ist der Durchschnitt der Geschwindigkeit. Im Allgemeinen der Durchschnitt einer beliebigen Funktion$f(t)$Ist

Im Fall von$f(t)$die Geschwindigkeit sein$s(t)$, Das Integral der Geschwindigkeit$\int_a^b s(t)\ dt$gibt die zurückgelegte Gesamtstrecke an, und$b-a$ist die verstrichene Zeit, was zu der von Ihnen erwähnten Formel führt.

Anders gedacht, "Durchschnittsgeschwindigkeit" ist "durchschnittliche Geschwindigkeitsgröße", die sich stark von "Durchschnittsgeschwindigkeitsgröße" unterscheidet - Die Modifikatoren "Durchschnitt" und "Größe" pendeln nicht. Es gibt keinen Grund, einen Begriff zu verwenden, wenn Sie wirklich den anderen meinen. Mit anderen Worten,

Wie Sie geschrieben haben, sind diese Größen unterschiedlich und geben Ihnen unterschiedliche Informationen. Warum sollten Sie also die Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit als Durchschnittsgeschwindigkeit bezeichnen?

Wenn Sie in einem Auto unterwegs sind, ist dies die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Fahrt, die Sie möglicherweise wünschen, selbst wenn Start- und Zielpunkt gleich wären.
Was würde es nützen zu sagen, dass die Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit Null war?

In den anderen Antworten ist alles gesagt. Aber ich denke, es könnte nützlich sein, die Dinge formell für einen anderen Standpunkt zu wiederholen, möglicherweise neu für eine Physiker-Leserschaft, und erfordert daher eine detailliertere Erklärung (Entschuldigung), und deshalb habe ich beschlossen, es eher als Antwort als als Kommentar zu machen wie ich es ursprünglich beabsichtigt hatte.

Das ist wirklich eine Frage der Linguistik, nicht der Physik.

Sie haben zwei interessierende Entitäten/Größen in Ihrem physikalischen Diskurs, den Durchschnitt der Geschwindigkeit über die Zeit und die Größe der Durchschnittsgeschwindigkeit, und Sie müssen sie beide benennen. Die Funktionsweise von Sprache, zumindest in vielen Systemen der Sprachanalyse und insbesondere in Programmiersprachen, die sich auf einer der Physik ähnlichen Formalitätsebene befinden, ist wie folgt (dies ist eine grobe Vereinfachung, zumindest für natürliche Sprache):

Sie haben elementare Konzepte, die durch verschiedene Namen oder Symbole ausgedrückt werden, die ein Vokabular bilden (mit verschiedenen Kategorien: Name, Verb, Skalar, Funktion, ...). Dann haben Sie syntaktische Regeln (Grammatik), mit denen Sie aus elementaren wie Ausdrücken oder Sätzen größere Strukturen aufbauen. Funktionale Bedeutung ist syntaktischen Regeln zugeordnet.

Dann wird die Bedeutung eines Ausdrucks oder Satzes mehr oder weniger dadurch bestimmt, dass diese Bedeutung ein homomorphes Bild vom syntaktischen Bereich des Satzes zum abstrakten Bereich der Bedeutungen ist. Der Homomorphismus wird durch die Übereinstimmung zwischen den Elementen des Vokabulars mit elementaren Entitäten und zwischen den syntaktischen Regeln und ihrer funktionalen Bedeutung definiert.

Dies wurde tatsächlich auf sehr formale mathematische Weise verwendet, um Programmiersprachen zu definieren.

Dieser homomorphe Ansatz, der darauf basiert, die Bedeutung des Ganzen durch Zusammensetzen (gemäß grammatikalischer Syntax) der Bedeutungen der Teile zu erhalten, ist die Essenz der Antwort von user541686 an einem sehr trivialen Beispiel

Nun, die Leute respektieren nicht immer die Syntax (hören Sie einfach Radio oder Fernsehen). Sie können auch Ausdrücke nehmen und willkürlich entscheiden (wenn sie die Macht dazu haben), dass diese Bedeutung eine andere ist als die, die der Homomorphismus ableiten würde. Dies kann im Fall der natürlichen Sprache sogar durch Evolution geschehen. Aber es macht das Verständnis nur komplizierter, möglicherweise anfälliger für Fehler und Fehlinterpretationen.

Sie können also nicht entscheiden, was "Durchschnittsgeschwindigkeit" ist. Die Bedeutung dieses Ausdrucks muss standardmäßig von der funktionalen Bedeutung von Durchschnitt abgeleitet werden, angewendet auf die Bedeutung von Geschwindigkeit, genauso wie Sie es für durchschnittlichen Druck oder durchschnittliches Gewicht tun würden (nun, es gibt vieles, was implizit ist, und Sprache ist selten einfach).