Was bedeuten die Wellenfunktionen, die den Fock-Zuständen jedes Modus eines gebundenen Zustandssystems zugeordnet sind?

Question

Was bedeuten die Wellenfunktionen, die den Fock-Zuständen jedes Modus eines gebundenen Zustandssystems zugeordnet sind?

Daniel Sank

$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right \rangle}$ Betrachten Sie eine Zeichenfolge der Länge $L$ unter Spannung und an jedem Ende festgeklemmt. Dieses System wird durch die Wellengleichung beschrieben und hat eine Reihe von Moden. Das $n^\text{th}$ Modus hat ein räumliches Profil

ϕ_{n} (x) = Sünde (n π x / L)

$\phi_n(x) = \sin(n \pi x / L)$ und Frequenz

ω_{n}

$\omega_n$ . Mit anderen Worten, wenn nur die

n^{th}

$n^\text{th}$ Modus angeregt wird, ist die zeitabhängige Verschiebung der Saite

j (x, t) = EIN \cos (ω_{n} t) Sünde (n π x / L)

$y(x,t) = A \cos(\omega_n t) \sin(n \pi x / L)$ für eine gewisse Amplitude

A

$A$ .

^{[a]}

$^{[a]}$ Tatsächlich ist die Dynamik jedes Modus genau die eines harmonischen Oszillators mit Frequenz

ω_{n}

$\omega_n$ .

Wir behandeln den String auch Modus für Modus, wenn wir uns mit der Quantenmechanik befassen. Jeder Modus kann eine ganzzahlige Anzahl von Anregungen haben. Wenn die $n^\text{th}$ Modus hat $m$ Erregungen, wir sagen, es ist in " $m^\text{th}$ Fock-Zustand" und bezeichnen ihn $\ket{m_n}$ . Dies ist die sogenannte "zweite quantisierte" Sprache, in der der Zustand der Zeichenfolge geschrieben wird

| m_{0} ⟩ \otimes | m_{1} ⟩ \otimes | m_{2} ⟩ \otimes \dots = | m_{0} m_{1} m_{2} \dots ⟩ .

$\ket{m_0}\otimes \ket{m_1} \otimes \ket{m_2} \otimes \ldots = \ket{m_0 m_1 m_2 \ldots} \, .$

Jeder Fock-Zustand hat eine zugeordnete Wellenfunktion . Zum Beispiel, wenn ein Modus aktiviert ist $\ket{0}$ , dann hat dieser Modus eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsverteilung seiner Quadraturen. Diese Guassische Wellenfunktion unterscheidet sich vollständig vom räumlichen Profil der Mode $\phi_n(x)$ .

Betrachten Sie nun einen unendlichen quadratischen Brunnen. Dieses System hat verschiedene Eigenzustände, die wir benennen können $\ket{\text{I}}$ , $\ket{\text{II}}$ usw. Wenn wir nur ein einzelnes Teilchen haben, beschreiben wir das System normalerweise nur, indem wir sagen, in welchem Eigenzustand oder in welcher Überlagerung von Eigenzuständen sich das Teilchen befindet. Jeder dieser Eigenzustände hat eine zugehörige Wellenfunktion, dh $\langle x|\text{III}\rangle = \phi_\text{III}(x)$ . Diese Wellenfunktionen sagen uns unter anderem die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Position eines einzelnen Teilchens.

Bei mehreren Partikeln lernen wir ursprünglich, den Gesamtzustand auszudrücken, indem wir angeben, in welchem Zustand sich jedes Partikel befindet. Zum Beispiel, ob sich das erste Partikel befindet $\ket{\text{I}}$ und der zweite ist drin $\ket{\text{III}}$ , würden wir schreiben

| Ψ ⟩ = | ich ⟩ \otimes | III ⟩ .

$\ket{\Psi} = \ket{\text{I}} \otimes \ket{\text{III}} \, .$ Da Teilchen eines einzigen Typs nicht unterscheidbar sind, müssen wir diesen Zustand natürlich symmetrisieren oder antisymmetrisieren. Es ist jedoch einfacher, einfach die zweite Quantisierung zu verwenden und zu schreiben

| Ψ ⟩ = | 101 ⟩

$\ket{\Psi} = \ket{101}$ Das heißt, es gibt eine Erregung im ersten Zustand und eine Erregung im dritten Zustand.

Beachten Sie, dass das, was wir „Eigenzustände“ für das einzelne Teilchen im Quadrat nannten, die Rolle dessen zu spielen scheint, was wir „Moden“ im Fall der quantisierten schwingenden Saite nannten. Vielleicht ist das nicht allzu überraschend: Wir können uns vorstellen, dass es innerhalb des quadratischen Schachts ein Quantenfeld gibt und dass dieses Feld Moden hat, genau wie eine schwingende Saite. In diesem Bild sind die Wellenfunktionen, die wir normalerweise als einzelne Teilchen betrachten, wie die Schwingungsmoden der Saite. In diesem Bild ist es natürlich zu sagen, dass jeder Modus durch ein, zwei, drei ... Quanten angeregt werden kann, was dasselbe ist wie zu sagen, dass ein, zwei, drei ... Teilchen in jedem einzelnen Teilchenzustand sein können. Mit anderen Worten, jeder Modus kann sich in einem beliebigen der verschiedenen Fock-Zustände befinden.

Wenn wir jedoch diese Perspektive einnehmen, dann erwarten wir, dass die Fock-Zustände jedes Modus zugeordnete Wellenfunktionen haben sollten . $^{[b]}$ Zum Beispiel, wenn wir den Staat haben $\ket{0000\ldots}$ in der quadratischen Mulde, dann sagen wir, dass jeder Modus der quadratischen Mulde eine Gauß-verteilte Amplitude hat.

Im Fall der Saite bedeutet jeder Modus mit einem Grundzustand mit Gauß-verteilter Amplitude, dass Sie nicht immer Null erhalten, wenn Sie die Verschiebung der Saite messen. Dies ist die sogenannte "Nullpunktbewegung". Was bedeutet es für eine bestimmte Art von Teilchen in einem unendlichen quadratischen Well, einen Fock-Zustand zu haben? $\ket{0}$ mit Gaußscher Wellenfunktion? Naiverweise bedeutet dies, dass selbst ohne Partikel in der Wanne eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null besteht, eine Verschiebung ungleich Null im Quantenfeld des Partikels zu messen. Was bedeutet das?

$[a]$ : Wir ignorieren hier die Phase.

$[b]$ : Mir wird klar, dass der Begriff „Staat“ überfrachtet ist. Was wir "Einzelteilchenzustände" nennen, sollte "Modi" genannt werden, und der Begriff "Zustand" sollte für die verschiedenen Fock-Zustände jedes Modus oder für den Gesamtsystemzustand reserviert sein, der eine Überlagerung von Tensorprodukten von Fock-Zuständen ist.

vzn

denken, dass Sie hier auf etwas stoßen und dass die starken Analogien mit der klassischen Physik kein Zufall sind und ähnliche Ideen über viele Jahre verfolgt haben ... aber bei allem Respekt / Sympathie, streng genommen ist dies alles nicht das Skizzieren eines "versteckten / (lokale?) Variablentheorie"? Meine Intuition ist zwar schwach in mathematischen Details, aber vielleicht besteht eine Möglichkeit, dies zu klären, darin, zu versuchen, zu verstehen, was gleichzeitige Erkennungen von Partikeln bedeuten oder möglich sind, zu messen ... trotzdem möchte ich nachdrücklich weitere / laufende Diskussionen zu diesem Thema anregen ( ein Zen-Koan?), aber an einem weniger restriktiven Ort ...

Markus Mitchison

Das ist eine nette Frage. Ich denke, die Antwort wird eine von zwei Formen annehmen: 1) Identifizierung einer physikalischen Observablen, deren Wahrscheinlichkeitsamplitude im Vakuumzustand Gauß-verteilt ist, 2) Beweis, dass es keine solche Observable gibt, weil die Analogie zwischen den Fock-Räumen von Vielteilchen-QM und der harmonische Oszillator sind rein formal. Ich vermute, dass 2) wahr ist, wenn es um konservierte Teilchen geht, dh Fermionen oder ihre Zusammensetzungen wie Atome. Dies liegt daran, dass die Feldquadratur schematisch aussehen wird

a + a^{†}

$a + a^\dagger$ (wo

a

$a$ vernichtet Atome), was sicherlich keine Observable ist.

Alfred Centauri

Die Titelfrage ist in der Tat eine meiner Lieblingsfragen, über die ich nachdenke, während ich mit dem Traktor die Weide mähe. Ich habe einige Ideen, aber im Moment keine Zeit, sie zu teilen.

Daniel Sank

@ MarkMitchison Ich glaube, ich verstehe das jetzt. Bei einem Quantensystem, in dem die Operatoren Funktionen von etwas sind (häufig Position, und dies wird als Quantenfeld bezeichnet), können wir Moden identifizieren (tatsächlich oft dieselben wie die klassischen Moden), von denen jede ein Modenprofil hat

ϕ_{n} (x)

$\phi_n(x)$ . Jeder Modus wird mathematisch durch ein einzelnes Teilchen der 1D-Quantenmechanik dargestellt , normalerweise ein harmonischer Oszillator (in einem nicht wechselwirkenden System). Wenn wir über mehrere nicht unterscheidbare Teilchen in einem 1D-Potential sprechen, bedeutet dies automatisch, dass wir wieder beim Quantenfeld-Fall sind und wieder Moden finden müssen.

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Was bedeuten die Wellenfunktionen, die den Fock-Zuständen jedes Modus eines gebundenen Zustandssystems zugeordnet sind?

denken, dass Sie hier auf etwas stoßen und dass die starken Analogien mit der klassischen Physik kein Zufall sind und ähnliche Ideen über viele Jahre verfolgt haben ... aber bei allem Respekt / Sympathie, streng genommen ist dies alles nicht das Skizzieren eines "versteckten / (lokale?) Variablentheorie"? Meine Intuition ist zwar schwach in mathematischen Details, aber vielleicht besteht eine Möglichkeit, dies zu klären, darin, zu versuchen, zu verstehen, was gleichzeitige Erkennungen von Partikeln bedeuten oder möglich sind, zu messen ... trotzdem möchte ich nachdrücklich weitere / laufende Diskussionen zu diesem Thema anregen ( ein Zen-Koan?), aber an einem weniger restriktiven Ort ...
Das ist eine nette Frage. Ich denke, die Antwort wird eine von zwei Formen annehmen: 1) Identifizierung einer physikalischen Observablen, deren Wahrscheinlichkeitsamplitude im Vakuumzustand Gauß-verteilt ist, 2) Beweis, dass es keine solche Observable gibt, weil die Analogie zwischen den Fock-Räumen von Vielteilchen-QM und der harmonische Oszillator sind rein formal. Ich vermute, dass 2) wahr ist, wenn es um konservierte Teilchen geht, dh Fermionen oder ihre Zusammensetzungen wie Atome. Dies liegt daran, dass die Feldquadratur schematisch aussehen wird $a + a^\dagger$ (wo $a$ vernichtet Atome), was sicherlich keine Observable ist.
Die Titelfrage ist in der Tat eine meiner Lieblingsfragen, über die ich nachdenke, während ich mit dem Traktor die Weide mähe. Ich habe einige Ideen, aber im Moment keine Zeit, sie zu teilen.
@ MarkMitchison Ich glaube, ich verstehe das jetzt. Bei einem Quantensystem, in dem die Operatoren Funktionen von etwas sind (häufig Position, und dies wird als Quantenfeld bezeichnet), können wir Moden identifizieren (tatsächlich oft dieselben wie die klassischen Moden), von denen jede ein Modenprofil hat $\phi_n(x)$ . Jeder Modus wird mathematisch durch ein einzelnes Teilchen der 1D-Quantenmechanik dargestellt , normalerweise ein harmonischer Oszillator (in einem nicht wechselwirkenden System). Wenn wir über mehrere nicht unterscheidbare Teilchen in einem 1D-Potential sprechen, bedeutet dies automatisch, dass wir wieder beim Quantenfeld-Fall sind und wieder Moden finden müssen.

udrv · Answer 1

Was bedeutet es für eine bestimmte Art von Teilchen in einem unendlichen quadratischen Well, einen Fock-Zustand zu haben? $|0\rangle$ mit Gaußscher Wellenfunktion?

Was das Vielteilchen-Setting betrifft, bin ich versucht zu sagen, dass die kurze Antwort lautet: "Eigentlich nichts, weil die $|0\rangle$ Zustand ist nicht Gaußsch." :D

Längere Antwort: Der formale Vakuumzustand der zweiten Quantisierung hat in diesem Fall nichts mit dem Grundzustand einer harmonischen Mode zu tun. Es ist vielmehr ein abstrakter Zustand, der den Isomorphismus zwischen dem (anti)symmetrischen Unterraum des tatsächlichen N-Teilchen-Hilbert-Raums und einem abstrakten Hilbert-Raum ermöglicht, der als direktes Produkt von "Teilchen"- oder "Modus"-Räumen konstruiert ist, die jeweils mit einem individuellen Leiteroperator ausgestattet sind Algebra.

Eine schnelle Möglichkeit zu argumentieren, dass keine Vakuum-Gaußschen Wellenfunktionsfaktoren in das Konstrukt einfließen, kommt der Bestätigung von @ MarkMitchisons Kommentar nahe: Überprüfen Sie einfach die regulären Lokalisierungswahrscheinlichkeiten oder sogar die Raumkorrelationsfunktionen für den Vakuumzustand. Angenommen, die Einteilchen-Eigenfunktionen sind $\phi_n(x)$ (einschließlich des tatsächlichen Grundzustands!) und die entsprechenden Leiteroperatoren sind ${\hat a}_n$ , ${\hat a}^\dagger_n$ , sodass die Feldoperatoren lauten

{\hat{ψ}}^{†} (x) = \sum_{n} ϕ_{n}^{*} (x) {\hat{a}}_{n}^{†}, \hat{ψ} (x) = \sum_{n} ϕ_{n} (x) {\hat{a}}_{n}

${\hat \psi}^\dagger(x) = \sum_n{\phi^*_n(x){\hat a}^\dagger_n}, \;\;\;{\hat \psi}(x) = \sum_n{\phi_n(x){\hat a}_n}$ Dies ergibt sofort eine Null-Einzelteilchen-Lokalisierungswahrscheinlichkeit im Vakuum:

ρ_{0} (x) = ⟨ 0 | {\hat{ψ}}^{†} (x) \hat{ψ} (x) | 0 ⟩ = \sum_{m, n} ϕ_{m}^{*} (x) ϕ_{n} (x) ⟨ 0 | {\hat{a}}_{m}^{†} {\hat{a}}_{n} | 0 ⟩ = 0

$\rho_0(x) = \langle 0 | {\hat \psi}^\dagger(x) {\hat \psi}(x) |0 \rangle = \sum_{m,n}{\phi^*_m(x)\phi_n(x)\langle 0| {\hat a}^\dagger_m {\hat a}_n| 0\rangle } = 0$ Mit anderen Worten, das 2. quantisierte Vakuum ist wirklich … leer . Tatsächlich ist es nicht nur auf der Einzelteilchenebene leer, sondern auf jeder k-Teilchen-Ebene. Was bedeutet, dass die "Wahrscheinlichkeit, eine Verschiebung ungleich Null im Quantenfeld des Teilchens zu messen", wie Sie gefragt haben, wirklich null ist. Oder die Theorie stellt nicht die Mittel bereit, um die Wellenfunktion des Vakuumzustands zu testen.

Anmerkung: Als Gegenbeispiel könnte man an ein verschobenes oder gequetschtes Vakuum denken, aber bei genauerem Hinsehen ändert sich nicht viel, weil sich die Situation einfach auf einheitlich transformierte Zustände und Operatoren/Observables überträgt.

Rokoko · Answer 2

Auf die Gefahr hin, zu enthüllen, dass ich Ihre Frage völlig falsch verstanden habe, ein paar Gedanken ...

Die Leute sprechen manchmal über reguläres QM als „nulldimensionales QFT“*, und ich denke, dass Korrespondenz mehr oder weniger das ist, worauf Sie hier hinauswollen. Ich bin mir nicht sicher, inwieweit diese Sichtweise formalisiert wurde oder werden kann. Aber hier ist mein Verständnis des intuitiven Inhalts.

Was ich die "quantenmechanische Grenze von QFT"** nenne, ist wie wenn Sie Ihre Saite auf einen Punkt verkleinern, sodass die Amplitude schließlich auf einen trivialen Wert festgelegt wird (wenn Sie möchten, verbinden sich die beiden Grenzen zu einer). Diese Grenze wird aber so gewählt, dass die Modenstruktur erhalten bleibt.

Da die Amplitude fest ist, rufen Sie sowohl den räumlichen Modus auf $\phi_n(x)$ und was Sie die Wellenfunktion nennen, wird trivial. Übrig bleibt nur die Besetzungszahl, die natürlich auf verschiedene Basen erweitert werden kann, einschließlich der Energieeigenbasis (wodurch sie näher an QFT aussieht) oder der Positionsbasis (die etwas anders aussieht).

Eine in diesem Zusammenhang hilfreiche Formulierung der QFT ist der wellenfunktionale Ansatz (siehe zum Beispiel diese Frage ), bei dem das fundamentale Objekt ist $\Psi[\phi(x)]$ , eine Wahrscheinlichkeitsamplitudenverteilung über Feldkonfigurationen. In dieser Notation wäre die QM-Grenze eine, bei der die Feldkonfigurationen $\phi$ alle werden trivial, aber es gibt immer noch eine Wahrscheinlichkeitsamplitudenverteilung über ihnen.

*Besonders habe ich diese Art von Sprache im Kontext der statistischen Physik gehört. Darin kann man eine klassische Feldtheorie abbilden $d$ Dimensionen zu einer Quantentheorie in $d-1$ plus imaginäre Zeit. Wann $d=1$ , sieht die resultierende Quantentheorie wie ein Ein-Teilchen-Hamiltonoperator aus.

**Um es klarzustellen, dies ist völlig anders als ein nicht-relativistisches oder partikelerhaltendes Limit der QFT, das man in einem anderen Zusammenhang auch als "QM-Limit" bezeichnen könnte.

+1 Ich bin mir ziemlich sicher, dass Ihr erster Absatz (nach dem Haftungsausschluss) das eigentliche Problem anspricht. Vielleicht schreibe ich später meine eigene Antwort und verbinde das, was Sie gesagt haben, mit dem, was ich in den letzten Tagen im Gespräch mit Menschen gelernt habe.

Benutzer114179 · Answer 3

Es fällt mir schwer, die Frage hier vollständig zu verstehen, aber ich denke, die Lösung könnte darin bestehen, verschiedene Modi als unterschiedliche räumliche Dimensionen zu betrachten. Denken Sie daran, dass ein dreidimensionales Teilchen in Box drei Quantenzahlen hat ( $n_x$ , $n_y$ , und $n_z$ ). Gibt es in Bezug auf den Quanteninformationsgehalt (auf logischer Ebene) einen Unterschied zwischen einem harmonischen 2D-Oszillator mit einem Photon darin und einem harmonischen 1D-Oszillator mit zwei Photonen darin? Ich denke, das gibt es nicht.

Was bedeuten die Wellenfunktionen, die den Fock-Zuständen jedes Modus eines gebundenen Zustandssystems zugeordnet sind?

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Rokoko

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Benutzer114179

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