Was bedeutet „untereinander umwandeln“?

Der Autor denkt höchstwahrscheinlich über das folgende Szenario nach:

1. Die Tensorkomponenten$T_{ij}$sind Koordinaten in einem Vektorraum$V$bestehend aus Vektoren

   $$T~=~\sum_{ij}T_{ij}~ e^i \otimes e^j$$ mit Basiselementen$e^i \otimes e^j\in V$. [Hier wird das Wort Vektor im Sinne der linearen Algebra verwendet (im Gegensatz z. B. im Sinne eines (1,0) kontravarianten Tensors.)]

2. Eine Gruppe$G$wirkt auf den Vektorraum$V$. Mit anderen Worten, es existiert eine Gruppenaktion $G\times V\to V$; Und$V$ist eine Gruppendarstellung von$G$.

3. Der Vektorraum$V$hat ein$G$-invarianter Unterraum$W\subseteq V$. Mit anderen Worten kann die Gruppenaktion auf eine Gruppenaktion beschränkt werden$G\times W\to W$auf dem linearen Unterraum$W$; Und$W$ist eine Gruppendarstellung von$G$. Wir würden dann sagen, dass die Tensoren im linearen Unterraum$W$ wandeln sich unter der Aktion der Gruppe untereinander um$G$.

Der Autor ist aus mindestens zwei Gründen ungenau:

1. Er sollte zur Verdeutlichung eher Unterraum als Untergruppe schreiben. [Natürlich ein linearer Unterraum$(W,+)$ ist eine Untergruppe der Gruppe$(V,+)$, aber niemand (außer dem Autor) sagt es so.]

2. Es gibt keinen Grund, dass der Unterraum/die Unterdarstellung$W$sollte ein irreduzibler Unterraum/eine irreduzible Darstellung sein. Dazu bedarf es zusätzlicher Bedingungen, nämlich der$W$selbst hat nur trivial$G$-invariante Unterräume.

Ein einfaches Beispiel: Bei einer Drehung um die Z-Achse ändern sich die X- und Y-Komponenten eines Vektors, wobei ihre neuen Werte Linearkombinationen ihrer vorherigen sind, aber ihre Z-Komponenten werden nicht geändert.

In höheren Dimensionen können Sie Transformationen haben, die einige Komponenten betreffen, andere jedoch nicht auf allgemeinere Weise, einschließlich Komponenten, die sich in separaten Gruppen "untereinander transformieren". Zum Beispiel könnten Sie in acht Dimensionen einen Tensor schreiben, um die 1. und 2. Komponente wie X und Y transformieren zu lassen, und sagen wir auch, ihre 5. und 8. Komponente, während alle anderen Komponenten eines Vektors stillstehen.

Dies ist eine Erklärung, die mehr oder weniger pauschal aus Zees Feldtheorie-Buch gerissen wurde , aus dem ich zuerst verstand, worüber alle mit irreduziblen Whatnots herumhämmerten. Betrachten wir einen Tensor vom zweiten Rang in drei Dimensionen, den Sie sich immer als Tensorprodukt zweier fiktiver Vektoren oder in Komponenten vorstellen können:

$$T_{ij} = x_i y_j.$$ Wie transformiert sich dieses Objekt unter Drehungen? Rotationen sind Matrizen, die Vektoren in ein neues Koordinatensystem umwandeln $x^{\prime}_i = O_{ij}x_j$, wobei die Einstein-Summennotation impliziert ist. Die Tatsache, dass $O$stellt eine Drehung dar, sagt Ihnen, dass es Winkel dreht, aber keine Längen ändert: Eine globale Drehung muss das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren beibehalten. Deshalb $O$ist eine orthogonale Matrix , befriedigend $O^T = O^{-1}$. Orthogonale Matrizen bilden die Gruppe $O(3)$; $O$für orthogonal und 3 für 3D. Jetzt sollte klar sein, wie $T$unter Drehungen transformiert, wenden Sie einfach eine orthogonale Matrix auf jeden dieser fiktiven Vektoren an:

$$T^{\prime}_{kl} = O_{ki}x_i O_{lj}y_j = O_{ki} T_{ij} O^{-1}_{jl} = (O T O^{-1})_{kl}$$

Verwenden der definierenden Eigenschaft orthogonaler Matrizen und Bezeichnen der Komponenten der Matrix invers von$O$von$O^{-1}_{jl}$.

Es gibt 3 interessante "Stücke" zum Tensor$T$, die Spur

$$T_{ii} ,$$ der antisymmetrische Teil $$A_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} - T_{ji}) = - A_{ji},$$ und einen spurlosen symmetrischen Teil $$S_{ij} = \frac{1}{2}(T_{ij} + T_{ji}) - \frac{1}{3}\delta_{ij}T_{ii} = S_{ji}.$$ Mal sehen, wie sich diese jeweils verwandeln. Die Spur ist nur eine Zahl, so offensichtlich $$T^{\prime}_{ii} = O T_{ii} O^{-1} = T_{ii} O O^{-1} = T_{ii},$$ oder mit anderen Worten, die Spur ist invariant , oder äquivalent ein Skalar , oder äquivalent transformiert sie trivial . Sie können zeigen, dass nach der Transformation des antisymmetrischen Teils nur Indizes manipuliert werden $$A_{ij}^{\prime} = O_{ik}A_{kl}O_{jl} = -A^{\prime}_{ji},$$ dh es ist immer noch antisymmetrisch . (Die Orthogonalitätseigenschaft von $O$ist hier wesentlich.) Ebenso das Transformierte $S^{\prime}_{ij} = S^{\prime}_{ji}$ist noch spurlos und symmetrisch. Dies zeigt, dass diese drei Teile in dem Sinne unabhängig sind, dass orthogonale Drehungen sie nicht miteinander vermischen. Diese bilden die irreduziblen Komponenten des Tensors, auf den sich Ihr Autor bezieht.

Beachten Sie, dass die Spur 1 Element hat, der antisymmetrische Teil 3 unabhängige Elemente hat und der symmetrische spurlose Teil 5 unabhängige Elemente hat.$1 + 3 + 5 = 9$, die Gesamtzahl der Elemente eines allgemeinen Tensors vom zweiten Rang$T_{ij}$in 3D. Diese 3 Bits entsprechen ungefähr den drei "interessanten" Möglichkeiten, zwei Vektoren zu kombinieren$\mathbf{x}$&$\mathbf{y}$. Sie können sie zusammen mit einem Kronecker-Produkt spannen$T = \mathbf{x}\otimes\mathbf{y}^T$, die 9 unabhängige Komponenten hat. Wenn Sie jedoch die Spur davon nehmen, erhalten Sie das Skalarprodukt$\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = T_{ii}$, ein Einkomponenten-Skalar. Weitere drei Komponenten bilden das Kreuzprodukt, wodurch Sie einen 3-Komponenten-(Pseudo-)Vektor erhalten$(\mathbf{x}\times\mathbf{y})_i = \epsilon_{ijk}A_{jk}$(Vielleicht möchten Sie das Levi-Civita-Symbol nachschlagen ). Die verbleibenden 5 unabhängigen Komponenten bilden einen spurlosen symmetrischen Tensor vom zweiten Rang$S_{ij}$.