Was genau ist metaphysische Möglichkeit?

Einige formelle Anmerkungen zur Ergänzung von Mauros ausgezeichneter Antwort. Wie man es in einer Diskussion über Modalität erwarten würde, werden wir bei der Definition von Dingen über modale Modelle sprechen. Die meisten werden mit den Logiken K, S4 usw. vertraut sein. K und seine Superlogiken sind zu hoch entwickelt, um metaphysische Modalitäten zu diskutieren, also beginnen wir mit Prä-Kripke-Modalmodellen und gehen zurück zu Carnap. Wir beginnen mit der Sprache:

Definition 1. ( Aussagenmodale Sprache ) Bei einem gegebenen Aussagenbuchstaben p wird die Sprache der Aussagenmodallogik durch die folgende Grammatik definiert:

                                              φ := p | ϕ′ | ¬φ | (φ∧φ) | □φ.

Das bedeutet, dass p mit beliebig vielen Primzahlen eine Formel ist, ¬φ eine Formel ist, wenn φ eine Formel ist, und so weiter. Um diese Sprache zu interpretieren, definieren wir karnapische Modalmodelle (später werden wir diese verfeinern; vgl. Definition 6):

Definition 2. ( Karnapische Modelle ) Ein karnapisches Modalmodell ist ein Singleton M = (V), wobei V eine Menge von Bewertungen von Formeln in der Sprache der aussagenlogischen Modallogik bis zu Wahrheitswerten ist.

Damit können wir definieren, was es bedeutet, dass eine Formel der propositionalen Modalsprache (Definition 1) in einem karnapischen Modell in Bezug auf eine Bewertung (~Welt) wahr ist:

Definition 3. ( Karnapische Semantik ) Die Wahrheit einer Formel φ der Aussagenmodalsprache in einem karnapischen Modell bei einer Bewertung v ∈ V wird durch Induktion über die Komplexität von φ wie folgt definiert:

1. M, v |= p genau dann, wenn v(p) = 1;
2. M, v |= ¬φ genau dann, wenn ¬(M, v |= φ);
3. M, v |= φ ∧ ψ genau dann, wenn (M, v |= φ) und (M, v |= ψ);
4. M, v |= □φ genau dann, wenn ∀ _{v′ ∈ M} : M, v′ |= φ.

Die einzige Klausel, die es wert ist, hier beachtet zu werden, ist die für den Kasten: □φ ist wahr in einem Carnapian-Modell M = (V) bei einer Bewertung v ∈ V nur für den Fall, dass φ in allen Bewertungen in V ohne jegliche Einschränkung wahr ist ! Aufgrund dieser fehlenden Einschränkung der Zugänglichkeit sind Carnapian-Modelle ein natürlicher Rahmen, um die Begriffe der metaphysischen Möglichkeit und Notwendigkeit zu explizieren:

Definition 4. ( Metaphysische Notwendigkeit □ _m ). Formel φ der propositionalen Modalsprache ist metaphysisch notwendig (symbolisch: □ _m φ) genau dann, wenn sie in karnapischen Modellen bei allen Wertungen zutrifft.

Beispiel. Mal sehen, ob die Formel (p ∨ ¬p) metaphysisch notwendig ist. Es gilt genau dann, wenn □(p ∨ ¬p) bezüglich karnapischer Modelle gültig ist. Erinnern Sie sich, dass Bewertungen einfach Erweiterungen von Wahrheitszuordnungen zu den in Formeln vorkommenden Satzbuchstaben sind. In diesem Fall haben wir nur einen propositionalen Buchstaben, nämlich 'p'. Es gibt also zwei mögliche Bewertungen: v ₁ = {(p, ⊤)} und v ₂ = {(p, ⊥)}, also prüfen wir, ob (p ∨ ¬p) in beiden gilt. Offensichtlich ist dies der Fall: v ₁ erfüllt p, also ist auch die gesamte Disjunktion erfüllt; und v ₂ erfüllt ¬p, also ist auch wieder die ganze Disjunktion erfüllt. Daher wissen wir, dass (p ∨ ¬p) metaphysisch notwendig ist. Die metaphysische Möglichkeit wird analog definiert:

Definition 5. ( Metaphysische Möglichkeit ◇ _m ). Die Formel φ der propositionalen Modalsprache ist metaphysisch möglich (symbolisch: ◇ _m φ), wenn sie in karnapischen Modellen bei irgendeiner Bewertung zutrifft.

Beispiel. Mal sehen, ob die Formel (p ∧ q) metaphysisch möglich ist. Es gilt genau dann, wenn ◇(p ∧ q) bezüglich karnapischer Modelle gültig ist. Da es in dieser Formel zwei propositionale Buchstaben gibt, nämlich. 'p' und 'q' gibt es 2 ² = 4 mögliche Wertungen: v ₁ = {(p, ⊥), (q, ⊥)}, v ₂ = {(p, ⊥), (q, ⊤) }, v ₃ = {(p, ⊤), (q, ⊥)}, v ₄ = {(p, ⊤), (q, ⊤)}. Nun gilt ◇(p ∧ q) nur für den Fall, dass es mindestens eine Bewertung unter diesen vier st p ≡ q ≡ ⊤ gibt. Gibt es eine solche Bewertung? Ja, _v4 . Daher wissen wir, dass (p ∧ q) metaphysisch möglich ist.

Wenn wir nun die Begriffe physikalischer, biologischer, epistemischer usw. Modalitäten explizieren wollen, müssen wir diese karnapischen Modelle irgendwie einschränken. Glücklicherweise wurde dies bereits von Kripke getan, der den Begriff der relativen Modalitäten eingeführt hat (in Carnapian-Modellen sind Modalitäten absolut, da wir sie in Bezug auf alle Modelle bewerten). Die Aussagensprache, die wir oben definiert haben (Definition 1), werden wir nun in Kripke-Modellen interpretieren, in der Hoffnung, nicht-metaphysische Modalitäten zu definieren.

Definition 6. ( Kripke-Modelle ) Ein Kripke- oder relationales modales Modell ist ein Tripel M = (W, R, V), wobei W eine Menge möglicher Welten ist, R eine binäre Zugänglichkeitsbeziehung auf W ist und V eine Bewertung von ist Formeln in der propositionalen Modalsprache und Welten in W zu Wahrheitswerten.

Damit können wir definieren, was es bedeutet, dass eine Formel φ der aussagenmodalen Sprache in einem Kripke-Modell in Bezug auf eine Bewertungswelt wahr ist:

Definition 7. ( Kripke-Semantik ) Die Wahrheit einer Formel φ der Aussagenmodalsprache in einem Kripke-Modell M = (W, R, V) bei einer Welt w ∈ W wird durch Induktion über die Komplexität von φ wie folgt definiert:

1. M, w |= p genau dann, wenn V(p, w) = 1;
2. M, w |= ¬φ genau dann, wenn ¬(M, w |= φ);
3. M, w |= φ ∧ ψ genau dann, wenn (M, w |= φ) und (M, w |= ψ);
4. M, w |= □φ genau dann, wenn ∀ _{w′ ∈ W} : wRw′ → M, w′ |= φ.

Diese letzte, vierte Klausel ist die entscheidende Unterscheidung zwischen Prä-Kripke- und Post-Kripke-Modallogik: Eine Formel ist notwendig, wenn sie in allen zugänglichen/verwandten Welten zu w gilt, nicht in allen Welten. Es ist dieser Begriff der relativen Zugänglichkeit, den wir nutzen können, um nicht-metaphysische Begriffe von Möglichkeit und Notwendigkeit zu definieren. Um konzentriert zu bleiben, definieren wir den Begriff der physischen Notwendigkeit/Möglichkeit gemäß Mauros Definition. Nehmen wir an, dass für jede gegebene Welt w eine Menge L(w) von physikalischen Gesetzen gegeben ist. Wir definieren den Begriff der physischen Zugänglichkeit R _p wie folgt:

Definition 8. ( Physikalische Zugänglichkeit R _p ) Die Welt v ist von der Welt w (symbolisch: wR _p v) physikalisch zugänglich, wenn L(w) und L(v) konsistent sind.

Beispiel. Sei w unsere Welt und L(w) unsere physikalischen Gesetze. Eine beliebige mögliche Welt v ist von unserer Welt (wR _p v) physikalisch zugänglich, nur für den Fall, dass die Gesetze der Physik L(v) bei v keines unserer L(w) verletzen.

Mit diesem Begriff der physischen Zugänglichkeit können wir die physische Notwendigkeit wie folgt definieren:

Definition 9. ( Physikalische Notwendigkeit □ _p ) Die Formel φ der Aussagenmodalsprache ist physikalisch notwendig (symbolisch: □ _p φ) bei einer Welt w in einem Kripke-Modell M genau dann, wenn sie in allen physikalisch zugänglichen Welten gilt, dh für alle v ∈ M st wR _p v, M, v |= p.

Analog können wir den Begriff der physikalischen Möglichkeit definieren:

Definition 10. ( Physikalische Möglichkeit ◇ _p ) Die Formel φ der Aussagenmodalsprache ist physikalisch möglich (symbolisch: ◇ _p φ) in einer Welt w in einem Kripke-Modell M genau dann, wenn sie in einer physikalisch zugänglichen Welt, dh für ein v ∈, wahr ist M st wR _p v, M, v |= p.

Eine ähnliche Erklärung kann für die anderen nicht-metaphysischen Modalitäten gemacht werden. Lediglich eine angemessene Definition von Zugänglichkeit (z. B. epistemisch, doxastisch etc.) muss hinzugefügt werden .

Ich sollte erwähnen, dass wir nicht auf Kripke-Modelle eingehen mussten, um nicht-metaphysische Modalitäten zu erklären; Wir hätten Beschränkungen zu Carnapian-Modellen hinzufügen können, indem wir Bewertungen direkt verwenden. In ähnlicher Weise könnten wir Carnapian-Modelle erhalten (etwas, das ihnen extrem nahe kommt), indem wir Kripke-Modelle mit Rs betrachten, die Äquivalenzbeziehungen sind (entsprechend S5); denn für solche Modelle wird der Begriff der Zugänglichkeit nutzlos, da jede Welt von jeder Welt aus zugänglich ist. Betrachten Sie es also als meine persönliche Präferenz, Carnaps Modelle für metaphysische Notwendigkeiten (im Gegensatz zu etwas wie S5) und Kripke-Modelle für nicht-metaphysische zu verwenden.

Hoffe das hilft. Anregungen/Korrekturen sind wie immer willkommen.

Siehe SEP- Eintrag über The Epistemology of Modality :

Φ ist genau dann metaphysisch möglich , wenn Φ in einer metaphysisch möglichen Welt wahr ist. Beispiel : Es ist metaphysisch möglich, dass sich ein physikalisches Teilchen schneller als die Lichtgeschwindigkeit bewegt.

Vergleichen mit :

Φ ist in Bezug auf die physikalischen Gesetze L genau dann physikalisch möglich , wenn Φ logisch konsistent mit L ist. Beispiel : Angesichts der tatsächlichen Gesetze der Physik ist es physikalisch möglich, dass ein Zug mit 150 Meilen pro Stunde fährt.