Was genau ist Regularisierung in QFT?

Die eindeutige Antwort auf Ihre Frage lautet: Es gibt keine mathematisch präzise, ​​allgemein akzeptierte Definition des Begriffs „Regularisierungsverfahren“ in der Störungsquantenfeldtheorie.

Stattdessen gibt es verschiedene Regularisierungsschemata mit ihren Vor- und Nachteilen.

Vielleicht finden Sie Kapitel B5: Divergenzen und Renormierung meiner Theoretischen Physik-FAQ unter http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html aufschlussreich. Dort versuche ich, die gemeinsamen Merkmale zu abstrahieren und allgemein zu erklären, was erforderlich ist, damit die Renormalisierung funktioniert. Der allgemeine Glaube ist, dass die Details des Regularisierungsschemas keine Rolle spielen, obwohl tatsächlich bekannt ist, dass einige Regularisierungsschemata manchmal scheinbar falsche Ergebnisse liefern.

Dies ist zu erwarten, da die ungeregelte Theorie schlecht definiert ist und auf unterschiedliche Weise gut definiert werden kann, ebenso wie einer divergierenden unendlichen Reihe unendlich viele verschiedene Bedeutungen gegeben werden können, je nachdem, wie Sie die Begriffe gruppieren, um sie zusammenzufassen.

Wenn es zu irgendeinem Zeitpunkt in der Zukunft eine positive Antwort auf Ihre Frage geben wird, dann höchstwahrscheinlich nur, wenn jemand eine logisch fundierte, nicht störungsfreie Definition der Klasse der renormierbaren Quantenfeldtheorien gefunden hat.

Wenn Sie andererseits eine mathematisch strenge Behandlung einiger bestimmter Regularisierungsschemata für einige bestimmte Theorien wünschen, sollten Sie die Bücher von (i) Salmhofer, Renormalization: an Introduction, Springer 1999, und (ii) Scharf, Finite lesen Quantenelektrodynamik: der kausale Ansatz, Springer 1995.

Ich werde eine dumme Antwort geben, aber ich denke, das ist das Beste, was wir tun können. Ein Regler ist jede Vorschrift zum Definieren des Pfadintegrals, so dass nach dem Hinzufügen einer Summe lokaler Gegenterme zu der Aktion und dem Zulassen, dass die physikalischen Kopplungen von der Renormierungsskala abhängen$\mu$, sind die Korrelationsfunktionen gleich denen, die durch Annahme einer Kontinuumsgrenze einer Gittertheorie erhalten werden. Dies ist ähnlich motiviert wie Ihre letzte Bearbeitung, außer dass wir wirklich ein Gitter anstelle eines euklidischen Impulsraum-Grenzwerts verwenden müssen, da letzterer die Eichinvarianz bricht.

Ich bin pessimistisch in Bezug auf die Existenz einer besseren Antwort, nur weil einige Regler einige nette Eigenschaften erfüllen (z. B. Einheitlichkeit, Symmetrien usw.), während andere dies nicht tun.

Wie Sie sagten, ist eine Regularisierung notwendig, um die Diagramme, die in der Störungstheorie vorkommen, überhaupt zu verstehen. Das Wort „Störung“ enthält bereits einen Hinweis auf die gesuchte Antwort. Wenn Sie versuchen, die Wechselwirkungstheorie zu verstehen$d\nu$durch Störung impliziert dies, dass jemand gestört wird, nämlich eine freie Theorie$d\mu$. Ich denke, Regularisierung ist ein Merkmal des Paares$d\nu,d\mu$statt$d\nu$allein. Nehmen Sie zum Beispiel das funktionale Maß$d\mu$entsprechend dem üblichen Freifeld

$$d\mu(\phi)=\frac{1}{Z}e^{-\frac{1}{2}\int \{(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\}} D\phi$$ und lass $d\nu(\phi)=\frac{1}{Z'}e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$wo $V$ist Ihr bevorzugtes Interaktionspotential, z. $$V(\phi)=g\int \phi^4\ .$$ Lassen $\rho(x)$ein Weichzeichner sein (nicht sicher, wie man das schreiben soll), dh eine glatte Funktion mit schnellem Abfall oder sogar kompakter Unterstützung um den Ursprung herum $\int \rho=1$. Lassen $\rho_r(x)=2^{-dr}\rho(2^{-r} x)$wo $d$ist die Dimension (der euklidischen Raumzeit) und $r\rightarrow -\infty$ist die UV-Grenze. Dann bezeichnet man durch $d\mu_r$das Gesetz von $\rho_r\ast\phi$mit $\phi$nach dem freien Wahrscheinlichkeitsmaß abgetastet $d\mu$, man hat die schwache Konvergenz von $d\mu_r$zu $d\mu$Wenn $r\rightarrow-\infty$. Insofern ist die Änderung, die wir vornehmen, eine sinnvolle Regularisierung der Maßnahme $d\mu$. Jetzt bei näherer Betrachtung $e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$macht keinen Sinn. Jedoch $e^{-V(\phi)}d\mu_r(\phi)$ist vollkommen in Ordnung. Das Spiel wird also versuchen, es zu erreichen $d\nu$als Maßgrenze $d\nu_r(\phi)=\frac{1}{Z_r}e^{-V_r(\phi)}d\mu_r(\phi)$Wenn $r\rightarrow -\infty$. Beachten Sie, dass ich mich geändert habe $V$hinein $V_r$weil die Renormierungstheorie uns sagt, dass wir Kopplungen wie lassen müssen $g$etc. hängen von der Cut-off ab $r$.

Gelingt einem diese Konstruktion der Interaktionstheorie$d\nu$, kann die Unabhängigkeit der Regularisierung so verstanden werden, dass das Ergebnis unabhängig von der Wahl des Mollifiers ist$\rho$(Wärmekern-Reularisierung oder Pauli-Villars sind Sonderfälle).

Im verwandten Kontext singulärer SPDEs hat Hairer mit seiner Theorie der Regelmäßigkeitsstrukturen (siehe auch diese pädagogische Übersicht ) kürzlich Fortschritte gemacht. Ein wichtiges Merkmal dieser Theorie ist, dass sie es erlaubt, ähnliche Aussagen zur Unabhängigkeit in Bezug auf die Wahl des Regularisierungsverfahrens zu beweisen. In dem Artikel „Ein zweitquantisierter Satz von Kolmogorov-Chentsov“ gebe ich auch ein allgemeines Verfahren zum Bilden von Produkten zufälliger Schwartz-Verteilungen dank Wilsons Operatorprodukterweiterung an. Auch dort muss man eine Regularisierung einführen und dann deren Beseitigung kontrollieren. Darüber hinaus ist das Endergebnis unabhängig von der Wahl der Regularisierung.

Beachten Sie, dass es keinen Grund gibt, die obigen Überlegungen auf gestörte Theorien zu beschränken$d\mu$die Gaußsche sind. In gewissem Sinne handelt es sich bei der konformen Störungstheorie um ähnliche Störungen um andere nichttriviale QFTs.

Natürlich ist im Fourier-Raum der Propagator für$d\mu_r$ist

$$\frac{|\widehat{\rho}(2^r p)|^2}{p^2+m^2}$$ aber ich bevorzuge die Definition in $x$Raum als Faltung, da dies auf eine lokale Durchschnittsbildung hinausläuft und ein kontinuierliches Analogon zu Kadanoffs Block-Spinning-Verfahren ist.

Übrigens ist der Begriff der Regularisierung nicht das ausschließliche Eigentum von QFT, er wird in der mathematischen Theorie der Verteilung häufig als Werkzeug zum Beweis verschiedener Theoreme und zum Umgang mit nichtlinearen Operationen verwendet. In der französischen Literatur zu diesem Thema von Laurent Schwartz und vielen anderen lautet das Schlagwort "troncature et regularisation", dh die Verwendung von IR- bzw. UV-Cutoffs.

Regularisierung ist ein Umschreiben Ihres Integrals, so dass Sie seine Divergenzen mit anderen Tricks behandeln können.

Zum Beispiel berechnen Sie in QFT eine gewisse Amplitude in einer bestimmten Ordnung in der Störungstheorie. Die Integrale, die Schleifendiagramme darstellen, divergieren. Das gebräuchlichste Regularisierungsverfahren wird als dimensionale Regularisierung bezeichnet, bei der Sie die Dimension Ihres Schleifenintegrals beispielsweise auf d = 4-c parametrisieren.

Es stellt sich heraus, dass Ihr Integral für einen großen Impuls divergent war und daher einen Zweigschnitt hatte. Nach der dimensionalen Regularisierung wurde die Zweigschnittdivergenz nun zu einem einfachen Pol, wenn c = 0 ist. Wie Sie wissen, ist es einfacher, mit einer einfachen Stange umzugehen als mit einem Astschnitt.

Nachdem Sie Ihr Integral besser handhabbar gemacht haben, können Sie die divergenten und endlichen Teile Ihres Ergebnisses renormieren und dann trennen. Sie verwenden schließlich andere Tricks, um den divergenten Teil zu entfernen, zum Beispiel fügen Sie Ihrem Lagrangian Gegenbegriffe hinzu.

Sie haben eine Theorie, dann berechnen Sie eine physikalische Größe, dann erhalten Sie eine Abweichung. Die Idee der "Regularisierung" besteht darin, eine andere Theorie zu definieren, die von einigen Parametern abhängt, wenn der Parameter einen Wert annimmt (z. B. d-> 4, Λ-> unendlich, Gitterlänge auf Null ...), dass eine andere Theorie tendiert zur ursprünglichen Theorie. Dieses Verfahren garantiert, dass Sie ein endliches Ergebnis erhalten, aber wenn der Parameter einen bestimmten Wert erreicht, stellen Sie die ursprüngliche Theorie wieder her.

Der folgende Schritt ist die "Renormalisierung". Wir verwenden die regularisierte Theorie, um einige grundlegende physikalische Größen zu berechnen, wie z. B. Masse, Streuamplitude. Alle anderen physikalischen Größen können durch diese Grundgröße ausgedrückt werden, das Wunder der „renormierbaren Theorie“ ist, dass dieser Ausdruck unabhängig von den Parametern ist.