Was ist das Axiom der Reduzierbarkeit? Und welche philosophischen Kontroversen hat es ausgelöst?

Um es in einfachen Worten auszudrücken, müssen wir das Projekt der Principia Mathematica, das Russell von Frege geerbt hat, in wenigen Worten beschreiben: die Rekonstruktion der Mathematik allein aus der Logik. Für einen breiteren Kontext siehe Was ist die philosophische Grundlage für die Unterscheidung von Logik und Mathematik?

Frege selbst konnte das Projekt nicht abschließen, weil Russell sein berühmtes Paradoxon entdeckte, bei dem eine Menge aller Mengen, die nicht zu sich selbst gehören, zu einem Widerspruch führt. Um einer solchen definitorischen Zirkularität oder Imprädikativität, wie Poincare es nannte, zuvorzukommen, führte Russell schließlich die sogenannte „verzweigte Hierarchie“ ein: Prädikate erster Ordnung können sich in ihren Definitionen nicht auf Gesamtheiten von Prädikaten beziehen, und Objekte erster Ordnung sind es diejenigen, die nur die Prädikate erster Ordnung erfüllen. Die Prädikate zweiter Ordnung können sich auf Sammlungen von Prädikaten erster Ordnung beziehen, aber nicht höher, wir bekommen dann Objekte zweiter Ordnung usw.

Man kann sehen, wie dies verhindern würde, dass so etwas wie „die kleinste positive ganze Zahl, die nicht in weniger als zwölf Wörtern definierbar ist“ zu einem Paradox führen würde. Leider verhindert es auch viele mathematische Standardkonstruktionen, zB die kleinste obere Schranke einer Menge. Zermelo wies darauf hin, dass die Forderung, dass alle Definitionen prädikativ sein müssen, den größten Teil der klassischen Analyse auslöschen würde. Darüber hinaus machte die Schichtung von ganzen Zahlen in Ordnungen die gewöhnlichen zahlentheoretischen Beziehungen zwischen ihnen zu einem Rätsel. Ursprünglich versuchte Russell zu zeigen, dass alle Ordnungen der Hierarchie oberhalb einer endlichen Ordnung tatsächlich identisch sind, die Hierarchie „kollabiert“ auf eine endliche Ebene. Wenn das der Fall wäre, würde es den heiligen Gral liefern: Mathematik in ihrer ursprünglichen imprädikativen Form, aber mit einer eingebauten strukturellen Garantie gegen die Paradoxien der Selbstreferenz. Das hat jedoch nicht geklappt, also hatte Russell die brillante Idee, daraus ein Axiom zu machen. Das Axiom der Reduzierbarkeit: Zu jedem Prädikat jeder Ordnung gibt es ein Prädikat erster Ordnung, das ihm äquivalent ist. Ergo sind alle ganzen Zahlen erster Ordnung. Problem gelöst.

Um Russell selbst aus einem anderen Zusammenhang zu zitieren, hatte diese Lösung alle „ Vorteile des Diebstahls gegenüber ehrlicher Mühe “. Russell hielt es einfach für eine Frage, „genügend“ Prädikate erster Ordnung zu haben, „ eine verallgemeinerte Form von Leibniz' Identität der Ununterscheidbaren “, eine Art Vollständigkeitsaxiom. Andere baten, anderer Meinung zu sein. Weyl zum Beispiel beschrieb es als

„ ein kühnes, fast phantastisches Axiom; es gibt wenig Rechtfertigung dafür in der wirklichen Welt, in der wir leben, und überhaupt keine in den Beweisen, auf die unser Verstand seine Konstruktionen stützt “.

Jedenfalls sah es nicht nach einem selbstverständlichen „Denkgesetz“ der reinen Logik aus, auf dem die Mathematik aufgebaut werden sollte. 1919 gab Russell selbst dies in Introduction to Mathematical Philosophy zu :

„ Ich sehe keinen Grund zu der Annahme, dass das Axiom der Reduzierbarkeit logisch notwendig ist, was gemeint wäre, wenn man sagen würde, dass es in allen möglichen Welten gilt. Die Aufnahme dieses Axioms in ein System der Logik ist daher ein Mangel. .. ".

Später wiesen Chestwick und Ramsey darauf hin, dass mit dem Axiom der Reduzierbarkeit die verzweigte Hierarchie sinnlos wird, wir genauso gut unprädikative Definitionen zulassen und auf das Beste hoffen könnten.

Am Ende war das Axiom ein Glied in einer langen Kette, die nach Gödel und Quine zur Abkehr vom Logizismus führte, siehe Friedmans Logical Truth and Analyticity in Carnaps „Logical Syntax of Language“ für dieses Kapitel. Aber es hatte ein langes Nachleben in der mathematischen Logik, nämlich in der Beweistheorie. Gödel erweiterte die verzweigte Hierarchie von endlichen zu transfiniten Ordnungen und konnte nachweisen , dass sie auf der Ebene ω1 kollabiert. Dies führte zu seinem konstruierbaren Universum und bewies die Konsistenz der Kontinuumshypothese. Die Arbeiten von Takeuti, Schütte, Tait und Prawitz zeigten, dass das Axiom der Reduzierbarkeit die Konsistenz der Arithmetik zweiter Ordnung impliziert, eine sehr starke formale Theorie, und trotz ihrer kühnen und fantastischen Umarmung der Zirkularität wurden dort noch keine Widersprüche gefunden.