Können 2 logische Schlussfolgerungen ausgehend von 2 unterschiedlichen und unabhängigen Annahmen zu 2 widersprüchlichen Schlussfolgerungen führen?

Die Antwort auf Ihre Frage lautet: "Es kommt darauf an". Unterschiedliche axiomatische Systeme können zu unterschiedlichen Schlussfolgerungen führen. Die Wahrheit einer Aussage S kann nur innerhalb eines gegebenen Modells als wahr oder falsch bezeichnet werden.

Dieses Problem ist nicht wirklich ein Problem, wenn Sie davon sprechen, in zwei verschiedenen axiomatischen Systemen zu einer Schlussfolgerung zu gelangen. Wir arbeiten normalerweise immer nur in einem axiomatischen System, und es gibt normalerweise eine Art Rechtfertigung für die Verwendung dieses Systems. Und in diesem Fall wären H1 und H2 in der Frage des OP nicht unabhängig, wie Conifold betont.

Es ist jedoch auch möglich, dass ein einzelnes Axiomensystem zu widersprüchlichen Ergebnissen führt. Ein solches System wird als „inkonsistent“ bezeichnet. Wir arbeiten im Allgemeinen nicht mit solchen Systemen und es wird normalerweise angenommen, dass die Realität selbst logisch konsistent ist, aber wir müssen diese Annahme nicht treffen. Es gibt ein ganzes Studiengebiet, das sich mit widersprüchlichen logischen Systemen beschäftigt . Sie haben ihre Vorteile. Beispielsweise gibt es in einem konsistenten logischen System Theoreme, die niemals als wahr oder falsch bewiesen werden können, während wir in einem inkonsistenten logischen System immer feststellen können, ob ein Theorem wahr oder falsch ist.

Darüber hinaus gilt Conifolds Argument nicht in einem logisch inkonsistenten System. Reductio ad absurdum, oder Beweis durch Widerspruch, ist eine Form des gültigen Beweises, insbesondere weil wir davon ausgegangen sind, dass unser logisches System nur zu wahren oder falschen Aussagen führt und dass eine Aussage nicht sowohl wahr als auch falsch sein kann.

Der von mir bereitgestellte Link diskutiert dieses Konzept ausführlicher und erklärt auch einige Gründe, warum wir möglicherweise nicht sicher sind, dass unsere Realität logisch konsistent ist, und auch, wie wir ein aktuelles Axiomatiksystem nehmen und es so ergänzen können, dass es nützlich wird aber nicht konsequent.

Können 2 logische Schlussfolgerungen ausgehend von 2 unterschiedlichen und unabhängigen Annahmen zu 2 widersprüchlichen Schlussfolgerungen führen?

Ja. Wenn die Annahmen H1 und H2 zufällig miteinander in Beziehung stehen, sind sie in dem Sinne voneinander unabhängig, dass eine Annahme nichts über die andere aussagt. Aber in einer zufälligen Beziehung kann es eine Korrelation ohne Kausalität geben, und zwei Faktoren können immer noch eine Korrelation von minus eins (-1) haben.

Das heißt, in dieser zufälligen Beziehung sind die beiden gemessenen Faktoren niemals zusammen aufgetreten. In allen Fällen war, wenn ein Faktor vorhanden war, der andere nicht vorhanden. Wenn also die Korrelation von H1 und H2 (-1) ist, können die beiden Annahmen unabhängig sein und dennoch widersprüchliche Ergebnisse liefern.

Ich denke, die Antwort auf Ihre Frage ist ja.

Nehmen Sie das folgende Beispiel: H1={A} und H2={A -> B, nicht B}.

Jetzt sind H1 und H2 unabhängig, aber ihre Vereinigung ist widersprüchlich.

edit: Hm, ich habe deine Frage gerade noch einmal gelesen und ich glaube, ich habe sie falsch verstanden.

Bearbeiten Nr. 2: Vielen Dank an Conifold, dass Sie auf meinen dummen Fehler hingewiesen haben. Wenn also die Frage lautet "Ist es möglich, dass die Vereinigung von C1 und C2 widersprüchlich ist", lautet die Antwort meiner Meinung nach Ja. (Hoffe diesmal liege ich nicht falsch).

S ist ein konstantes Symbol, F, G, H sind unäre Relationen.

H1={F(S), F(x)&G(x)->J(x)}

H2={G(S), nicht J(S)}

C1=H1, C2=H2

Betrachten Sie eine wissenschaftliche Theorie und ein Experiment. Die Theorie beinhaltet ein mathematisches Modell (ein Axiomensystem, das wir für nützlich halten). Beim Versuchsaufbau treffen wir bestimmte Annahmen und leiten daraus ein numerisches Ergebnis ab. Nach der Durchführung des Experiments verwenden wir das Ergebnis des Experiments als Axiom, zusammen mit Axiomen zur Interpretation solcher Experimente, und leiten ein anderes Ergebnis ab. (Dies ist wahrscheinlich eine relativ einfache Ableitung.) Die beiden Ableitungen müssen nicht unbedingt gemeinsame Axiome haben, da es durchaus möglich ist, dass keine der Annahmen des Modells erforderlich sind, um das Ergebnis zu ermitteln.

Angenommen, wir senden GPS-Satelliten hoch, haben aber noch keine Allgemeine Relativitätstheorie entwickelt. Wir würden eine Reihe von Annahmen über den Zeitablauf des Satelliten nehmen und sie formal als Axiome behandeln, die durch die spezielle Relativitätstheorie laufen, und zu einer Anpassung der Atomuhr gelangen, um die richtige Zeit zu halten. Jetzt bringen wir den Satelliten in eine kreisförmige Umlaufbahn und beobachten die von ihm gesendeten Zeitsignale. Wir kümmern uns nicht um die Orbitalmechanik, sondern überwachen lediglich die Zeitsignale jedes Mal, wenn es sich an einem bestimmten Punkt seiner Umlaufbahn relativ zur Überwachungsstation befindet.