Was ist der Unterschied (falls vorhanden) zwischen den Konzepten natürlicher Zahlen und endlicher Kardinalzahlen?

Die Definition natürlicher Zahlen aus Wikipedia:

In der Mathematik werden die natürlichen Zahlen zum Zählen (wie in „es liegen sechs Münzen auf dem Tisch“) und Ordnen (wie in „das ist die drittgrößte Stadt des Landes“) verwendet.

Und die Kardinalzahlen:

In der Mathematik sind Kardinalzahlen oder kurz Kardinalzahlen eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen, die zur Messung der Kardinalität (Größe) von Mengen verwendet werden. Die Kardinalität einer endlichen Menge ist eine natürliche Zahl: die Anzahl der Elemente in der Menge.

Basierend auf diesen Definitionen denke ich, dass endliche Kardinalzahlen natürlichen Zahlen entsprechen ("Die Kardinalität einer endlichen Menge ist eine natürliche Zahl: die Anzahl der Elemente in der Menge."). Aber mir ist aufgefallen, dass Philosophen dazu neigen, zwischen diesen beiden Konzepten zu unterscheiden (siehe zum Beispiel Giaquintos Artikel Knowing Numbers ). Beachten Sie, dass ich mich nicht auf Kardinäle im Allgemeinen beziehe, sondern nur auf endliche Kardinäle, die nur Größen endlicher Mengen sind. Sollen die natürlichen Zahlen nicht auch Größen beschreiben? Wenn nicht, was unterscheidet diese beiden Ideen? Ist das eine Teil des anderen? Sind sie komplett anders?

Mir ist bewusst, dass die Antwort auf meine Frage von der Person abhängt, die sie beantwortet. Beispielsweise könnten Mathematiker, Philosophen und "normale" Menschen diese Konzepte unterschiedlich verstehen. Da ich hier frage, interessiere ich mich natürlich am meisten für die Sichtweise der Philosophen, aber alle Sichtweisen sind willkommen.

Sie sind gleich; Das Interesse an Kardinalzahlen kommt von der Tatsache, dass die Definition für unendliche Mengen funktioniert und dann haben Sie „unendliche Zahlen“ oder die unendlichen Kardinalzahlen.
@MoziburUllah: Vielen Dank für Ihre Antwort, aber ich denke, dass zumindest im Fall eines Artikels, den ich verlinkt habe, diese beiden Konzepte nicht gleich behandelt werden. Zum Beispiel ein Zitat aus einem Artikel: „Selbst wenn mein Argument für die Möglichkeit einer naturalistischen Darstellung der Kenntnis von Kardinälen akzeptiert wird, könnte man protestieren, dass uns immer noch ein Parallelfall für die Objekte der Zahlentheorie fehlt. Diese Objekte sind keine festgelegten Größen ; sie sind, wenn überhaupt, Positionen in der Struktur der natürlichen Zahlen." Ich kann mich irren, aber spricht der Autor nicht von natürlichen Zahlen als etwas, das sich von den zuvor betrachteten Kardinalzahlen unterscheidet?
Ich stimme zu, dass er diese in dem Artikel nicht gleich behandelt - ich habe lediglich Ihre Frage beantwortet; er scheint seine Diskussion weitgehend darauf zu konzentrieren, was es bedeutet, eine Zahl zu kennen; zum Beispiel fragt er: "Haben wir Bekanntschaft mit Kardinalzahlen größer als 3?" und 'was ist mit der Kenntnis viel größerer Zahlen?'; Ich bin mir nicht sicher, was er mit „Mengengrößen“ meint, aber der folgende Satz ist aufschlussreich: „Reine Mathematiker, die in der Zahlentheorie arbeiten, befassen sich nicht mit endlichen Kardinalzahlen im Gegensatz zu endlichen Ordnungszahlen und den unzähligen anderen Systemen, die diese Struktur veranschaulichen … '
... sie beschäftigen sich mit der Struktur selbst'; das klingt ungefähr richtig; Professionelle Zahlentheoretiker beschäftigen sich im Allgemeinen nicht mit der Mengenlehre – sie überlassen das den professionellen Mengentheoretikern, und in den Büchern, die sie schreiben, bieten sie oft einen Standard-Haftungsausschluss an, der besagt, dass sie sich nicht mit Grundlagen und Annahmen befassen werden Sätze naiv zu verstehen.
Siehe noch einmal den Wiki-Eintrag: "Die natürlichen Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen (wie in "es liegen sechs Münzen auf dem Tisch") und zum Ordnen (wie in "dies ist die drittgrößte Stadt des Landes") verwendet werden." Die moderne Mengenlehre verallgemeinert das Konzept des "Zählaspekts" der Zahl auf Kardinalzahlen und den "Ordnungsaspekt" auf Ordnungszahlen .
Für endliche Mengen Kardinal=Ordinal=natürlich. Für unendliche Mengen Kardinalzahl ≠ Ordinalzahl.
@MauroALLEGRANZA Ich habe jedoch einige Probleme mit dieser Definition, denn für mich ist Zahl nicht etwas, das zum Zählen verwendet wird, es IST eine Zählung. Wenn nein, was ist die Antwort auf die Frage „wie viele?“? Ist es nicht eine Zahl? Andererseits ist Third für mich nicht wirklich eine Zahl, die Idee hinter diesem Wort scheint etwas anderes zu sein. Es mag ein Sprachproblem sein (offensichtlich ist Englisch nicht meine Muttersprache), aber für mich sind Zahlen eher Zählwerte, die auch zum Ordnen von Dingen verwendet werden können, nicht Dinge, die zum Zählen und Ordnen verwendet werden können.
Nicht klar ... wir können es vereinfachen, wenn wir von "Zahlenwörtern" sprechen. Wir haben zwei unterschiedliche Kontexte: „wir haben drei Eier“ ​​und „wir wohnen im dritten Haus“. Die Verwendungen sind unterschiedlich: Wenn wir die Eier „ummischen“, sind es immer noch drei; Wenn wir die Häuser neu mischen, wohnen wir nicht mehr im dritten.
@MauroALLEGRANZA Ich denke, was ich wirklich sagen möchte, ist: Wenn Sie eine durchschnittliche Person fragen, ob drei eine Zahl ist, wird sie ja sagen. Wenn Sie sie fragen, ob Third eine Zahl ist, werden sie (wahrscheinlich) nein sagen. Das bedeutet nicht, dass Zahlen nicht verwendet werden können, um Dinge zu ordnen (das sind sie mit Sicherheit), aber das sind sie nicht.

Antworten (2)

Es ist fair zu sagen, dass die Konzepte in der modernen mathematischen Praxis "äquivalent" sind. Sie haben jedoch unterschiedliche Geschichten und unterschiedliche Bedeutungsobertöne. Der Begriff der natürlichen oder Zählzahlen geht (offiziell) auf die Pythagoreer und inoffiziell auf prähistorische Zeiten zurück, Ishango-Knochen , ein Zählartefakt, ist 20.000 Jahre alt. Wir haben es mit einem losen Konzept zu tun, das nach Jahrhunderten praktischer und dann abstrakterer Verwendung aus der natürlichen Sprache in die Mathematik importiert wurde. Während Kardinäle in gewissem Sinne natürliche Zahlen verallgemeinern, sind sie in einem anderen Sinne ein viel engerer, technischer und kontextgebundener Begriff.

Der Begriff "Kardinalzahl" oder "Kardinalität" (sogar endlich) ist viel neuer, er ist eine Möglichkeit, das alltägliche Konzept für den mathematischen Gebrauch zu präzisieren, das von der aktuellen Formalisierung der Mathematik bevorzugt wird. Der Begriff wurde von Grammatikern in den 1590er Jahren eingeführt , um zwischen Zählziffern (eins, zwei, drei) und Ordnungsziffern (erste, zweite, dritte), sogenannte Ordnungszahlen , zu unterscheiden. Aber ihr modernes mathematisches Leben beginnt Ende des 19. Jahrhunderts in Cantors Mengenlehre, die die Unterscheidung importierte und sie noch technischer machte. Cantor ersetzte den elementaren Begriff einer Zahl durch einen abgeleiteten und abstrakten, der auf Mengen basiert (was es wert ist, die informelle Zählkonzeption ist näher an seinen Ordinalzahlen als an seinen Kardinalzahlen, die Begriffe sind im endlichen Fall gleichwertig, aber divergieren dramatisch für unendlich). Zwei Mengen sind gleichberechtigt, wenn sie in eine bijektive Entsprechung gebracht werden können (das nennt man jetzt Humesches Prinzip), und die Kardinalzahl einer Menge ist so etwas wie die Äquivalenzklasse aller zu ihr äquivalenten Mengen, wollte Cantor sagen. Es stellte sich heraus, dass dies technische Probleme hatte, und jetzt werden "konkretere" Definitionen bevorzugt, die es mit einer von sehr speziell generierten Mengen wie ∅, {∅}, {{∅}}, ... oder ∅, {∅ identifizieren },{∅,{∅}},... , siehe Mengentheoretische Definition natürlicher Zahlen .

Diese mehrfache Realisierbarkeit ist bereits ein Problem für Philosophen, wir würden gerne glauben, dass es ein einzigartiges Konzept von "Zwei" gibt, ausgedrückt als 2 oder {{∅}} oder {∅,{∅}}, aber die Mengentheorie kann nur liefern uns mit einem willkürlich gewählten Token dafür. Dies führt zur Popularität des mathematischen Strukturalismus , der philosophischen Position, dass es nicht was istes ist das, was 2 zu 2 macht, aber nur seinen Platz in einer Struktur, in diesem Fall der Struktur der Zählzahlenreihe, die von den Peano-Axiomen beschrieben wird. Die Peano-Arithmetik zeigt bereits, dass natürliche Zahlen im Gegensatz zu Kardinalzahlen aus der Mengenlehre herausgehoben werden können, da sie nicht von ihr abhängt. Auch die Kategorientheorie nicht, die ihre eigenen Versionen natürlicher Zahlen hat. Selbst innerhalb der Mengenlehre kann der Begriff der "endlichen Kardinalzahl" von dem einer natürlichen Zahl abweichen, wenn wir mit den Axiomen herumspielen. Zum Beispiel definierte Dedekind "endliche Kardinäle" als Äquivalente jener Mengen, die nicht in bijektive Übereinstimmung mit ihren eigentlichen Teilmengen gebracht werden können. Nun, Russell und Whitehead zeigten 1912, dass endliche Dedekind-Kardinalzahlen unendlich sein können(nach üblicher Auffassung) in der Mengenlehre ohne Wahlaxiom, sogenannte ZF, oder andere alternative Mengenlehren. Intuitiv liegt dies daran, dass diese Modelle der Mengenlehre nicht genügend Bijektionen haben, um den Weg der Unendlichkeit nach Dedekind zu "erkennen".

Cantors Mengenlehre und sogar Humes Prinzip, auf dem sie basiert, waren historisch umstritten und nicht alternativlos, siehe Measuring the size of infinite collections of natural numbers: Was Cantor's theory of infinite number unvermeidlich? von Mancosu . Wenn Mathematiker eines Tages beschließen, dass sie die kategoriale oder eine andere Formalisierung der Mathematik der mengentheoretischen vorziehen, mag der Begriff der Kardinalzahl verschwinden, aber wir können sicher sein, dass die natürlichen Zahlen immer noch existieren werden.

Wenn zwei verschiedene Namen verwendet werden, um etwas zu beschreiben, das ähnlich erscheint, ist es nützlich, die Unterscheidungen beizubehalten, da sie zu interessanten Schlussfolgerungen führen und auch zu Möglichkeiten führen können, Abweichungen von den Schlussfolgerungen zu rechtfertigen.

Nehmen Sie die natürliche Zahl 3. Wir können 3 zu einigen anderen natürlichen Zahlen addieren und erhalten ein Ergebnis, das wieder eine natürliche Zahl ist. Die Addition hängt von nichts anderem als diesen natürlichen Zahlen ab.

Nehmen Sie die Kardinalzahl 3 als Eigenschaft von beispielsweise der Anzahl der Stühle um einen bestimmten Tisch. Nennen Sie dies die HowMany-Eigenschaft. Obwohl diese 3 als Objekt in einer Reihe von Kardinalzahlen angesehen werden könnte, ist sie in diesem speziellen Beispiel auch der Wert der HowMany-Eigenschaft eines anderen Objekts, der Stühle um einen Tisch. Können wir diese 3 mit jeder anderen Kardinalzahl addieren oder multiplizieren, wie wir es oben mit den natürlichen Zahlen getan haben? Nein. Um den Wert der HowMany-Eigenschaft von Stühlen um den Tisch herum zu ändern, müssen wir die Anzahl der Stühle um den Tisch herum ändern.

In Marcus Giaquintos „Knowing Numbers“ will er zeigen, dass wir keine übernatürliche Art brauchen, Zahlen zu verstehen, indem er zeigt, dass wir sie auf natürliche Weise erkennen können. Ich kann mir vorstellen, dass dies nicht einfach ist, aber ein einfacher Ausgangspunkt wären Kardinalzahlen, die als Werte von HowMany-Eigenschaften natürlicher Objekte angesehen werden.

Hat Giaquinto recht? Auf die Unterscheidungen zu achten, die er macht, ist hilfreich, um auf die eine oder andere Weise zu einer Schlussfolgerung zu gelangen.

Was ist der Unterschied (falls vorhanden) zwischen den Konzepten natürlicher Zahlen und endlicher Kardinalzahlen?
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