Was ist der Unterschied zwischen einem Zustandsvektor und einem Basisvektor in der Quantenmechanik?

Basisvektoren sind ein spezieller Satz von Vektoren, die zwei Eigenschaften haben:

1. Die Vektoren in der Menge sind linear unabhängig (was bedeutet, dass Sie einen Vektor nicht als Linearkombination anderer Vektoren in der Menge schreiben können)
2. Jeder Vektor im Vektorraum kann als Linearkombination dieser Basisvektoren geschrieben werden

Basisvektoren werden in der linearen Algebra häufig verwendet und sind nicht nur in der Quantenmechanik zu finden.

Wenn wir anfangen, in QM über Zustandsvektoren zu sprechen, wie z$|\psi\rangle$, können wir diesen Zustandsvektor in Form einer beliebigen Basis ausdrücken. Mit anderen Worten, für eine diskrete Basis:

Wo$|a_i\rangle$stellt den Basisvektor dar$i$, Und$c_i$ist ein Koeffizient, der sagt "wie viel von$|a_i\rangle$ist in$|\psi\rangle$

Nun könnte es das sein$|\psi\rangle$gleich einem unserer Basisvektoren ist, sagen wir$|a_j\rangle$, so dass$c_i=\delta_{i,j}$Und

Wir könnten dieses Beispiel sogar auf einer anderen Basis ausdrücken:

Um die Frage zu beantworten: Basisvektoren sind nur ein spezieller Satz von Vektoren mit den beiden oben aufgeführten Eigenschaften. Jeder Basisvektor könnte ein Zustandsvektor sein, wenn sich das System rein in diesem Zustand befindet, aber es muss nicht so sein. Sie können das Gesamtbild erhalten, indem Sie allgemeiner sind: Zustandsvektoren können als lineare Kombinationen von Basisvektoren ausgedrückt werden, unabhängig davon, mit welcher Basis wir arbeiten möchten . Dies deckt dann den Fall ab, dass unser Zustandsvektor einer unserer Basisvektoren ist, da dies immer noch der Fall einer Linearkombination ist. Die Wahl der Basis ist jedoch völlig subjektiv (obwohl einige Basen für bestimmte Probleme besser zu verwenden sind als andere).