Woher kommt die imaginäre Einheit iii bei der Darstellung des Spinvektors entlang der y-Achse?

Das Buch von Leonard Susskind ist ein sehr einführendes Buch und rechtfertigt daher nur halb, warum die imaginäre Einheit dort vorkommt. Eigentlich kommt es von einem "Workaround", dem Ausdrücken$x$Und$y$Komponenten des Spindrehimpulses ist nicht direkt. Auf die gleiche Weise werde ich dann meine Antwort geben. Sie wissen, dass die Wahrscheinlichkeit des Spin-Ups gemessen wird, wenn sich das System im Zustand befindet$\vert o \rangle$wird von gegeben

$$\mathcal{P}_u(\vert o \rangle)=\langle o\vert u\rangle\langle u\vert o\rangle=\frac{1}{2}$$ und dasselbe gilt für Spin-Down. Außerdem wird in dem Buch angegeben, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten eins sein sollte. Für die$x$Achse hat der Autor die Komponenten ausgewählt$\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. Für die$y$Achse, er macht die gleiche Argumentation für die$1/2$Wahrscheinlichkeit, aber beachte das, wenn du dich entscheidest$\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$Um die Wahrscheinlichkeitsbedingungen erneut zu erfüllen, erhalten Sie am Ende den gleichen Zustand wie für die$x$Achse, daher ist dies nicht gültig. Wenn Sie wie das Buch denken, müssen Sie einen anderen Weg finden, die Zustände auszudrücken$\vert o \rangle$Und$\vert i \rangle$damit diese Wahrscheinlichkeitsbeziehungen gelten. Es gibt keinen anderen Weg, dies zu tun, als die imaginäre Einheit zu verwenden, denn sie hat eine einheitliche Größe, und die Wahrscheinlichkeit, die mit der Komponente verbunden ist, die die imaginäre Einheit hat, wäre $$\mathcal{P}=\frac{i}{\sqrt{2}}\left(\frac{-i}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}$$ Beachten Sie, dass Sie die imaginäre Einheit tatsächlich an der gewünschten Position auswählen und sogar verwenden können$x$Achszustand.