Was ist die Funktion von Force FFF und Work WWW?

Die Kraft (auf ein einzelnes Punktteilchen) ist ebenfalls einfach eine Funktion:

$$\begin{cases} \mathbf F: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3\\ t \longmapsto \mathbf F(t) \end{cases}$$ Mit anderen Worten,$\mathbf F$nimmt die Zeit als Input und gibt die Kraft, die zu diesem Zeitpunkt auf das Teilchen ausgeübt wird, als Output aus.

Ich nehme jedoch an, dass Ihre Verwirrung von der Definition von Arbeit herrührt, die normalerweise wie folgt angegeben wird:

$$W_{A\rightarrow B} \equiv \int_{C_{AB}}d\mathbf r \cdot \mathbf F(\mathbf r)$$ Wo$C_{AB}$ist der Weg, den das Teilchen nimmt, während es vom Punkt ausgeht$A$darauf hinweisen$B$. Mit ein wenig Spitzfindigkeit kann diese Notation jedoch etwas irreführend sein. Ich würde mich dafür entscheiden, die Definition von Arbeit stattdessen so zu schreiben: $$W_{A\rightarrow B} \equiv \int_{t_A}^{t_B}d\mathbf r(t) \cdot \mathbf F(t) \equiv \int_{t_A}^{t_B}dt \ \mathbf v(t) \cdot \mathbf F(t) \qquad (*)$$ wo ich verwendet habe$d\mathbf r(t) = \frac{d\mathbf r}{dt} \ dt = \mathbf v(t) dt$. Wenn Sie sich fragen, warum Menschen manchmal schreiben$\mathbf F(\mathbf r)$, siehe den letzten Teil meiner Antwort.

Dies impliziert, dass Arbeit als mathematisches Objekt als Funktion betrachtet werden kann , die die beiden Funktionen übernimmt$\mathbf v: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3$Und$\mathbf F: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3$, und gibt eine reelle Zahl zurück. Wenn ich also den Satz von "ausreichend brav" (sorry, das ist so streng, wie ich es bekommen kann ;)) nenne, funktioniert es ab$\mathbb R$Zu$\mathbb R^3$einfach$\mathfrak F$, kann das Arbeitsfunktional charakterisiert werden als:

$$\begin{cases} W: \mathfrak F \times \mathfrak F \rightarrow \mathbb R\\ (\mathbf v, \mathbf F) \longmapsto W[\mathbf v,\mathbf F] \end{cases}$$ Mit anderen Worten, das Arbeitsfunktional nimmt die Geschwindigkeitsfunktion oder äquivalent die Position (wenn man von einer konstanten Verschiebung absieht) sowie die Kraftfunktion und spuckt eine Zahl aus.

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Sie fragen sich vielleicht, warum die Kraft normalerweise als geschrieben wird$\mathbf F(\mathbf r)$, anstatt$\mathbf F(t)$.Dies liegt daran, dass die Leute meistens an ein Kraftfeld denken , das technisch gesehen ein anderes mathematisches Objekt ist:

$$\begin{cases} \mathbf f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3\\ \mathbf r \longmapsto \mathbf f(\mathbf r) \end{cases}$$ Ein Kraftfeld nimmt einen Positionsvektor an$\mathbf r$, und spuckt die Kraft aus$\mathbf f$auf ein Teilchen (mit einer bestimmten Masse usw.) ausgeübt wird, wenn es darauf sitzt $\mathbf r$. Zum Beispiel ein Gravitationskraftfeld$\mathbf f(\mathbf r) = GMm \ {\mathbf r}/{|\mathbf r|^3}$sagt Ihnen, dass, wenn Sie ein Masseteilchen hätten$m$an Stelle$\mathbf r$, wäre die Kraft auf dieses Teilchen$\mathbf f(\mathbf r)$.

Jetzt die Kraft$\mathbf F: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3$im Fall eines Kraftfeldes ist einfach eine Zusammensetzung der beiden Funktionen$\mathbf f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$Und$\mathbf r: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3$. Mit anderen Worten, die Kraft zur Zeit$t$ist einfach das Kraftfeld, das an der Position ausgewertet wird, an der sich das Teilchen gerade befindet. So:

$$\mathbf F(t) \equiv \mathbf f(\mathbf r(t))$$ Verwenden Sie dies für die Definition von Arbeit$(*)$du erhältst: $$W_{A \rightarrow B} = \int_{t_A}^{t_B} d\mathbf r(t) \cdot \mathbf f(\mathbf r(t))$$ das meinen die Leute eigentlich$W_{A\rightarrow B} \equiv \int_{C_{AB}}d\mathbf r \cdot \mathbf F(\mathbf r)$.

Denken Sie daran, dass dies meist nur mathematische (sowie notatorische) Spitzfindigkeiten sind. Sie wirken sich nicht wirklich auf die eigentliche Physik des Problems aus :).

Antwort auf Kommentar:

So wie ich von einem positionsabhängigen Kraftfeld gesprochen habe$\mathbf f(\mathbf r)$, können Sie ein allgemeineres zeit-, geschwindigkeits- und positionsabhängiges Kraftfeld haben$\mathbf f(\mathbf r,\mathbf v,t)$.

Betrachten Sie beispielsweise eine 1D-Feder mit geschwindigkeitsabhängiger Reibung und einer zeitabhängigen Federkonstante$k(t)$. Die Kraft, die diese Feder auf ein Teilchen ausübt, ist einfach$-k(t) x-\gamma v$. Sie können also ein verallgemeinertes Kraftfeld definieren$f$als$f(x,v,t) \equiv -k(t) x-\gamma v$($\gamma$ist die Reibungskonstante).

Allgemeiner können Sie ein verallgemeinertes Kraftfeld haben$\mathbf f$:

$$\begin{cases} \mathbf f: \mathbb R^3\times\mathbb R^3 \times \mathbb R \ \rightarrow \mathbb R^3\\ (\mathbf r, \mathbf v, t) \longmapsto \mathbf f(\mathbf r,\mathbf v,t) \end{cases}$$ Auch hier wäre die Kraft, die ein Teilchen in einem solchen Kraftfeld erfährt, eine Zusammensetzung von$\mathbf f$mit den Funktionen$\mathbf r$Und$\mathbf v$; dh $$\mathbf F(t) \equiv \mathbf f(\mathbf r(t),\mathbf v(t),t)$$ Die Kraft, die das Teilchen erfährt, ist also sowohl explizit zeitabhängig als auch durch die Änderung der Teilchenposition und -geschwindigkeit variabel.

Die Arbeit für dieses Kraftfeld am Teilchen wäre einfach:

$$W_{A \rightarrow B} = \int_{t_A}^{t_B} d\mathbf r(t) \cdot \mathbf F(t) = \int_{t_A}^{t_B} d\mathbf r(t) \cdot \mathbf f(\mathbf r(t),\mathbf v(t),t)$$

Beachten Sie, dass Sie sich im Prinzip sogar immer kompliziertere Kraftfelder vorstellen können, die Grundidee ist jedoch dieselbe.

Wie in den Kommentaren angegeben, hängt es letztendlich von der Art des Systems ab. Das von Ihnen vorgeschlagene System ist also ein dreidimensionaler Raum, der durch die Zeit parametrisiert ist. Kraft ist auch ein Vektor, daher hat sie dieselbe Definition wie die von Ihnen bereitgestellten Vektoren. Wenn Sie sich mit der Newtonschen Mechanik befassen, können Sie Newtons zweites Gesetz anwenden:$\vec{F} = m \vec{a}$. Arbeit ist ganz einfach das innere Produkt aus Kraft und Weg,

$$W = \vec{F} \cdot \vec{x}$$ .

Allgemeiner gesagt ist die Arbeit das Pfadintegral über dieses innere Produkt entlang einer Kurve,$C$,

$$W = \int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F} \cdot \vec{v} dt$$

Sie können also sehen, dass die Arbeit ein Scaler ist.