Was ist die richtige Interpretation des Aufhebens von Infinitesimalen? [Duplikat]

In den meisten Lehrbüchern der Physik habe ich diese Demonstration des Satzes über die kinetische Energie der Arbeit gefunden:

$$\begin{align} W &= \int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x)\ dx \tag{1}\\ &= \int_{x_{1}}^{x_{2}} m\cdot a\ dx \tag{2}\\ &= m\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dv}{dt}\ dx \tag{3}\\ &= m\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}\ dx \tag{4}\\ &= m\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dv}{dx} \cdot v \ dx \tag{5}\\ &= m\int_{v_{1}}^{v_{2}} v \ dv \tag{6}\\ &= \frac{1}{2}mv_{2}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2} \tag{7} \end{align}$$

Ich verstehe nicht ganz, wie sie von (5) nach (6) gehen. Es scheint, dass sie das dx aufheben, als ob sie algebraische Elemente wären. Das weiß ich aus der Rechnung$\int f(g(x))\cdot g'(x)\ dx = F(g(x))$, Wo$f(x)=F'(x)$weil wir die Kettenregel umgekehrt anwenden. Und dabei kann uns die Notation von Leibniz helfen. Wenn wir definieren$u=g(x)$und das "Differenzial"$du=g'(x)dx$das frühere Integral kehrt ein$\int f(u)\ du = F(u)$. Aber du und dx existieren nicht, sie sind nur eine Notation, die wir verwenden, um leichter zu erkennen, dass wir die Stammfunktionen finden können, indem wir die umgekehrte Kettenregel anwenden. Was sind also die wahren mathematischen Operationen, die sie zwischen (5) und (6) durchführen?