Was ist die Wellenfunktion des Young Double Slit Experiments?

Nun, es gibt viele Dinge, die Sie tun könnten. Sie könnten:

1. Betrachten Sie zwei Gaußsche Strahlen (der verlinkte Artikel ist für die Elektrodynamik)
2. Wenden Sie eine paraxiale Annäherung an (die besser geeignet wäre, um Elektronen mit einem hohen Vorwärtsimpuls zu behandeln)
3. Führen Sie eine billige / kitschige symmetrische Punktquellennäherung mit den Funktionen von Green durch.

Ich kann Nummer drei für dich machen :)

Wenn du nimmst$\hbar=1$,$m=\frac{1}{2}$, dann wird die fragliche Gleichung$i \dot{\varphi}+\nabla^2 \varphi=0$, die eine Lösung hat:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2+z^2}{2 a+4 i t}}\right)$$

Dann können Sie zwei dieser Punktquellen zusammenfügen und übersetzen:

$$\left(\frac{a}{a+2 i t}\right)^{3/2} \exp \left( {-\frac{x^2+y^2}{2 a+4 i t}}\right)\left(\exp\left( \frac{(z-h)^2}{2 a+4 i t} \right)+\exp\left( \frac{(z+h)^2}{2 a+4 i t} \right) \right)$$

Die Tatsache, dass sich diese Wellenpakete nicht bewegen, ist ein bisschen ein Schummel, aber Sie können immer auf einen sich bewegenden Rahmen "boosten", indem Sie die Antwort hier verwenden: Galileische Invarianz der Schrödinger-Gleichung (oder wenn Sie wirklich auf dem Laufenden sind Ihr Quantenmechanik-Spiel können Sie den Übersetzungsoperator anwenden$e^{-i\hat{x}\cdot \hat{p}}$)

Voila, eine passende Wellenfunktion.

Hier ist ein XZ-Schnitt des Anfangszustands$|\psi|^2$:

Ein XZ-Stück von$|\psi|^2$zu einem späteren Zeitpunkt und Offset Y:

Und eine Animation von$|\psi|^2$(auf imgur hochgeladen)

Ich habe Mathematica verwendet, um psi zum Quadrat der vorherigen Gleichung zu erweitern. Sie können genau sehen, wo die Interferenz auftritt (der Kosinusterm)

$$|\psi(x,y,z,t)|^2=\frac{\left(a^2\right)^{3/2}}{\left(a^2+4 t^2\right)^{3/2}} \cdot \left(\exp\left(-\frac{a \left(h^2+2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+\exp\left(-\frac{a \left(h^2-2 h z+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)+2 \cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right) \exp \left(-\frac{a \left(h^2+x^2+y^2+z^2\right)}{a^2+4 t^2}\right)\right)$$

Der oszillierende/wichtige Teil ist also$\cos \left(\frac{4 h t z}{a^2+4 t^2}\right)$. Dies bringt das offensichtliche Problem bei diesem Ansatz mit sich: Er liefert nicht direkt das schöne Ergebnis, das Sie normalerweise wünschen, indem Sie den Impuls des Teilchens mit der "Wellenlänge" des Interferenzmusters in Beziehung setzen. Das Interferenzmuster erreicht seine maximale Frequenz bei$t=\frac{a}{2}$, also überlasse ich es dem Leser als Übung zu sehen, ob es eine Beziehung zwischen dem Momentum ($\hat{p}^2$vielleicht?), die De-Broglie-Wellenlänge und die üblichen Peak/Trough-Formeln, Beugungsformeln ( so etwas )