Was ist V(x)V(x)V(x) in Schrödingers Gleichung?

Question

Was ist V(x)V(x)V(x) in Schrödingers Gleichung?

Ausschreibung

In der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung heißt es:

- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2} ψ (X)}{D X^{2}} + v (X) ψ (X) = E ψ (X)

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)$

Und es ist üblich zu geben $V(x)$ einige Standard-"Formen": der unendliche Brunnen, der endliche quadratische Brunnen usw.

Das Problem ist, dass ich es ziemlich schwierig finde, was zu bekommen $V(x)$ eigentlich ist. Ich habe in Büchern gelesen, dass es die potentielle Energie ist, aber...

Soweit ich weiß, hängt die potentielle Energie von den Eigenschaften des Teilchens selbst ab (seiner Masse, seiner Ladung), aber zum Beispiel ist der endliche quadratische Brunnen definiert als

v (X) = {\begin{cases} - v_{0} & Wenn - A < X < A \\ 0 & Wenn | X | > A \end{cases}

$V(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -V_0 & \mbox{if } -a<x <a \\ 0 & \mbox{if } |x| >a \end{array} \right.$ Wo

V_{0}

$V_0$ ist eine positive Konstante. In diesem Fall,

V_{0}

$V_0$ scheint fest zu sein, aber würde es nicht von den Eigenschaften des Teilchens abhängen ?

Abgesehen davon weiß ich nicht, wie ich verstehen soll, was diese Brunnen eigentlich sind. Warum kann ein Teilchen beispielsweise nicht aus einem unendlichen Brunnen entkommen ? Ein konkretes und intuitives Beispiel hierfür wäre wünschenswert.

JG

Der Begriff der potentiellen Energie ist genau das, was er wäre, wenn Sie nur etwas über die klassische Mechanik wüssten. Wenn Sie 2 geladene Teilchen untersuchen, erhalten Sie den üblichen Coulomb-Term. Wenn Sie ein Teilchen untersuchen, das klassischerweise nicht entkommen kann, weil es einen negativen KE hätte, entspricht das Potenzial dem klassischen Modell, das diese Schlussfolgerung liefert. Die TISE zeigt, dass die Quantisierung mit diesem Potenzial tatsächlich eine positive Übergangswahrscheinlichkeit ermöglicht (es sei denn, die „Barriere“ ist unendlich, ein unphysikalisches Modell, das verwendet wird, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Tunnelns vernachlässigbar ist, wie beim „Teilchen in einer Kiste“).

Antworten (4)

Was ist V(x)V(x)V(x) in Schrödingers Gleichung?

Der Begriff der potentiellen Energie ist genau das, was er wäre, wenn Sie nur etwas über die klassische Mechanik wüssten. Wenn Sie 2 geladene Teilchen untersuchen, erhalten Sie den üblichen Coulomb-Term. Wenn Sie ein Teilchen untersuchen, das klassischerweise nicht entkommen kann, weil es einen negativen KE hätte, entspricht das Potenzial dem klassischen Modell, das diese Schlussfolgerung liefert. Die TISE zeigt, dass die Quantisierung mit diesem Potenzial tatsächlich eine positive Übergangswahrscheinlichkeit ermöglicht (es sei denn, die „Barriere“ ist unendlich, ein unphysikalisches Modell, das verwendet wird, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Tunnelns vernachlässigbar ist, wie beim „Teilchen in einer Kiste“).

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Soweit ich weiß, hängt die potentielle Energie von den Eigenschaften des Teilchens selbst ab (seiner Masse, seiner Ladung)

Nein nicht wirklich. Denken Sie an ein klassisches Masse-Feder-System. Die potentielle Energie ist

v (X) = \frac{1}{2} k X^{2}

$V(x)=\frac{1}{2}kx^2$ die unabhängig von den Eigenschaften der Masse ist. In einigen anderen Fällen, wie z. B. einem geladenen Punktteilchen, könnte die potentielle Energie sein

v (X) = \frac{e^{2}}{R}

$V(x)=\frac{e^2}{r}$ und in diesem Fall hängt es von der Ladung des Teilchens ab.

Abgesehen davon weiß ich nicht, wie ich verstehen soll, was diese Brunnen eigentlich sind. Warum kann ein Teilchen beispielsweise nicht aus einem unendlichen Brunnen entkommen? Ein konkretes und intuitives Beispiel hierfür wäre wünschenswert.

Brunnen gibt es in der Natur nicht. Sie werden verwendet, um Fälle mathematisch zu modellieren, in denen das tatsächliche Potenzial unbekannt oder zu komplex ist, um analytisch lösbar zu sein.

Aber Partikel können aus Brunnen entweichen: Die Wahrscheinlichkeit des Entweichens ist durch den Transmissionskoeffizienten gegeben:

T \sim csch [A \sqrt{2 M (E - v_{0})}]

$T\sim \text{csch}\left[a\sqrt{2m(E-V_0)}\right]$ was im Allgemeinen nicht Null ist. Nur bei unendlich

V_{0}

$V_0$ wir bekommen

T = 0

$T=0$ , aber andererseits ist dies nicht physikalisch: Unendlichkeiten existieren nicht in der Natur.

Als Beispiel, wo endliche Brunnen verwendet werden, finden Sie viele Informationen online. Google nuclear shell modelund Sie werden feststellen, dass Menschen die Finite-Well-Näherung verwenden, um eine qualitative Beschreibung des Kerns von Atomen zu erhalten, da die potenzielle Energie von Nukleonen unbekannt ist.

Bill N · Answer 2

$V(x)$ ist eine potentielle Energiefunktion für das System eines Teilchens oder von Teilchen, die mit einer Reihe von Beschränkungen interagieren. Diese Beschränkungen können als Felder betrachtet werden, die eine Kraft auf das (die) interessierende(n) Teilchen erzeugen.

In der unendlichen quadratischen Vertiefung (ISW) untersuchen wir ein Teilchen, das überhaupt keine Wechselwirkung hat, bis es zu einer undurchdringlichen Beschränkung gelangt, dh zu einer unendlich großen Barriere. Klassischerweise erfährt das Teilchen eine unendlich große Kraft für eine unendlich kleine Zeit, so dass der resultierende Impuls endlich ist, wenn das Teilchen die Richtung umkehrt. Der ISW ist eine einfache Annäherung an sehr stark gebundene Systeme mit kurzreichweitigen Rückstellkräften. Ein Kohlendioxidmolekül könnte durch das ISW-Problem angenähert werden, ebenso wie andere lineare Moleküle.

Selbst in der endlichen quadratischen Vertiefung wird ein Teilchen, obwohl es eine geringe Möglichkeit hat, sich "in" die Wand zu bewegen, schließlich zurückprallen. Damit das Teilchen entweichen kann, muss dem System von außerhalb des analysierten Systems Energie zugeführt werden. Es wird nicht spontan aus dem System "herausspringen".

Für das Elektron im Wasserstoffatom gilt: $V(r)$ ist die elektrische potentielle Energie des Systems aus Elektron und Proton aufgrund der Coulomb-Anziehung des Protons auf das Elektron.

Radioaktiver Zerfall beinhaltet die Wechselwirkung von Coulomb- und Nuklearsystemen, die zur Umwandlung von Masseenergie in kinetische Energie führen. Die Masse des Systems nach dem Zerfall ist kleiner als die Masse des Systems vor dem Zerfall. Das System hat somit mehr kinetisches + Potential und kann dem Bohrloch entweder vollständig entkommen oder hat eine höhere Wahrscheinlichkeit, durch die Beschränkung zu tunneln.

Jahan Claes · Answer 3

Die potentielle Energie hängt definitiv von den Eigenschaften des Teilchens ab. Wenn Sie zum Beispiel elektrische Felder verwenden würden, um das Teilchen einzudämmen, würde die potentielle Energie von der Ladung des Teilchens abhängen; Wenn Sie die Schwerkraft verwenden würden, um das Teilchen einzudämmen, würde die potentielle Energie von der Masse des Teilchens abhängen.

Wenn es nur ein Teilchen in Ihrem System gibt, ist dies immer noch einfach aufzuschreiben. Du kannst einfach schreiben $V(r)=\frac{eq}{r}$ , oder $V(r)=\frac{GmM}{r}$ , oder Wasauchimmer. Wenn es mehrere Partikel gibt, müssen Sie jeden im Auge behalten; Wenn Sie beispielsweise zwei Teilchen mit unterschiedlichen Ladungen hätten, wäre die gesamte potentielle Energie

v (R_{1}, R_{2}) = \frac{e_{1} Q}{R_{1}} + \frac{e_{2} Q}{R_{2}}

$V(r_1,r_2) = \frac{e_1q}{r_1}+\frac{e_2q}{r_2}$

In beiden Fällen beziehen Sie sich beim Aufschreiben der Schrödinger-Gleichung explizit auf die Eigenschaften des Teilchens.

Jim · Answer 4

Das Potenzial $V(x)$ in der Schrödinger-Gleichung verwendet, wird verwendet, um entweder die Bewegung von Teilchen in realen Systemen zu modellieren (in diesem Fall hängen die Parameter des Potentials von den Teilcheneigenschaften ab, von Coulomb-Kräften, wobei die interessierende Eigenschaft elektrische Ladung und Spin oder Nukleon-Nukleon-Wechselwirkungen sind, wo Isospin und Spin sind wichtig) bis hin zu Systemen, die lediglich eingeführt werden, weil sie analytische Lösungen zulassen (die sich realen Systemen annähern können) und nützlich sind, um Konzepte der Quantenmechanik einzuführen.

Was ist V(x)V(x)V(x) in Schrödingers Gleichung?

Ausschreibung

JG

Antworten (4)

AccidentalFourierTransform

Bill N

Jahan Claes

Jim

Negatives Potential unendlicher quadratischer Brunnen

Wenn wir sagen, dass ein Teilchen in einer Box quantisierte Energie hat, ist das kinetische oder Gesamtenergie?

Warum erscheint das n=3n=3n=3 Energieniveau von quantenmechanischen Potentialtöpfen "auf dem Kopf"?

Schrödinger-Gleichung. Warum potentielle Energie statt Kraft?

Heisenbergsche Unschärferelation Angewendet auf einen unendlichen quadratischen Brunnen

Das Delta-Funktionspotential

Gebundene Zustände, Streuzustände und unendliche Potentiale

Explizite Überprüfung einer Streutheorieidentität

Warum ist eine Eigenfunktion ψn,lψn,l\psi_{n,l} proportional zu rlrlr^{l} in Kernnähe?

Einführendes Quantum, Probleme mit dieser Randbedingung und diesem Potenzial