Was sind die Auswirkungen der Einschränkungen der ZFC-Mengentheorie?

ZFC ist einfach genug, um leicht axiomatisiert zu werden, und wird von der Mehrheit der Mathematiker akzeptiert – einige taten dies nicht – und komplex genug, um gute Fragen zu stellen, die zugängliche Antworten haben. Einmal axiomatisiert und ausreichend gut verstanden, kann man sich komplexere Mengentheorien mit ZFC als Basis ansehen.

Ein Blickwinkel in komplexeren Mengentheorien besteht darin, an das Axiom der Unendlichkeit zu denken. Das übliche in ZFC ist das einfachste unendliche Axiom. Es gibt eine Reihe weiterer – gewöhnlich als die großen Kardinalsaxiome bekannt – die sich in einer linearen Hierarchie von beweistheoretischer Stärke anordnen. Das heißt, Sie können sie verwenden, um stärkere Aussagen zu beweisen, zum Beispiel verwendete Gentzen eine, um zu zeigen, dass die Peano-Arithmetik, Tempo Gödel, konsistent war. Diese Vergrößerung der Sets kann so gesehen werden, dass sie Klassen und mehr umfasst.

Ein anderes ist die Lockerung des Extensionalitätsaxioms, so dass Mengen mit genau denselben Elementen nicht gleich sind, sondern lediglich nicht unterscheidbar (in der Terminologie von Liebniz) oder in der traditionellen mathematischen Terminologie - isomorph. Diese Route ist in der topos-theoretischen Version der Mengenlehre oder ETCS vollständiger entwickelt. Da ETCS ein spezialisierter Topos ist, kann man außerdem Topos selbst als eine verallgemeinerte Mengentheorie betrachten, und es fällt auf, dass in der Kategorie der Topos das Endobjekt Set ist - was für den grundlegenden Aspekt von ZFC spricht. Aber auch, dass die von Cohen eingeführte Forcing-Konstruktion hier eine geometrische Form annimmt – man denke an den Cohen-Topos, der die Topologie der doppelten Negation verwendet – ist die Konstruktion, die Gödel/Gentzen benutzten, um die klassische Logik in die intuitionistische Logik einzubetten, um das Forcen zu modellieren.

Ein anderer Blickwinkel betrachtet die Wahl. ZFC ist eigentlich ZF+Choice. Die Wahl ist ein Axiom, das seit seiner Einführung kontroverse Implikationen hatte. Es ist die Wurzel nicht messbarer Mengen und des Banach-Tarski-Paradoxons. Ihre Verneinung führt zur Idee der konstruktiven Mathematik. Wo es nicht ausreicht, einfach die Existenz eines mathematischen Objekts zu behaupten, muss man es auch konstruieren. Generell verneint man auch LEM – das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten. Hier sollte man nicht mit Mengen in der klassischen Logik, sondern in der intuitionistischen Logik operieren.

Interessanterweise haben Topos, wenn sie als verallgemeinerte Mengentheorien betrachtet werden, als ihre interne Logik eine intuitionistische Logik. Sie haben auch eine Dimension, also höhere Topos, und tatsächlich haben unendlich dimensionale Topos als ihre Logik die Martin-Lof-abhängige Typentheorie - die sie mit Berechnungsideen verbindet. Darüber hinaus kann eine bestimmte Variante davon, Intensional Martin-Lof, als Homotopie-Typentheorie interpretiert werden, die dann die Geometrie (auch bekannt als Homotopie) in die Typentheorie einführt.

Man beachte dabei, dass Topos drei Stränge der modernen Mathematik auf natürliche Weise miteinander verbinden - Logik, Geometrie und Mengen.

Schließlich bemerkt man, dass ZFC eine Mengenlehre zusammen mit Logik erster Ordnung ist. Man kann die Logik gegen eine andere austauschen. Intuitionistische Logik wurde oben erwähnt, aber es gibt auch parakonsistente Logik (die in gewissem Sinne das Duale der intuitionistischen Logik ist), die durch Leugnen des Explosionsprinzips inkonsistente Aussagen zulässt, wobei die Inkonsistenzen irgendwie kontrolliert werden, damit sie sich nicht gegenseitig beeinflussen. Man erhält dann eine inkonsistente Mengenlehre – und man erhält ziemlich interessante mathematische Ergebnisse – wie man die Existenz einer universellen Menge und der Russell-Menge annehmen kann – was beides zu Paradoxien in ZFC führt. Als weitere positive Tugend erledigt sie die Kontinuumshypothese (negativ).

All dies gehört zur Philosophie der Mathematik.

In der Philosophie im Allgemeinen stellt man fest, dass zum Beispiel der französische Philosoph und Maoist Badiou ZFC explizit in seiner Philosophie der Liebe, Politik und Kunst verwendet. Er nennt ZFC die Ontologie der Wahrheit. Dies wird in seinem Buch Sein & Ereignis erklärt , und in der Logik der Welten geht er auf die Topos-Theorie ein, um seine Gedankengänge weiter auszubauen. Wie das genau funktioniert, da bin ich mir nicht sicher...