Was sind die linearen Karten, die den zeitähnlichen Kegel bewahren?

Ersetzen$GL(4, \mathbb R)$mit$M(4, \mathbb R)$wir haben

$${\cal V}:= \{M \in M(4, \mathbb R)\:|\: \mbox{if $x\in {\cal T}_+$, then $Mx \in {\cal T}_+$}\}\tag{1}\:,$$ Wo $${\cal T}_+ := \{x \in \mathbb R^4 \:|\: x^T\eta x \geq 0\:, x^0 \geq 0\}$$ so dass wir die gegebene Definition äquivalent umformulieren können als $${\cal V}:=$$ $$\{M \in M(4, \mathbb R)\:|\: \mbox{ $x^T\eta x \geq 0$, $x^0 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x^TM^T\eta Mx \geq 0$, $(Mx)^0 \geq 0$}\}\tag{2}\:.$$

Vorschlag . Mit der gegebenen Definition von$\cal V$, stellt sich heraus, dass es sich um einen geschlossenen konvexen Kegel des reellen Vektorraums handelt$M(4,\mathbb R)$.

NACHWEISEN. Die Menge ist trivialerweise ein Kegel, denn wenn$M \in \cal V$, Dann$\lambda M \in \cal V$im Hinblick auf die gegebene Definition für$\lambda \geq 0$. Stellen wir fest, dass es auch konvex ist. Lassen$M, M' \in \cal V$Und$p,q \in [0,1]$mit$p+q=1$. Wenn$x\in {\cal T}_+$, Dann$Mx$,$M'x \in {\cal T}_+$durch (1). Außerdem als${\cal T}_+$konvex ist, gilt auch$pMx+ qM'x \in {\cal T}_+$. Unter Verwendung von (2) kann diese Tatsache äquivalent umgeschrieben werden als

$$(pMx+ qM'x)^T \eta (pMx+ qM'x) \geq 0\:,$$
das ist $$x^T(pM+ qM')^T \eta (pM+ qM')x \geq 0$$ Da die linke Seite die Summe zweier nicht negativer Zahlen ist, $$((pM+qM')x)^0\geq 0\:.$$ Da die gefundene Identität für jeden gilt$x\in {\cal T}_+$, wenn wir (2) betrachten, haben wir bewiesen, dass wenn$M,M' \in \cal V$Und$p,q \in [0,1]$mit$p+q=1$, Dann$pM+qM' \in \cal V$. Mit anderen Worten$\cal V$ist konvex. Lassen Sie uns das endlich beweisen$\cal V$ist in der natürlichen Topologie von geschlossen$M(4,\mathbb R) \subset \mathbb R^{16}$. Wenn${\cal V} \ni M_n \to M \in M(4,\mathbb R)$in Bezug auf die genannte Topologie für$n\to +\infty$, Und$x^T\eta x \geq 0$, Dann $$0\leq x^TM_n^T\eta M_nx \to x^TM^T\eta Mx\geq 0$$ da alle beteiligten Operationen kontinuierlich sind und$[0,+\infty)$ist geschlossen. Der Zustand an$x^0$übersteht das Limitverfahren ebenfalls. (2) impliziert das$M \in \cal V$. Seit$\cal V$alle seine Grenzpunkte enthält, muss er geschlossen sein. QED

NACHTRAG

In Bezug auf die Grenze von$\cal V$, wir haben$O(3,1)_+ \subset \partial \cal V$. In der Tat, wenn$\Lambda \in O(3,1)_+$, dann (a) es gehört zu$\cal V$und (b) es gibt eine kontinuierliche Kurvenverbindung$\Lambda$und irgendwann$M(4,\mathbb R) \setminus \cal V$. Es ist

$$[1/2,1]\ni \Lambda_\lambda := \lambda \mapsto \mbox{diag}(\lambda, 1, 1, 1) \Lambda\:.$$ Für jeden$\lambda \in [1/2,1)$,$\Lambda_\lambda \not \in \cal V$weil es zukunftsorientierte lichtartige Vektoren in raumartige umwandelt. Zusammenfassen,$\Lambda \in \cal V$, Aber$\Lambda \not \in Int(\cal V)$. Es muss sein$\Lambda \in \partial \cal V$.

Trotzdem gilt die gleiche Argumentation beim Ersetzen$\Lambda$mit einer reinen Dilatationstransformation$D_z u := z u$mit$z>0$fest, für alle$u \in \mathbb R^4$. Daher als$D_z \not \in O(3,1)_+$, wir haben das$O(3,1)_+ \neq \partial \cal V$.

Kompositionen$D_z \Lambda$sicherlich dazugehören$\partial \cal V$. Ich vermute, dass sie die einzigen Elemente dieser Grenze sind und dass (siehe Qmechanics Antwort) die konvexe Hülle der Menge dieser Elemente zusammenfällt$\cal V$selbst.

OP fragt nach 3 + 1-Dimensionen, aber lassen Sie uns hier die entsprechende Konstruktion in 1 + 1-Dimensionen ausarbeiten. Das 1+1-dimensionale Ergebnis kann als Spielzeugmodell verwendet werden, um eine gewisse Intuition dessen zu gewinnen, was in höheren Dimensionen gelten könnte (oder nicht). Wir verwenden Lichtkegelkoordinaten $x^{\pm}$.

1. Der zukünftige Lichtkegel ist

   $${\cal T}_+~=~\{(x^+,x^-)\in \mathbb{R}^2 \mid x^{\pm}\geq 0\}.\tag{1}$$ Der Satz $$\begin{align}{\cal V} ~:=~& \{M\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid M({\cal T}_+)\subseteq {\cal T}_+\}\cr ~=~&\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &b\cr c &d \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a,b,c,d\geq 0 \right\} \end{align}\tag{2}$$ ist die Menge der nicht negativen Matrizen .

2. Die eingeschränkte Lorentz-Gruppe ist

   $$SO^+(1,1)~=~\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &0\cr 0 &a^{-1} \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a>0 \right\}.\tag{3}$$ Die konvexe Hülle von$SO^+(1,1)$Ist $${\rm Conv}(SO^+(1,1))~=~\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &0\cr 0 &d \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a,d>0, ad\geq 1 \right\}.\tag{4}$$ Der geschlossene konvexe Kegel von$SO^+(1,1)$ist der Satz $$\overline{{\rm Convcone}(SO^+(1,1))}~=~\left\{ \left.\begin{pmatrix}a &0\cr 0 &d \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| a,d\geq0, \right\}\tag{5}$$ von Diagonalmatrizen mit nicht negativen Eigenwerten.

3. Die orthochrone Lorentz-Gruppe ist

   $$O^+(1,1)~=~SO^+(1,1) \cup \left\{ \left.\begin{pmatrix}0 &b\cr b^{-1} &0 \end{pmatrix}\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \right| b>0 \right\}.\tag{6}$$ Der geschlossene konvexe Kegel $$\overline{{\rm Convcone}(O^+(1,1))}~=~{\cal V} \tag{7}$$ von$O^+(1,1)$ist OPs Satz (2).