Was sind die praktischen Anwendungen einer Zustandsübergangsmatrix?

Aus dem Kopf kamen mir die folgenden praktischen Anwendungen für Zustandsübergangsmatrizen in den Sinn. Beachten Sie, dass die Anwendung, auf die sich die Frage bezieht, in Punkt 3 erfasst ist. Außerdem erkläre ich die Theorie der Zustandsübergangsmatrizen nicht, da dies hier bereits geschehen ist .

1. Kovarianzfortpflanzung

Die Position und Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs ist immer innerhalb einer bestimmten Genauigkeit bekannt, nachdem die Umlaufbahnbestimmung durchgeführt wurde. Zur Kollisionsvermeidung ist es wünschenswert zu wissen, wie sich die Unsicherheit des Zustands über die Zeit ausbreitet. Die Ungewissheit stellt dann ein „Volumen“ um den Satelliten dar, in dem sich der Satellit wahrscheinlich in der Zukunft befinden wird. Eine gute Annäherung der fortgepflanzten Unsicherheit kann durch Ausführen einer Monte-Carlo-Simulation gefunden werden, bei der der Anfangszustand normalerweise unter Verwendung einer Gauß-Verteilung variiert. Um ein zuverlässiges Ergebnis zu erhalten, müssen Sie jedoch möglicherweise 1000 (oder sogar mehr) Bahnen für leicht unterschiedliche Anfangsbedingungen propagieren, was rechenintensiv ist. Wenn jedoch Zustandsübergangsmatrizen verwendet werden, kann eine angenäherte Kovarianzmatrix unter Verwendung einer einzelnen Matrixoperation als gefunden werden

Wo$\Phi(t,t_0)$ist Ihre Zustandsübergangsmatrix und$\textbf P(t)$die Kovarianzmatrix. Ähnlich wie bei der Zustandsübergangsmatrix$\Phi(t,t_0)=\partial \textbf x/\partial \textbf x_0$, die linearisierte Änderung des Zustands als Funktion der Zeit aufgrund der Änderung des Parametervektors$\textbf p$ist die Sensitivitätsmatrix. Diese Matrix wird als bezeichnet$\textbf S(t)=\partial \textbf x/\partial \textbf p$. Der Parametervektor enthält typischerweise Koeffizienten wie den Luftwiderstandsbeiwert ($C_D$) oder Reflexionskoeffizient ($C_r$) des Satelliten. Die Sensitivitätsmatrix wird oft so betrachtet, dass sie die Unsicherheit dieser Parameter durch Verwendung der Matrix beinhaltet$\Psi$, so dass

und die Kovarianz ist gegeben durch

Für Umlaufbahnen um die Erde wird häufig die Annäherung mit dem STM verwendet. Es ist auch in kommerziellen Softwarepaketen wie STK implementiert, auf das hier näher eingegangen wird . Wenn die Ausbreitungszeit nicht mehr als einige Tage beträgt, ist der Linearisierungsfehler typischerweise klein genug für praktische Zwecke.

2. Präzise Bahnbestimmung (POD)

Auch für die Implementierung eines Umlaufbahnbestimmungsalgorithmus, wie etwa eines Batch-Least-Squares- oder Kalman-Filters, ist das STM erforderlich, um die Dynamik darzustellen. Dieses Dokument zeigt die mathematische Theorie dahinter. Um bessere Umlaufbahnschätzungen zu erhalten, sind viele Störungs-STMs enthalten. Für eine präzise Bahnbestimmung werden typischerweise alle wichtigen Störgrößen wie Kugelflächenfunktionen, Luftwiderstand etc. miteinbezogen. Auch die Unsicherheit von Umgebungsparametern, wie z. B. den Koeffizienten des Kugelflächenmodells, kann einbezogen werden. Wenn die Position mit großer Genauigkeit bestimmt werden kann, wie beispielsweise für eine Mission wie GRACE, können diese Umgebungskoeffizienten daher bestimmt werden.

3. Führung, Navigation und Kontrolle

Wie in der Frage angedeutet, ist das STM auch für GNC-Zwecke nützlich. Insbesondere für Rendez-vous-Manöver und Positionshaltung im Formationsflug, da der Linearisierungsfehler für diese kleinen Entfernungen klein ist (siehe Clohessy -Wiltshire- Gleichungen). Der STM-Ansatz wird hauptsächlich für die robuste Online-Optimalsteuerung der notwendigen Manöver zum Halten oder Andocken der Position verwendet (z. B. durch Verwendung eines linearen quadratischen Reglers (LQR)). Im Fall des Formationsfluges ist dies von großem Interesse, um den Treibstoffverbrauch zu reduzieren, so dass die Missionsdauer maximiert wird. Für einige exzentrischere Umlaufbahnen (die "weniger linear" sind) gibt es auch Anpassungen, die die elliptische Umlaufbahn oder manchmal auch die berücksichtigen$J_2$Effekt (z. B. Gim-Alfriend- und Yan-Alfriend-Modelle). In diesen Fällen sind die komplizierteren Modelle erforderlich, um den Linearisierungsfehler zu reduzieren, insbesondere wenn Ziel und Chaser weit voneinander entfernt sind.

4. Orbit-Design (für CR3BP)

Wie hier erklärt , sind die STM nützlich, um eine Anfangslösung für Halo-Umlaufbahnen zu bestimmen. Darüber hinaus können die STMs verwendet werden, um die Stabilität der erhaltenen Umlaufbahn zu beurteilen, wenn sie zusammen mit den Bewegungsgleichungen integriert werden. Ähnlich wie bei der Kovarianzausbreitung kann das STM Informationen darüber geben, wie ein kleiner Fehler im Anfangszustand die endgültige Trajektorie verändert.

Abschluss

Wie in Ihrer Frage angedeutet, werden die Zustandsübergangsmatrizen im Prinzip zwar hauptsächlich zur Reduzierung der Rechenzeiten verwendet, erweisen sich aber auch als praktisch für das Weltraumlagebewusstsein, die Umlaufbahnbestimmung oder das Umlaufbahndesign. Natürlich sollte sich der Benutzer immer bewusst sein, dass dies eine lineare Annäherung ist und numerisch integrierte Trajektorien für die meisten Zwecke die bessere Wahl sind.